Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Z Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 2
Wersja z dnia 22:02, 22 sie 2006 autorstwa Arek (dyskusja | edycje)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Ćwiczenia

Ćwiczenie

Niech będzie przestrzenią metryczną, ciągiem, oraz Udowodnić, że jeśli oraz jest dowolnym podciągiem ciągu to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k} \ =\ g. }
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

Niech będzie przestrzenią metryczną, ciągiem, oraz Udowodnić, że jeśli jest ciągiem zbieżnym oraz jest jego dowolnym podciągiem takim, że to także

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

Niech będą przestrzeniami metrycznymi dla ciągiem w (w szczególności dla oraz ). Udowodnić, że:
(1) wtedy i tylko wtedy, gdy dla

(2) ciąg spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi spełniają warunek Cauchy'ego dla

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

Pokazać z definicji, że (z metryką euklidesową) jest zbiorem zwartym.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

Jakie zbiory są zwarte w przestrzeni metrycznej dyskretnej? Odpowiedź uzasadnij.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory i są spójne, to zbiór jest spójny";
"jeśli zbiory i są spójne, to zbiór jest spójny";
"jeśli zbiór jest spójny, to zbiory i są spójne".

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory i są zwarte, to zbiór jest zwarty";
"jeśli zbiór jest zwarty, to zbiory i są zwarte".

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

Jak wyglądają ciągi Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej dyskretnej.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

Rozważmy płaszczyznę z metryką kolejową z węzłem Zbadać zbieżność dwóch ciągów: i w tej metryce, gdy oraz dla

Wskazówka
Rozwiązanie