Tekst źródłowy strony Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 3: Norma. Iloczyn skalarny

==Norma. Iloczyn skalarny==

<span id="cw_3_1">{{cwiczenie|3.1.||

W przestrzeni wektorowej
<math>\mathbb{R}^N</math> definiujemy:

<center><math>\|x\|_{2}
\stackrel{df}{=}
\sqrt{\sum_{i=1}^N x_i^2},
\qquad
\|x\|_{1}
\stackrel{df}{=}
\sum_{i=1}^N |x_i|, \qquad
\|x\|_{\infty}
\stackrel{df}{=}
\max_{1\le i\le N} |x_i|
\quad</math> dla <math>\ x\in\mathbb{R}^N</math></center>

Pokazać, że
<math>\|\cdot\|_2,\|\cdot\|_1</math> oraz
<math>\|\cdot\|_{\infty}</math>
są normami
(nazywamy je odpowiednio normą euklidesową,
normą taksówkową oraz normą maksimową).
}}</span>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
'''(1)'''
Pokazać, że <math>\|\cdot\|_2</math> jest normą
wprost z definicji normy.
Przy dowodzie subaddytywności wykorzystać nierówność
Cauchy'ego
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi#lemat_3_8|Analiza matematyczna 1 lemat 3.8.]])<br>
'''(2)-(3)'''
Pokazać, że
<math>\|\cdot\|_1</math> i <math>\|\cdot\|_{\infty}</math>
są normami, korzystając z definicji normy.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
'''(1)'''
Pokażemy, że <math>\|\cdot\|_2</math> jest normą.<br>
Dla <math>x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math> mamy

<center><math>\|x\|_2=0
\ \Longleftrightarrow
\sqrt{\sum_{i=1}^N x_i^2}=0
\ \Longleftrightarrow
\sum_{i=1}^N x_i^2=0
\ \Longleftrightarrow
x_1=\ldots=x_N=0
\ \Longleftrightarrow
x=\Theta</math></center>

Dla <math>x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math> oraz <math>\lambda\in\mathbb{R}</math>
mamy

<center><math>\|\lambda x\|_2
=
\sqrt{\sum_{i=1}^N (\lambda x_i)^2}
=
\sqrt{\lambda^2\sum_{i=1}^N x_i^2}
=
|\lambda|\sqrt{\sum_{i=1}^N x_i^2}
=
|\lambda|\|x\|_2</math>,</center>

zatem pokazaliśmy warunek jednorodności.

W końcu dla dowolnych <math>x,y\in\mathbb{R}^N</math> mamy

<center><math>\|x+y\|_2
=
\sum_{i=1}^N(x_i+y_i)^2
=
\sum_{i=1}^N
(x_i^2+2x_iy_i+y_i^2)
=
\sum_{i=1}^Nx_i^2+
2\sum_{i=1}^Nx_iy_i
+\sum_{i=1}^Ny_i^2</math></center>

Korzystając z nierówności Cauchy'ego
(która była udowodniona na
Analizie Matematycznej 1;
patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi#lemat_3_8|Analiza matematyczna 1 lemat 3.8.]])

<center><math>\forall x,y\in\mathbb{R}^N:
\bigg(\sum_{i=1}^N x_iy_i\bigg)^2
\le
\bigg(\sum_{i=1}^N x_i^2\bigg)
\bigg(\sum_{i=1}^N y_i^2\bigg)</math>,</center>

mamy

<center><math>
\begin{array}{lll}
\|x+y\|_2^2\ &\le&
\sum_{i=1}^Nx_i^2+
2\bigg(\sum_{i=1}^N x_i^2\bigg)
\bigg(\sum_{i=1}^N y_i^2\bigg)
+\sum_{i=1}^Ny_i^2\\
&=& 
\bigg(\sum_{i=1}^Nx_i^2+\sum_{i=1}^Ny_i^2\bigg)
=
\big(\|x\|_2+\|y\|_2\big)^2,
\end{array}</math></center>

zatem pokazaliśmy warunek subaddytywności:

<center><math>\forall x,y\in\mathbb{R}^N:
\|x+y\|_2
\le
\|x\|_2+\|y\|_2
</math></center>

co kończy dowód.<br>
<br>
'''(2)'''
Pokażemy, że <math>\|\cdot\|_1</math> jest normą.<br>
Dla <math>x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math> mamy

<center><math>\|x\|_1=0
\ \Longleftrightarrow
\sum_{i=1}^N |x_i|=0
\ \Longleftrightarrow
x_1=\ldots=x_N=0
\ \Longleftrightarrow
x=\Theta
</math></center>

Dla <math>x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math> oraz <math>\lambda\in\mathbb{R}</math>
mamy

<center><math>\|\lambda x\|_1
=
\sum_{i=1}^N |\lambda x_i|
=
|\lambda|\sum_{i=1}^N |x_i|
=
|\lambda|\|x\|_1
</math></center>

zatem pokazaliśmy warunek jednorodności.

W końcu dla dowolnych <math>x,y\in\mathbb{R}^N</math> mamy

<center><math>\begin{array}{lll}
\|x+y\|_1
&=&
\sum_{i=1}^N|x_i+y_i|
\le
\sum_{i=1}^N\big(|x_i|+|y_i|\big)\\
&=&
\sum_{i=1}^N|x_i|
+\sum_{i=1}^N|y_i|
=
\|x\|_1+\|y\|_1
\end{array}</math></center>

zatem pokazaliśmy warunek subaddytywności,
co kończy dowód.<br>
<br>
'''(3)'''
Pokażemy, że <math>\|\cdot\|_{\infty}</math> jest normą.<br>
Dla <math>x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math> mamy

<center><math>\|x\|_{\infty}=0
\ \Longleftrightarrow
\max_{i=1,\ldots,N} |x_i|=0
\ \Longleftrightarrow
x_1=\ldots=x_N=0
\ \Longleftrightarrow
x=\Theta
</math></center>

Dla <math>x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math> oraz <math>\lambda\in\mathbb{R}</math>
mamy

<center><math>\|\lambda x\|_{\infty}
=
\max_{i=1,\ldots,N} |\lambda x_i|
=
|\lambda|\max_{i=1,\ldots,N} |x_i|
=
|\lambda|\|x\|_{\infty}
</math></center>

zatem pokazaliśmy warunek jednorodności.

W końcu dla dowolnych <math>x,y\in\mathbb{R}^N</math> mamy

<center><math>
\begin{array}{lll}
\|x+y\|_{\infty}& =&
\max_{i=1,\ldots,N} |x_i+y_i|
\le
\max_{i=1,\ldots,N}\big(|x_i|+|y_i|\big)\\\\
&\le & 
\max_{i=1,\ldots,N}|x_i|
+\max_{i=1,\ldots,N}|y_i|
=
\|x\|_{\infty}+\|y\|_{\infty}.
\end{array}
</math></center>

zatem pokazaliśmy warunek subaddytywności,
co kończy dowód.<br>
</div></div>

<span id="cw_3_2">{{cwiczenie|3.2.||

Pokazać, że
norma euklidesowa zadaje metrykę euklidesową,
norma taksówkowa zadaje metrykę taksówkową,
a norma maksimowa zadaje metrykę maksimową.
}}</span>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
Wykorzystać jedynie definicje potrzebnych norm i metryk.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
Dla dowolnych <math>x,y\in\mathbb{R}</math> zauważmy, że

<center><math>\|x-y\|_2
=
\sqrt{\sum_{i=1}^N(x_i-y_i)^2}
=
d_2(x,y)
</math></center>

więc norma euklidesowa <math>\|\cdot\|_2</math> zadaje metrykę euklidesową
<math>d_2</math>.

Dla dowolnych <math>x,y\in\mathbb{R}</math> zauważmy, że

<center><math>\|x-y\|_1
=
\sum_{i=1}^N|x_i-y_i|
=
d_1(x,y)
</math></center>

więc norma taksówkowa <math>\|\cdot\|_1</math> zadaje metrykę taksówkową
<math>d_2</math>.
Dla dowolnych <math>x,y\in\mathbb{R}</math> zauważmy, że

<center><math>\|x-y\|_{\infty}
=
\max_{i=1,\ldots,N}|x_i-y_i|
=
d_{\infty}(x,y)
</math></center>

więc norma maksimowa <math>\|\cdot\|_{\infty}</math> zadaje metrykę maksimową
<math>d_{\infty}</math>
</div></div>

<span id="cw_3_3">{{cwiczenie|3.3.||

Wykazać bezpośrednio równoważność norm:
<math>\|\cdot\|_1</math> (taksówkowej),
<math>\|\cdot\|_2</math> (euklidesowej)
i <math>\|\cdot\|_{\infty}</math> (maksimowej)
w <math>\mathbb{R}^N</math>, znajdując optymalne
stałe <math>m_i,M_i>0</math> (<math>i=1,2,3</math>)
w następujących nierównościach:

<center><math>\begin{align} 
\textbf{(1)} &&
\forall x\in \mathbb{R}^N:
m_1\|x\|_{2}
\le
\|x\|_{\infty}
\le
M_1\|x\|_{2},\\
\textbf{(2)} &&
\forall x\in \mathbb{R}^N:
m_2\|x\|_1
\le
\|x\|_{\infty}
\le
M_2\|x\|_{1},\\
\textbf{(3)} &&
\forall x\in \mathbb{R}^N:
m_3\|x\|_1
\le
\|x\|_2
\le
M_3\|x\|_1
\end{align}</math></center>

}}</span>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
'''(1)''' Skorzystać jedynie z definicji norm
<math>\|\cdot\|_2</math> i <math>\|\cdot\|_{\infty}</math>,
dla pokazania nierówności i wyznaczenia stałych.
Aby pokazać "optymalność" stałych,
wskazać wektor <math>x_0\in\mathbb{R}^N</math>, dla którego zachodzą równości.<br>
<br>
'''(2)-(3)''' Podobnie jak (1).
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
'''(1)'''
Dla dowolnego wektora <math>x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math>
mamy

<center><math>\|x\|_2^2
=
\sum_{i=1}^N |x_i|^2
\le
\sum_{i=1}^N  \max_{k=1,\ldots, N}|x_k|^2
=
N  \max_{k=1,\ldots, N}|x_k|^2
=
N\|x\|_{\infty}^2
</math></center>

Zatem

<center><math>\forall x\in \mathbb{R}^N:
\frac{1}{\sqrt{N}}\|x\|_2
\le
\|x\|_{\infty}
</math></center>

czyli
<math>m_1=\frac{1}{\sqrt{N}}</math>.
Aby pokazać, że stała <math>m_1</math> jest "optymalna"
(to znaczy największa z możliwych), zauważmy, że dla wektora
<math>x_0=(1,1,\ldots,1)</math> mamy

<center><math>\frac{1}{\sqrt{N}}\|x_0\|_2
=
\frac{1}{\sqrt{N}}\sqrt{N}
=
1
=
\|x_0\|_{\infty}
</math></center>

Z kolei dla dowolnego wektora <math>x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math>
mamy

<center><math>\|x\|_{\infty}^2
=
\bigg(\max_{i=1,\ldots, N}|x_i|\bigg)^2
=
\max_{i=1,\ldots, N}|x_i|^2
\le
\sum_{i=1}^N |x_i|^2
=
\|x\|_2^2
</math></center>

Zatem

<center><math>\forall x\in \mathbb{R}^N:
\|x\|_{\infty}
\le
\|x\|_2
</math></center>

czyli <math>M_1=1</math>. Aby pokazać, że stała <math>M_1</math> jest "optymalna"
(to znaczy najmniejsza z możliwych), zauważmy, że dla wektora
<math>x_0=(1,0,\ldots,0)</math> mamy

<center><math>\|x_0\|_{\infty}
=
1
=
\|x_0\|_2
</math></center>

'''(2)'''
Dla dowolnego wektora <math>x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math>
mamy

<center><math>\|x\|_1
=
\sum_{i=1}^N |x_i|
\le
\sum_{i=1}^N  \max_{k=1,\ldots, N}|x_k|
=
N  \max_{k=1,\ldots, N}|x_k|
=
N\|x\|_{\infty}
</math></center>

Zatem

<center><math>\forall x\in \mathbb{R}^N:
\frac{1}{N}\|x\|_1
\le
\|x\|_{\infty}
</math></center>

czyli
<math>m_2=\frac{1}{N}</math>.
Aby pokazać, że stała <math>m_2</math> jest "optymalna"
(to znaczy największa z możliwych), zauważmy, że dla wektora
<math>x_0=(1,1,\ldots,1)</math> mamy

<center><math>\frac{1}{N}\|x_0\|_1
=
\frac{1}{N}\cdot N
=
1
=
\|x_0\|_{\infty}
</math></center>

Z kolei dla dowolnego wektora <math>x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math>
mamy

<center><math>\|x\|_{\infty}
=
\max_{i=1,\ldots, N}|x_i|
\le
\sum_{i=1}^N |x_i|
=
\|x\|_1
</math></center>

Zatem

<center><math>\forall x\in \mathbb{R}^N:
\|x\|_{\infty}
\le
\|x\|_1
</math></center>

czyli <math>M_1=1</math>. Aby pokazać, że stała <math>M_1</math> jest "optymalna"
(to znaczy najmniejsza z możliwych), zauważmy, że dla wektora
<math>x_0=(1,0,\ldots,0)</math> mamy

<center><math>\|x_0\|_{\infty}
=
1
=
\|x_0\|_1
</math></center>

'''(3)'''
Dla dowolnego wektora <math>x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math>
mamy

<center><math>\|x\|_1^2
=
\bigg(\sum_{i=1}^N |x_i|\bigg)^2
=
\sum_{i,j=1}^N|x_i||x_j|
=
\sum_{i=1}^N|x_i|^2
+2\sum_{i<j}|x_i||x_j|
</math></center>

Korzystając teraz z oczywistej nierówności liczbowej

<center><math>\forall a,b\in\mathbb{R}:
2ab
\le
a^2+b^2
</math></center>

mamy

<center><math>\|x\|_1^2
\le
\sum_{i}^N|x_i|^2
+\sum_{i<j}\big(|x_i|^2+|x_j|^2\big)
</math></center>

Zauważmy, że po prawej stronie powyższej nierówności każdy
składnik postaci <math>|x_i|^2</math> występuje dokładnie <math>N</math> razy
(raz w pierwszej sumie i <math>N-1</math> razy w drugiej sumie).
Zatem

<center><math>\|x\|_1^2
\le
N  \sum_{i=1}^N|x_i|^2
=
N\|x\|_2^2
</math></center>

Zatem

<center><math>\forall x\in \mathbb{R}^N:
\frac{1}{\sqrt{N}}\|x\|_1
\le
\|x\|_2
</math></center>

czyli
<math>m_3=\frac{1}{\sqrt{N}}</math>.
Aby pokazać, że stała <math>m_3</math> jest "optymalna"
(to znaczy największa z możliwych), zauważmy, że dla wektora
<math>x_0=(1,1,\ldots,1)</math> mamy

<center><math>\frac{1}{\sqrt{N}}\|x_0\|_1
=
\frac{1}{\sqrt{N}}\cdot N
=
\sqrt{N}
=
\|x_0\|_2
</math></center>

Z kolei dla dowolnego wektora <math>x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{R}^N</math>
mamy

<center><math>\|x\|_2
=
\sum_{i=1}^N |x_i|^2
\le
\bigg(\sum_{i=1}^N |x_i|\bigg)^2
=
\|x\|_1^2
</math></center>

Zatem

<center><math>\forall x\in \mathbb{R}^N:
\|x\|_2
\le
\|x\|_1
</math></center>

czyli <math>M_3=1</math>. Aby pokazać, że stała <math>M_3</math> jest "optymalna"
(to znaczy najmniejsza z możliwych), zauważmy, że dla wektora
<math>x_0=(1,0,\ldots,0)</math> mamy

<center><math>\|x_0\|_2
=
1
=
\|x_0\|_1
</math></center>

</div></div>

<span id="cw_3_4">{{cwiczenie|3.4.||

Niech <math>X</math> i <math>Y</math> będą dwiema przestrzeniami wektorowymi.
Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe?
(Dla każdego podać dowód lub kontrprzykład).<br>
'''(1)'''
Jeśli zbiory <math>A,B\subseteq X</math> są wypukłe, to zbiór <math>A\cap B</math> jest wypukły.<br>
'''(2)'''
Jeśli zbiory <math>A,B\subseteq X</math> są wypukłe, to zbiór <math>A\cup B</math> jest wypukły.<br>
'''(3)'''
Jeśli zbiory <math>A,B\subseteq X</math> są wypukłe, to zbiór <math>A\setminus B</math> jest wypukły.<br>
'''(4)'''
Jeśli zbiory <math>A\subseteq X</math> i <math>B\subseteq Y</math>
są wypukłe, to zbiór <math>A\times B</math> jest wypukły w <math>X\times Y</math>.<br>
}}</span>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
'''(1)'''
Wykorzystać jedynie definicję wypukłości.<br>
'''(2)'''
Kontrprzykład łatwy do znalezienia.<br>
'''(3)'''
Kontrprzykład łatwy do znalezienia.<br>
'''(4)'''
Wykorzystać jedynie definicję wypukłości
i iloczynu kartezjańskiego.

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
[[File:AM2.M03.C_R01.svg|375x45px|thumb|right|Suma zbiorów wypukłych nie musi być zbiorem wypukłym]]
[[File:AM2.M03.C_R02.svg|375x45px|thumb|right|Różnica zbiorów wypukłych nie musi być zbiorem wypukłym]]

'''(1)'''
Stwierdzenie to jest prawdziwe.
Niech <math>A,B\subseteq X</math> będą dowolnymi zbiorami wypukłymi.
Aby pokazać, że zbiór <math>A\cap B</math> jest wypukły,
wybierzmy dwa dowolne punkty
<math>x,y\in A\cap B</math> oraz <math>\lambda\in(0,1)</math>.
Ponieważ
<math>x,y\in A</math> i zbiór <math>A</math> jest wypukły,
więc także
<math>\lambda x+(1-\lambda)y\in A</math>.
Analogicznie ponieważ
<math>x,y\in B</math> i zbiór <math>B</math> jest wypukły,
więc także
<math>\lambda x+(1-\lambda)y\in B</math>.
Zatem
<math>\lambda x+(1-\lambda)y\in A\cap B</math>.
Dowodzi to wypukłości zbioru <math>A\cap B</math>.<br>
<br>
'''(2)'''
Stwierdzenie to nie jest prawdziwe.
Dla przykładu niech
<math>X=\mathbb{R},A=[0,2]</math> oraz <math>B=[4,6]</math>.
Zbiory <math>A</math> i <math>B</math> są wypukłe, ale
zbiór <math>A\cup B=[0,2]\cup [4,6]</math> nie jest wypukły,
gdyż na przykład dla <math>x=1,y=5</math> i <math>\lambda=\frac{1}{2}</math>
mamy <math>x,y\in A\cup B,\lambda\in(0,1)</math>,
ale <math>\lambda x+(1-\lambda)y=3\not\in A\cup B</math>.<br>
<br>
'''(3)'''
Stwierdzenie to nie jest prawdziwe.
Dla przykładu niech
<math>X=\mathbb{R},A=[0,6]</math> oraz <math>B=(2,4)</math>.
Zbiory <math>A</math> i <math>B</math> są wypukłe, ale
zbiór <math>A\cup B=[0,2]\cup [4,6]</math> nie jest wypukły
(patrz (2)).


'''(4)'''
Stwierdzenie to jest prawdziwe.
Niech <math>A\subseteq X</math> i <math>B\subseteq Y</math>
będą dowolnymi zbiorami wypukłymi.
Aby pokazać, że zbiór <math>A\times B</math> jest wypukły,
wybierzmy dwa dowolne punkty
<math>(a_1,b_1),(a_2,b_2)\in A\times B</math> oraz <math>\lambda\in(0,1)</math>.
Wówczas

<center>
<math>\lambda(a_1,b_1)+(1-\lambda)(a_2,b_2)
=
\big(\lambda a_1+(1-\lambda)a_2,\lambda b_1+(1-\lambda)b_2\big)</math>
</center>

Ponieważ zbiory <math>A</math> i <math>B</math> są wypukłe odpowiednio w
przestrzeniach <math>X</math> i <math>Y</math>, zatem mamy

<center>
<math>\lambda a_1+(1-\lambda)a_2\ \in\ A,\quad
\lambda b_1+(1-\lambda)b_2\ \in\ B</math>
</center>

Z definicji iloczynu kartezjańskiego wynika, że

<center>
<math>\big(\lambda a_1+(1-\lambda)a_2,\lambda b_1+(1-\lambda)b_2\big)
\ \in
A\times B</math>
</center>

Zatem pokazaliśmy, że zbiór <math>A\times B</math>
jest wypukły.
</div></div>

<span id="cw_3_5">{{cwiczenie|3.5.||

W przestrzeni wektorowej
<math>C\big([0,1];\mathbb{R}\big)</math>, funkcji ciągłych na przedziale <math>[0,1]</math>
definiujemy:

<center>
<math>\|f\|_{\infty}
=
\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|
\quad\forall f\in C\big([0,1];\mathbb{R}\big)
</math>
</center>

'''(1)'''
Pokazać, że <math>\|\cdot\|_{\infty}</math> jest normą
w <math>C\big([0,1];\mathbb{R}\big)</math>.
Nazywamy ją '''''normą supremową'''''.<br>
'''(2)'''
Obliczyć normę supremową dla funkcji:
<math>f_1(x)=\sin(2\pi x)</math> oraz
<math>f_2(x)=6x^2-5x+1</math>.<br>
'''(3)'''
Udowodnić, że zbieżność w normie supremowej pokrywa się ze
zbieżnością jednostajną dla funkcji ciągłych na
przedziale <math>[0,1]</math>.<br>

'''(4)'''
Pokazać, że <math>C\big([0,1];\mathbb{R}\big)</math> z normą
supremową jest przestrzenią Banacha.

(Punkty (3) i (4) są nadobowiązkowe. Potrzebne są tu pewne pojęcia z
następnego wykładu. Do zadania można wrócić po następnym
wykładzie).

}}</span>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
'''(1)'''
Udowodnić kolejno trzy warunki występujące w
definicji normy.<br>
'''(2)''' Wyznaczyć największą wartość funkcji
<math>|f_1|</math> i <math>|f_2|</math> na przedziale <math>[0,1]</math>.<br>
'''(3)''' Wynika wprost z obu rozważanych definicji.<br>
'''(4)''' Wykorzystać punkt (3) i twierdzenie
o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji
ciągłych
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora#tw_4_6|twierdzenie 4.6.]]).
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
'''(1)'''
Pokażemy, że

<center><math>\|f\|_{\infty}=0
\ \Longleftrightarrow
f\equiv 0</math></center>

Implikacja "<math>\Longrightarrow</math>" jest oczywista.
W celu udowodnienia implikacji
"<math>\Longleftarrow</math>" załóżmy, że
<math>\|f\|_{\infty}=0</math>.
Wówczas
<math>\sup_{x\in [0,1]}|f(x)|=0</math>.
To oznacza, że
<math>|f(x)|=0</math> dla każdego <math>x\in [0,1]</math>, czyli
<math>f(x)=0</math> dla każdego <math>x\in [0,1]</math>,
zatem
<math>f\equiv 0</math>, co należało pokazać.

W celu pokazania jednorodności, niech
<math>f\in C\big([0,1];\mathbb{R}\big)</math>
oraz <math>\lambda\in \mathbb{R}</math>.
Wówczas

<center><math>
\begin{array}{lll}
\|f\lambda f\|_{\infty}
&=& 
\sup_{x\in [0,1]}|\lambda f(x)|
=
\sup_{x\in [0,1]}|\lambda| |f(x)|\\
&=& 
|\lambda|\sup_{x\in [0,1]}|f(x)|
=
|\lambda|\|f\|_{\infty},
\end{array}
</math></center>

co należało pokazać.

Aby pokazać subaddytywność,  niech
<math>f,g\in C\big([0,1];\mathbb{R}\big)</math>.
Wówczas

<center><math>
\begin{array}{lll} 
\|f+g\|_{\infty}
&=& \sup_{x\in [0,1]}\big|(f+g)(x)\big|
=
\sup_{x\in [0,1]}\big|f(x)+g(x)\big|
\le
\sup_{x\in [0,1]}\big[\big|f(x)\big|+\big|g(x)\big|\big]\\
& \stackrel{\star}{\le} &
\sup_{x\in [0,1]}\big|f(x)\big|
+\sup_{x\in [0,1]}\big|g(x)\big|
=
\|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty}.
\end{array}</math></center>

Aby uzasadnić powyższą nierówność <math>\star</math>,
zauważmy, że

<center><math>\forall x\in [0,1]:
\big|f(x)\big|+\big|g(x)\big|
\le
\sup_{x\in [0,1]}\big|f(x)\big|
+
\sup_{x\in [0,1]}\big|g(x)\big|</math>,</center>

zatem biorąc supremum po lewej, stronie nierówność nadal jest
zachowana i  dostajemy <math>\star</math>.<br>
<br>
'''(2)'''
Ponieważ
<math>f_1\bigg(\frac{1}{4}\bigg)=\sin\frac{\pi}{2}=1</math>
oraz <math>|f_1(x)|=|\sin(2\pi x)|\le 1</math> dla dowolnego
<math>x\in [0,1]</math>,    zatem
<math>\|f_1\|_{\infty}=1</math>.<br>

Funkcja kwadratowa na odcinku domkniętym może przyjmować wartość
największą i najmniejszą jedynie w wierzchołku lub na końcu
przedziału. Należy zatem zbadać te trzy punkty.<br>
Wierzchołek paraboli ma współrzędne
<math>(p,q)=\bigg(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a}\bigg)
=\bigg(\frac{5}{12},-\frac{1}{24}\bigg)</math>.
Na końcach przedziału mamy wartości
<math>f_2(0)=1,f_2(1)=2</math>, zatem

<center><math>\|f_2\|_{\infty}
=
\max\bigg\{\bigg|-\frac{1}{24}\bigg|,|1|,|2|\bigg\}
=
2</math></center>

{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|[[File:am2.m03.c.r03.svg|375x375px|thumb|center|Wykres funkcji <math>f(x)=\sin 2\pi x</math>]]
|[[File:am2.m03.c.r04.svg|375x375px|thumb|center|Wykres funkcji <math>f(x)=6x^2-5x+1</math>]]
|}

'''(3)'''
Zbieżność
<math>f_n\xrightarrow{\|\cdot\|_{\infty}} f</math> oznacza
z definicji:

<center><math>\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
\|f_n-f\|_{\infty}<\varepsilon</math></center>

Rozpisując normę supremową, otrzymujemy równoważne
sformułowanie:

<center><math>\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
\sup_{x\in [0,1]}\big|f_n(x)-f(x)\big|<\varepsilon</math></center>

Z kolei korzystając z definicji supremum,
mamy równoważną postać

<center><math>\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N
\forall x\in X
\big|f_n(x)-f(x)\big|<\varepsilon</math>,</center>

a to oznacza, że
<math>f_n\rightrightarrows f</math> w <math>[0,1]</math>
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora#def_4_1|definicja 4.1.]] (2)),
co należało dowieść.<br>
<br>
'''(4)'''
Należy wykazać, że przestrzeń
<math>C\big([0,1];\mathbb{R}\big)</math> jest zupełna.
W tym celu weźmy dowolny ciąg Cauchy'ego
<math>\{f_n\}\subseteq C\big([0,1];\mathbb{R}\big)</math>.
Należy pokazać, że ma on granicę w normie supremowej
(a zatem z punktu (3), że jest jednostajnie zbieżny).
Zauważmy, że dla dowolnego <math>x\in [0,1]</math>,
ciąg liczbowy <math>\{f_n(x)\}</math> jest ciągiem Cauchy'ego
(w <math>\mathbb{R}</math>),
a zatem jest zbieżny, powiedzmy do <math>f(x)</math>
(korzystamy z zupełności <math>\mathbb{R}</math>).
Zatem <math>f</math> jest granicą punktową ciągu funkcyjnego
<math>\{f_n\}</math>.

Ustalmy <math>\varepsilon>0</math>.
Z warunku Cauchy'ego wynika, że

<center><math>\exists N\in\mathbb{N}\ \forall m>n>N:
\sup_{x\in[0,1]}\big|f_n(x)-f_m(x)\big|
<
\varepsilon</math>,</center>

zatem dla <math>m>n>N</math> mamy

<center><math>\forall x\in[0,1]:
\big|f_n(x)-f_m(x)\big|
<
\varepsilon</math></center>

Dla ustalonego <math>x\in [0,1]</math> i ustalonego <math>n>N</math>,
możemy przejść do granicy z <math>m\rightarrow+\infty</math>, otrzymując

<center><math>\big| f_n(x)-f(x)\big|
\le
\varepsilon</math></center>

Zatem pokazaliśmy, że <math>f\rightrightarrows f</math>,
czyli ciąg <math>\{f_n\}</math> jest zbieżny w normie supremowej.
W końcu korzystając
z twierdzenia o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji
ciągłych
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora#tw_4_6|twierdzenie 4.6.]]),
mamy, że <math>f\in C\big([0,1];\mathbb{R}\big)</math>.
</div></div>

<span id="cw_3_6">{{cwiczenie|3.6.||

Niech <math>\|\cdot\|_1</math> i <math>\|\cdot\|_{\infty}</math> oznaczają odpowiednio
normę taksówkową i maksimową w <math>\mathbb{R}^N</math>.
Pokazać, że

<center><math>\|\cdot\|_{\square}
=
2\|\cdot\|_1+\|\cdot\|_{\infty}
</math></center>

jest normą w <math>\mathbb{R}^N</math>.
Dla <math>N=2</math> narysować kulę
<math>K\big((0,0),1\big)\subseteq\mathbb{R}^2</math> w tej normie.
}}</span>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
Korzystając z definicji norm
<math>\|\cdot\|_1</math> i <math>\|\cdot\|_{\infty}</math>,
pokazać, że <math>\|\cdot\|_{\square}</math>
jest normą.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
[[File:AM2.M03.C_R05.svg|375x375px|thumb|right|Kula w metryce z ćwiczenia 3.6.]]
Niech <math>x\in\mathbb{R}^N</math>.
Pokażemy, że
<math>\|x\|_{\square}=0\Longleftrightarrow x=\Theta</math>.

Implikacja "<math>\Longleftarrow</math>" jest oczywista.
W celu udowodnienia implikacji
"<math>\Longrightarrow</math>" załóżmy, że
<math>\|x\|_{\square}=0</math>.
Wówczas
<math>2\|x\|_1+\|x\|_{\infty}=0</math>, czyli
<math>\|x\|_1=0</math> i <math>\|x\|_{\infty}=0</math>.
Ponieważ <math>\|\cdot\|_1</math> i <math>\|\cdot\|_{\infty}</math>
są normami, więc <math>x=\Theta</math>.

W celu pokazania jednorodności niech
<math>x\in \mathbb{R}^N</math> oraz <math>\lambda\in\mathbb{R}</math>.
Wówczas

<center>
<math>
\begin{array}{lll}
\|\lambda x\|_{\square}
& =&
2\|\lambda x\|_1
+\|\lambda x\|_{\infty}
=
2|\lambda| \|x\|_1
+|\lambda| \|x\|_{\infty}\\
& =&
|\lambda|\big(2\|x\|_1+\|x\|_{\infty}\big)
=
|\lambda| \|x\|_{\square},
\end{array}
</math>
</center>

co należało pokazać.

W celu pokazania subaddytywności,
niech <math>x,y\in\mathbb{R}^N</math>.
Wówczas

<center>
<math>\begin{array}{lll}

\|x+y\|_{\square}
&=&
2\|x+y\|_1
+\|x+y\|_{\infty}
\le
2\big(\|x\|_1+\|y\|_1\big)
+\big(\|x\|_{\infty}+\|y\|_{\infty}\big)\\
&=&
\big(2\|x\|_1+\|x\|_{\infty}\big)
\big(2\|y\|_1+\|y\|_{\infty}\big)
=
\|x\|_{\square}+\|y\|_{\square}.
\end{array}
</math>
</center>

Co kończy dowód, że <math>\|\cdot\|_{\square}</math> jest norma w
<math>\mathbb{R}^N</math>.<br>

Aby narysować kulę
<math>K\big((0,0),1\big)\subseteq\mathbb{R}^2</math>
w tej normie, rozpiszmy wzór na tę normę:

<center>
<math>\|(x_1,x_2)\|_{\square}
=
2|x_1|+2|x_2|+\max\big\{|x_1|+|x_2|\big\}
=
\left\{
\begin{array} {lll}
3|x_1|+2|x_2| &  \text{jeśli}   & |x_1|\ge |x_2|,\\
2|x_2|+3|x_2| &  \text{jeśli}   & |x_1|<|x_2|.
\end{array} 
\right.</math>
</center>

Zbiór punktów <math>(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2</math> spełniających
nierówność <math>\|(x_1,x_2)\|_{\square}<1</math> dostajemy, rozpisując
nierówności w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych,
dostajemy ośmiokąt jak na rysunku obok.<br>
</div></div>

<span id="cw_3_7">{{cwiczenie|3.7.||

Niech <math>\|\cdot\|_1</math> i <math>\|\cdot\|_{\infty}</math> oznaczają odpowiednio
normę taksówkową i maksimową w <math>\mathbb{R}^N</math>.
Sprawdzić, czy

<center><math>\|\cdot\|_{\circ}
=
2\|\cdot\|_1-\|\cdot\|_{\infty}
</math></center>

jest normą w <math>\mathbb{R}^2</math>.
}}</span>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
Pokazać brak subaddytywności dla <math>\|\cdot\|_{\circ}</math>.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
Pokażemy, że <math>\|\cdot\|_{\circ}</math> nie spełnia warunku
subaddytywności.
Dla wektorów
<math>x=(1,0)</math> i <math>y(0,1)</math> w <math>\mathbb{R}^2</math> mamy

<center><math>\|x+y\|_{\circ}
=
2\|(1,1)\|_1-\|(1,1)\|_{\infty}
=
2\cdot 2-1
=
3
</math></center>

oraz

<center><math>
\begin{array}{lll}
\|x\|_{\circ}+\|y\|_{\circ}
& =&
2\|(1,0)\|_1-\|(1,0)\|_{\infty}\\
&+& 2\|(0,1)\|_1-\|(0,1)\|_{\infty}
 =2-1+2-1 =2.
\end{array}</math></center>

Zatem
<math>\|x+y\|_{\circ}\not\le\|x\|_{\circ}+\|y\|_{\circ}</math>.

Jako ciekawostkę proponujemy sprawdzenie, że dwa pierwsze
warunki w definicji normy zachodzą dla
<math>\|\cdot\|_{\circ}</math>.
</div></div>

<span id="cw_3_8">{{cwiczenie|3.8.||

W <math>\mathbb{R}^2</math> wprowadzamy

<center><math>\big((x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle}
=
3x_1y_1+5x_2y_2
\quad</math> dla <math>\ \ (x_1,x_2),(y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2</math></center>

'''(1)'''
Pokazać, że <math>\big(\cdot |\cdot \big)_{\triangle}</math> jest
iloczynem skalarnym w <math>\mathbb{R}^2</math>.<br>
'''(2)'''
Jak wygląda <math>\|\cdot\|_{\triangle}</math>
norma zadana przez ten iloczyn skalarny?
Obliczyć <math>\|(4,5)\|_{\triangle}</math>.<br>
'''(3)'''
Dane są dwa wektory
<math>x=(1,7)</math> i <math>y=(3,a)</math>.
Dobrać parametr <math>a\in\mathbb{R}</math> tak, aby
<math>x\perp y</math> (oczywiście w rozważanym iloczynie skalarnym).<br>
'''(4)'''
Narysować kulę <math>K_{\triangle}\big((0,0),1\big)</math>
w metryce zadanej przez ten
iloczyn skalarny.
}}</span>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
'''(1)'''
Sprawdzić zachodzenie wszystkich czterech warunków w definicji
iloczynu skalarnego
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 3: Norma. Iloczyn skalarny#def_3_15|definicja 3.15.]]).<br>
'''(2)'''
Skorzystać ze wzoru na normę zadaną przez iloczyn skalarny
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 3: Norma. Iloczyn skalarny#tw_3_18|twierdzenie 3.18.]]).<br>
'''(3)'''
Co to znaczy, że wektory są ortogonalne?
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 3: Norma. Iloczyn skalarny#def_3_25|definicja 3.25.]]).<br>
'''(4)'''
Kule w przestrzeni unormowanej są to kule w przestrzeni
metrycznej zadanej przez normę.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
'''(1)'''
Dla dowolnego <math>x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2</math> mamy

<center><math>\big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle}
=
3x_1^2+5x_2^2</math>,</center>

zatem

<center><math>\big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle}
\ge
0
</math></center>

oraz

<center><math>\big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle}=0
\ \Longleftrightarrow
(x_1,x_2)=\Theta</math>,</center>

pokazaliśmy więc punkt (1) definicji iloczynu skalarnego.

Niech <math>x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)\in X</math> oraz <math>\lambda\in \mathbb{R}</math>.
Wówczas

<center><math>
\begin{array}{lll}
\big(\lambda(x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle}
&=& 
\big((\lambda x_1,\lambda x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle}
=
3\lambda x_1y_1+5\lambda x_2y_2\\
&=& 
\lambda\big(3x_1y_1+5x_2y_2\big)
=
\lambda\big((x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle},
\end{array}
</math></center>

pokazaliśmy więc punkt (2) definicji iloczynu skalarnego.

Niech teraz
<math>x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2),z=(z_1,z_2)\in X</math>.
Wówczas

<center><math>\begin{array}{lll}
\big((x_1,x_2)+(y_1,y_2)|(z_1,z_2)\big)_{\triangle}
&=&
\big((x_1+y_1,x_2+y_2)|(z_1,z_2)\big)_{\triangle}\\
&=&
3(x_1+y_1)z_1+5(x_2+y_2)z_2\\
&=&
3x_1z_1+3y_1z_1+5x_2z_2+5y_2z_2\\
&=&
\big(3x_1z_1+5x_2z_2\big)
+\big(3y_1z_1+5y_2z_2\big)\\
&=&
\big((x_1,x_2)|(z_1,z_2)\big)_{\triangle}
\big((y_1,y_2)|(z_1,z_2)\big)_{\triangle},
\end{array}</math></center>

pokazaliśmy więc punkt (3) definicji iloczynu skalarnego.

W końcu niech <math>x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)\in X</math>.
Wówczas

<center><math>\big((x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle}
=
3x_1y_1+5y_1y_2
=
3y_1x_1+5y_2x_2
=
\big((y_1,y_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle}
</math></center>

pokazaliśmy więc symetrię.
Kończy to dowód faktu, że
<math>(\cdot|\cdot)_{\triangle}</math> jest
iloczynem skalarnym w <math>\mathbb{R}^2</math>.<br>
<br>
[[File:AM2.M03.C_R06.svg|375x375px|thumb|right|Kula w metryce zadanej przez iloczyn skalarny z ćwiczenia 3.8.]]
'''(2)'''
Ponieważ <math>(\cdot|\cdot)_{\triangle}</math>,
więc norma <math>\|\cdot\|_{\triangle}</math>
zadana przez ten iloczyn skalarny
dla dowolnego <math>x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2</math>
wynosi:

<center>
<math>\|(x_1,x_2)\|_{\triangle}
=
\sqrt{\big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle}}
=
\sqrt{3x_1^2+5x_2^2}</math>
</center>

Zatem

<center>
<math>\|(4,5)\|_{\triangle}
=
\sqrt{3\cdot 4^2+5\cdot 5^2}
=
\sqrt{173}</math>
</center>

'''(3)'''
Wektory <math>x</math> i <math>y</math> są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy
<math>(x|y)_{\triangle}=0</math>. Zatem musimy rozwiązać równanie

<center>
<math>\big((1,7)|(3,a)\big)_{\triangle}
=
0</math>,
</center>

czyli

<center>
<math>3\cdot 1\cdot 3+5\cdot 7\cdot a
=
0</math>,
</center>

skąd
<math>a=-\frac{9}{35}</math>.<br>
<br>
'''(4)'''
Kulą jest następujący zbiór:

<center>
<math>\begin{align} 
K_{\triangle}\big((0,0),1\big)
&=
\big\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:
\|(x_1,x_2)\|_{\triangle}<1\big\}\\
&=
\big\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:
\sqrt{3x_1^2+5x_2^2}<1\big\}\\
&=
\big\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:
3x_1^2+5x_2^2<1\big\}.
\end{align}
</math>
</center>

Przypomnijmy, że zbiór punktów
<math>(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2</math>
spełniających równanie
<math>\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}=1</math> jest elipsą o półosiach
wielkich <math>a</math> i <math>b</math>.
Zatem w naszym przypadku
zbiór punktów <math>(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2</math> spełniających nierówność
<math>\frac{x_1^2}{\frac{1}{3}}+\frac{x_2^2}{\frac{1}{5}}<1</math>
jest wnętrzem elipsy o półosiach wielkich
<math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>
oraz <math>\frac{1}{\sqrt{5}}</math>.<br>
</div></div>

<span id="cw_3_9">{{cwiczenie|3.9.||
(Zadanie nadobowiązkowe.) <br>
Niech <math>X,Y</math> będą dwiema przestrzeniami unormowanymi oraz
<math>f\colon X\longrightarrow Y</math> odwzorowaniem liniowym.
Udowodnić, że następujące warunki są
równoważne:<br>
'''(i)'''
<math>f</math> jest ciągła;<br>
'''(ii)'''
<math>\exists x_0\in X</math>: <math>f</math> jest ciągła w <math>x_0</math>;<br>
'''(iii)'''
<math>f</math> jest ciągła w <math>\Theta\in X</math>
(<math>\Theta</math> oznacza wektor zerowy przestrzeni wektorowej <math>X</math>);<br>
'''(iv)'''
<math>\exists M\ge 0\ \ \forall x\in X: 
\|x\|_X\le 1\ \Longrightarrow \big\|f(x)\big\|_Y\le M</math>
(to znaczy odwzorowanie <math>f</math> jest ograniczone na domkniętej kuli o promieniu <math>1</math>);<br>
'''(v)'''
<math>\exists c\ge 0\ \ \forall x\in X: 
\big\|f(x)\big\|_Y\le c\|x\|_X</math>
(warunek ten nazywa się '''''ograniczonością dla odwzorowania liniowego''''');<br>
'''(vi)'''
<math>f</math> jest jednostajnie ciągła.
}}</span>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
Udowodnić kolejno implikacje
<math>(i)\Longrightarrow(ii)\Longrightarrow(iii)\Longrightarrow(iv)\Longrightarrow(v)\Longrightarrow(vi)\Longrightarrow(i)</math>.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
"<math>(i)\Longrightarrow(ii)</math>"<br>
Implikacja jest oczywista (z ciągłości funkcji wynika jej
ciągłość w każdym punkcie).<br>
<br>
"<math>(ii)\Longrightarrow(iii)</math>"<br>
Załóżmy, że funkcja <math>f\colon X\longrightarrow Y</math>
jest ciągła w pewnym punkcie <math>x_0\in X</math>.
Pokażemy, że jest ciągła w <math>\Theta\in X</math>.

Ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0</math>.
Z definicji Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie wiemy, że

<center><math>\exists \delta>0:
\bigg[\|x-x_0\|_X\le\delta
\ \Longrightarrow
\|f(x)-f(x_0)\|_Y\le\varepsilon\bigg]</math></center>

Dla dowolnego <math>z\in X</math> takiego, że
<math>\|z\|_X\le\delta</math> niech
<math>x=z+x_0</math>.
Wówczas <math>\|x-x_0\|_X=\|z\|_X\le\delta</math>, a zatem korzystając z
powyższej implikacji, dostajemy, że
<math>\|f(z)\|_Y=\|f(x-x_0)\|_Y=\|f(x)-f(x_0)\|_Y\le\varepsilon</math>.
Zatem pokazaliśmy, że

<center><math>\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0:
\bigg[\|z\|_X\le\delta
\ \Longrightarrow
\|f(z)\|_Y\le\varepsilon\bigg]</math>,</center>

a to oznacza ciągłość funkcji <math>f</math> w punkcie <math>\Theta</math>.<br>
<br>
"<math>(iii)\Longrightarrow(iv)</math>"<br>
Załóżmy, że funkcja <math>f\colon X\longrightarrow Y</math>
jest ciągła w punkcie <math>\Theta</math>.
Ustalmy <math>\varepsilon=1</math>.
Wówczas

<center><math>\exists \delta>0:
\bigg[\|z\|_X\le\delta
\ \Longrightarrow
\|f(z)\|_Y\le 1\bigg]</math></center>

Niech <math>M:=\frac{1}{\delta}</math>.
Wówczas dla <math>x\in X\setminus\{\Theta\}</math> takich, że <math>\|x\|_X\le 1</math>
mamy

<center><math>\|f(x)\|_Y
=
\bigg\|f\bigg(\frac{\delta x}{\delta}\bigg)\bigg\|_Y
=
\frac{1}{\delta}\|f(\delta x)\|_Y</math></center>

Korzystając z faktów, że
<math>\|x\|_X\le 1</math> oraz
<math>\|\delta x\|_X=\delta\|x\|_X\le\delta</math>
i z powyższej implikacji,
dostajemy, że

<center><math>\|f(x)\|_Y
\le
\frac{1}{\delta}
=
M</math></center>

Oczywiście dla <math>x=\Theta</math> implikacja także zachodzi.
Zatem pokazaliśmy, że

<center><math>\forall x\in X:
\bigg[ \|x\|_X\le 1
\ \Longrightarrow
\big\|f(x)\big\|_Y\le M\bigg]</math>,</center>

co należało dowieść.<br>
<br>
"<math>(iv)\Longrightarrow(v)</math>"<br>
Zakładamy, że

<center><math>\exists M>0
\forall x\in X:
\bigg[ \|x\|_X\le 1
\ \Longrightarrow
\big\|f(x)\big\|_Y\le M\bigg]</math></center>

Niech <math>c:=M</math>.
Wówczas dla dowolnego <math>x\in X\setminus\{\Theta\}</math> mamy

<center><math>\big\|f(x)\big\|_X
=
\bigg\|f\bigg(\|x\|_X\frac{x}{\|x\|_X}\bigg)\bigg\|_X
=
\|x\|_X\bigg\|f\bigg(\frac{x}{\|x\|_X}\bigg)\bigg\|_X</math></center>

Ponieważ <math>\bigg\|\frac{x}{\|x\|_X}\bigg\|_X=1</math>,
więc możemy skorzystać z założenia, otrzymując

<center><math>\big\|f(x)\big\|_X
=
\|x\|_X\bigg\|f\bigg(\frac{x}{\|x\|_X}\bigg)\bigg\|_X
\le
\|x\|_X\cdot M
=
c\|x\|_X</math></center>

Oczywiście dla <math>x=\Theta</math> implikacja także jest prawdziwa.
Zatem pokazaliśmy, że

<center><math>\exists c\ge 0\ \ \forall x\in X: 
\big\|f(x)\big\|_Y\le c\|x\|_X</math>,</center>

co należało dowieść.<br>
<br>
"<math>(v)\Longrightarrow(vi)</math>"<br>
Zakładamy, że

<center><math>\exists c\ge 0\ \ \forall x\in X: 
\big\|f(x)\big\|_Y\le c\|x\|_X</math></center>

W celu pokazania jednostajnej ciągłości funkcji <math>f</math>
ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0</math>.
Niech
<math>\delta:=\frac{\varepsilon}{c}</math>.
Wówczas dla dowolnych <math>x,z\in X</math>
takich, że <math>\|x-z\|_X\le\delta</math>,
korzystając z założenia, mamy

<center><math>\big\|f(x)-(z)\big\|_Y
=
\big\|f(x-z)\big\|_Y
\le
c\|x-z\|_X
\le
c\delta
=
\varepsilon</math></center>

Zatem pokazaliśmy, że

<center><math>\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0
\forall x,z\in X:
\bigg[ \|x-z\|_X\le \delta
\ \Longrightarrow
\big\|f(x)-f(z)\big\|_Y\le\varepsilon
\bigg]</math>,</center>

co oznacza jednostajną ciągłość funkcji <math>f</math>.<br>
<br>
"<math>(vi)\Longrightarrow(i)</math>"<br>
Implikacja ta jest oczywista, gdyż jednostajna ciągłość zawsze
implikuje ciągłość
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych#tw_2_37|twierdzenie 2.37.]])
</div></div>