Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych
Ciągi w przestrzeniach metrycznych
Ćwiczenie 2.1.
Niech
będzie przestrzenią metryczną, niech będzie ciągiem oraz niech Udowodnić, że jeśli oraz jest dowolnym podciągiem ciągu toĆwiczenie 2.2.
Niech
będzie przestrzenią metryczną, ciągiem oraz niech Udowodnić, że jeśli jest ciągiem zbieżnym oraz jest jego dowolnym podciągiem takim, że to takżeĆwiczenie 2.3.
Niech
(1)
,
wtedy i tylko wtedy, gdy
dla
(2) Ciąg
spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy
ciągi spełniają warunek Cauchy'ego dla
Ćwiczenie 2.4.
Pokazać z definicji, że
(z metryką euklidesową) nie jest zbiorem zwartym.Ćwiczenie 2.5.
Jakie zbiory są zwarte w przestrzeni metrycznej dyskretnej? Odpowiedź uzasadnij.
Ćwiczenie 2.6.
Niech
"jeśli zbiory i są spójne, to zbiór jest
spójny";
"jeśli zbiory i są spójne, to zbiór jest
spójny";
"jeśli zbiór jest spójny, to zbiory i są
spójne".
Ćwiczenie 2.7.
Niech
"jeśli zbiory i są zwarte, to zbiór jest
zwarty";
"jeśli zbiór jest zwarty, to zbiory i są
zwarte".
Ćwiczenie 2.8.
Opisać jak wyglądają ciągi Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej dyskretnej.
Ćwiczenie 2.9.
Rozważmy płaszczyznę
z metryką kolejową z węzłem Zbadać zbieżność dwóch ciągów: i w tej metryce, gdy oraz dla