Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Ćwiczenia

Ćwiczenie

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ ciągiem, oraz $\displaystyle g\in X.$ Udowodnić, że jeśli $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g$ oraz $\displaystyle \displaystyle {\big \{}x_{n_{k}}{\big \}}$ jest dowolnym podciągiem ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\},$ to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k} \ =\ g. }

Wskazówka

(1) Zauważyć, że zachodzenie danej własności dla od pewnego miejsca dla ciągu implikuje zachodzenie tej własności od pewnego miejsca dla podciągu.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Niech $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g.$ Należy pokazać, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow +\infty }x_{n_{k}}=g.$ Weźmy dowolne $\displaystyle \varepsilon >0.$ Z definicji granicy wiemy, że wszystkie wyrazy ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ od pewnego miejsca leżą w kuli $\displaystyle K(g,\varepsilon ).$ Ale to oznacza, że także wszystkie wyrazy podciągu $\displaystyle \{x_{n_{k}}\}$ od pewnego miejsca leżą w kuli $\displaystyle K(g,\varepsilon ).$ Ponieważ $\displaystyle \varepsilon >0$ było dowolnie wybrane, zatem z definicji granicy wnioskujemy, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow +\infty }x_{n_{k}}=g.$

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ ciągiem, oraz $\displaystyle g\in X.$ Udowodnić, że jeśli $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest ciągiem zbieżnym oraz $\displaystyle \displaystyle {\big \{}x_{n_{k}}{\big \}}$ jest jego dowolnym podciągiem takim, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow +\infty }x_{n_{k}}=g,$ to także $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g.$

Wskazówka

Skorzystać z Zadania Uzupelnic z.new.am2.c.02.010| oraz jednoznaczności granicy (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.060|).

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Z założenia wiemy, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g_{1}.$ Z punktu (1) wynika, że także dla podciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n_{k}}\}$ mamy $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow +\infty }x_{n_{k}}=g_{1}.$ Z jednoznaczności granicy (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.060|) mamy, że $\displaystyle g=g_{1},$ co należało dowieść.

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Niech $\displaystyle \displaystyle (X_{i},d_{i})$ będą przestrzeniami metrycznymi dla $\displaystyle i=1,\ldots k,\displaystyle X=X_{1}\times \ldots \times X_{k},\displaystyle \displaystyle \{a_{n}\}\subseteq X$ ciągiem w $\displaystyle X$ (w szczególności $\displaystyle a_{n}=(a_{n}^{1},\ldots ,a_{n}^{k})$ dla $\displaystyle n\in \mathbb {N}$ oraz $\displaystyle a=(a^{1},\ldots ,a^{k})\in X$). Udowodnić, że:
(1) $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}^{i}=a^{i}$ dla $\displaystyle i=1,\ldots ,k.$

(2) ciąg $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}^{i}\}$ spełniają warunek Cauchy'ego dla $\displaystyle i=1,\ldots ,k.$

Wskazówka

(1) Należy wykorzystać definicję metryki standardowej w iloczynie kartezjańskim (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.150|).

(2) Dowód jest analogiczny do dowodu punktu (1).

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

(1) "$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$":
Załóżmy, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=a.$ Ustalmy $\displaystyle i_{0}\in \{1,\ldots ,k\}.$ Należy pokazać, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}^{i_{0}}=a^{i_{0}}.$ Ustalmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Z definicji granicy ciągu wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(a_n,a)<\varepsilon, }

gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(a_n,a) \ =\ \sqrt{d_1(a_n^1,a^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a^k)^2}. }

Zatem dla $\displaystyle n\geq N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d_{i_0}(a_n^{i_0},a^{i_0}) \ \le\ \sqrt{d_1(a_n^1,a^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a^k)^2} \ =\ d(a_n,a) \ <\ \varepsilon. }

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d_{i_0}(a_n^{i_0},a^{i_0})<\varepsilon, }

co oznacza, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}^{i_{0}}=a^{i_{0}}.$
"$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$":
Załóżmy, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}^{i}=a^{i}$ dla każdego $\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}.$ Należy pokazać, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=a.$ W tym celu ustalmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Z definicji granicy ciągu wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall i\in\{1,\ldots,k\}\ \exists N_i\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_i:\ d_i(a_n^i,a^i)<\frac{\varepsilon}{\sqrt{k}}, }

Niech $\displaystyle N=\max\{N_{1},\ldots ,N_{k}\}.$ Wówczas dla $\displaystyle n\geq N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(a_n,a) \ =\ \sqrt{d_1(a_n^1,a^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a^k)^2} \ <\ \sqrt{k\cdot \frac{\varepsilon^2}{k}} \ =\ \varepsilon. }

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(a_n,a)<\varepsilon, }

co oznacza, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=a.$

(2) "$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$":
Załóżmy, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy $\displaystyle i_{0}\in \{1,\ldots ,k\}.$ Należy pokazać, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}^{i_{0}}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Z definicji warunku Cauchy'ego wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N:\ d(a_n,a_m)<\varepsilon, }

gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(a_n,a_m) \ =\ \sqrt{d_1(a_n^1,a_m^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a_m^k)^2}. }

Zatem dla $\displaystyle n,m\geq N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d_{i_0}(a_n^{i_0},a_m^{i_0}) \ \le\ \sqrt{d_1(a_n^1,a_m^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a_m^k)^2} \ =\ d(a_n,a_m) \ <\ \varepsilon. }

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N:\ d_{i_0}(a_n^{i_0},a_m^{i_0})<\varepsilon, }

co oznacza, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}^{i_{0}}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego.

"$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$":
Załóżmy, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}^{i}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego dla każdego $\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}.$ Należy pokazać, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego. W tym celu ustalmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Z definicji warunku Cauchy'ego wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall i\in\{1,\ldots,k\}\ \exists N_i\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N_i:\ d_i(a_n^i,a_m^i)<\frac{\varepsilon}{\sqrt{k}}, }

Niech $\displaystyle N=\max\{N_{1},\ldots ,N_{k}\}.$ Wówczas dla $\displaystyle n,m\geq N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(a_n,a_m) \ =\ \sqrt{d_1(a_n^1,a_m^1)^2+\ldots+d_k(a_n^k,a_m^k)^2} \ <\ \sqrt{k\cdot \frac{\varepsilon^2}{k}} \ =\ \varepsilon. }

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N:\ d(a_n,a_m)<\varepsilon, }

co oznacza, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego.

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Pokazać z definicji, że $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ (z metryką euklidesową) jest zbiorem zwartym.

Wskazówka

Można postępować analogicznie jak w dowodzie Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.01.215|.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Rozważmy rodzinę zbiorów otwartych $\displaystyle \displaystyle {\big \{}K{\big (}(0,0),n{\big )}{\big \}}_{n\in \mathbb {N} }.$ Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \mathbb{R}^2 \ =\ \bigcup_{n\in\mathbb{N}} K\big((0,0),n\big), }

zatem rodzina ta jest pokryciem zbioru $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}.$ Pokażemy, że z tego pokrycia nie można wybrać podpokrycia skończonego. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że istnieje podpokrycie skończone $\displaystyle \displaystyle {\big \{}K{\big (}(0,0),n_{i}{\big )}{\big \}}_{i=1}^{k}.$ Zdefiniujmy $\displaystyle n_{0}=\max\{n_{1},\ldots ,n_{k}\}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigcup_{i=1}^k K\big((0,0),n_i\big) \ =\ K\big((0,0),n_0\big) \subsetneq \mathbb{R}^2 }

(ostatnie istotne zawieranie wynika na przykład z faktu, że punkt $\displaystyle \displaystyle (0,n_{0}+1)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus K{\big (}(0,0),n_{0}{\big )}$). Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem zbiór $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ nie jest zwarty.

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Jakie zbiory są zwarte w przestrzeni metrycznej dyskretnej? Odpowiedź uzasadnij.

Wskazówka

Należy zauważyć, że zbiory jednopunktowe są otwarte (dlaczego?). Jako pokrycie otwarte rozważmy pokrycie zbiorami jednopunktowymi. Kiedy z tego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone?

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

W przestrzeni metrycznej dyskretnej zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończony.
"$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$"
Jeśli $\displaystyle A$ jest zbiorem skończonym to jest zwarty (w dowolnej przestrzeni metrycznej; patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.190|(1)).
"$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$"
Niech $\displaystyle A$ będzie zbiorem zwartym w przestrzeni metrycznej dyskretnej. Należy pokazać, że zbiór $\displaystyle A$ jest skończony. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że zbiór $\displaystyle A$ jest nieskończony. Rozważmy następującą rodzinę zbiorów otwartych $\displaystyle \displaystyle \{K(x,1)\}_{x\in A}.$ Ponieważ $\displaystyle K(x,1)=\{x\}$ zatem rodzina ta jest pokryciem otwartym (i nieskończonym) zbioru $\displaystyle A$ zbiorami jednopunktowymi. Zauważmy, że po usunięciu z tej rodziny dowolnego zbioru, przestaje ona być pokryciem zbioru $\displaystyle A.$ Zatem nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego. Zatem zbiór $\displaystyle A$ nie jest zwarty i otrzymujemy sprzeczność.

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Niech $\displaystyle X$ będzie przestrzenią metryczną oraz $\displaystyle A,B\subseteq X.$ Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są spójne, to zbiór $\displaystyle A\cap B$ jest spójny";
"jeśli zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są spójne, to zbiór $\displaystyle A\cup B$ jest spójny";
"jeśli zbiór $\displaystyle A\cup B$ jest spójny, to zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są spójne".

Wskazówka

Ewentualnych kontrprzykładów można szukać w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}.$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Przecięcie zbiorów spójnych nie musi być zbiorem spójnym. Rysunek przedstawia dwa zbiory spójne $\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ których przecięcie $\displaystyle A\cap B$ nie jest spójne.
{ Rysunek AM2.M02.C.R01 (nowy)}
Suma zbiorów spójnych nie musi być zbiorem spójnym. Wystarczy wziąć dwa przedziały w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R}$: $\displaystyle A=(0,1)$ i $\displaystyle B=(2,3)$ (są to zbiory spójne; porównaj Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.240|). Ich suma $\displaystyle A\cup B=(0,1)\cup (2,3)$ nie jest zbiorem spójnym, gdyż nie jest przedziałem. Oczywiście aby zachodził kontrprzykład, zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ muszą być rozłączne. W przeciwnym razie z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.01.250| wynikałoby, że suma jest zbiorem spójny.
{ Rysunek AM2.M02.C.R02 (nowy)}
Jeśli zbiór $\displaystyle A\cup B$ jest spójny, to zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ nie muszą być spójne. Jak przykład weźmy zbiory $\displaystyle A=(1,3)\cup (4,7)$ oraz $\displaystyle B=[2,5]\cup [6,8].$ Wówczas zbiory $\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R}$ nie są spójne, ale zbiór $\displaystyle A\cup B=(1,8]$ jest spójny (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.250|).
{ Rysunek AM2.M02.C.R03 (nowy)}

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Niech $\displaystyle X$ będzie przestrzenią metryczną oraz $\displaystyle A,B\subseteq X.$ Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są zwarte, to zbiór $\displaystyle A\cup B$ jest zwarty";
"jeśli zbiór $\displaystyle A\cup B$ jest zwarty, to zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są zwarte".

Wskazówka

Ewentualnych kontrprzykładów można szukać w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}.$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Jeśli zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są zwarte, to zbiór $\displaystyle A\cup B$ jest zwarty.

Aby to pokazać weźmy dowolne pokrycie otwarte $\displaystyle \displaystyle \{U_{s}\}_{s\in S}$ zbioru $\displaystyle A\cup B.$ Wówczas jest to zarówno pokrycie zbioru $\displaystyle A$ jak i zbioru $\displaystyle B.$ Ponieważ zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są zwarte więc możemy wybrać podpokrycia skończone $\displaystyle \displaystyle \{U_{s_{i}}\}_{i=1}^{k}$ zbioru $\displaystyle A$ oraz $\displaystyle \displaystyle \{U_{s_{i}}\}_{i=k+1}^{l}$ zbioru $\displaystyle B.$ Wówczas $\displaystyle \displaystyle \{U_{s_{i}}\}_{i=1}^{l}$ jest pokryciem skończonym zbioru $\displaystyle A\cup B$ (jeśli zbiór otwarty powtarza się w pierwszym i drugim podpokryciu, to bierzemy go tylko raz w $\displaystyle \displaystyle \{U_{s_{i}}\}_{i=1}^{l}$).

Jeśli zbiór $\displaystyle A\cup B$ jest zwarty, to zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ nie muszą być zwarte. Jako przykład weźmy przedziały w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R}$: $\displaystyle A=[1,3)$ i $\displaystyle B=(2,4].$ Wówczas zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ nie są zwarte ale zbiór $\displaystyle A\cup B$ jest zwarty (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.210|).
{ Rysunek AM2.M02.C.R04 (nowy)}

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Jak wyglądają ciągi Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej dyskretnej.

Wskazówka

Weź $\displaystyle \displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}$ i zastosuj w definicji ciągu Cauchy'ego.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Niech $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ będzie ciągiem Cauchy'ego przestrzeni metrycznej dyskretnej. Wówczas w szczególności dla $\displaystyle \displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\ge N:\ d(x_n,x_m)<\frac{1}{2}. }

Ale metryka dyskretna przyjmuje tylko wartości $\displaystyle 0$ i $\displaystyle 1,$ zatem dla dowolnych $\displaystyle n,m\geq N,$ mamy $\displaystyle d(x_{n},x_{m})=0,$ a to z kolei oznacza, że $\displaystyle x_{n}=x_{m}.$ Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\ge N:\ x_n=x_N, }

czyli ciąg jest stały od pewnego miejsca.

Zauważmy teraz, że zachodzi także implikacja odwrotna, gdyż każdy ciąg stały jest zbieżny, więc w szczególności jest ciągiem Cauchy'ego.
Odpowiedź: W przestrzeni metrycznej dyskretnej ciąg spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest stały od pewnego miejsca.

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Rozważmy płaszczyznę $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ z metryką kolejową z węzłem $\displaystyle O(0,0).$ Zbadać zbieżność dwóch ciągów: $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ i $\displaystyle \displaystyle \{y_{x}\}$ w tej metryce, gdy $\displaystyle \displaystyle x_{n}={\bigg (}{\frac {1}{n}},1{\bigg )}$ oraz $\displaystyle \displaystyle y_{n}={\bigg (}0,1+{\frac {1}{n}}{\bigg )}$ dla $\displaystyle n\in \mathbb {N} .$

Wskazówka

Najpierw zbadać zachodzenie warunku Cauchy'ego (pozwoli to wykluczyć ciągi, które na pewno nie są zbieżne). Jeśli ciąg spełnia warunek Cauchy'ego to spróbować znaleźć kandydata na granicę.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

(1) Dla ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_{n+1}) \ =\ d_2(x_n,\Theta)+d_2(x_{n+1},\Theta) \ =\ \sqrt{\bigg(\frac{1}{n}\bigg)^2+1^2} + \sqrt{\bigg(\frac{1}{n+1}\bigg)^2+1^2} \ \ge\ 2, }

zatem ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ nie spełnia warunku Cauchy'ego, a zatem nie jest zbieżny.

(2) Pokażemy, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{y_{n}\}$ ma granicę $\displaystyle y_{0}=(0,1).$ Obliczmy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(y_n,y_0) \ =\ d(y_n,y_0) \ =\ \sqrt{0^2+\bigg(1+\frac{1}{n}-1\bigg)} \ =\ \frac{1}{n} }

zatem $\displaystyle d(y_{n},y_{0})\longrightarrow 0$ gdy $\displaystyle n\rightarrow +\infty ,$ a to oznacza, że $\displaystyle y_{n}{\xrightarrow[{d}]{}}y_{0}=(1,0).$

{}$\displaystyle \Box$