Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 1: Przestrzenie metryczne: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m (Zastępowanie tekstu - "\Longleftrightarrow\" na "\Longleftrightarrow")
Linia 49: Linia 49:
 
=
 
=
 
\big\{
 
\big\{
i\in\{1,2,\ldots,n\}:\
+
i\in\{1,2,\ldots,n\}:
 
w_i\ne v_i
 
w_i\ne v_i
 
\big\}.
 
\big\}.
Linia 94: Linia 94:
  
 
<center><math> \displaystyle  A_{wv}
 
<center><math> \displaystyle  A_{wv}
\ \subseteq\
+
\ \subseteq
 
A_{wz}\cup A_{zv}.
 
A_{wz}\cup A_{zv}.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 194: Linia 194:
 
=
 
=
 
\big|f(x)-f(z)+f(z)+f(y)\big|\\
 
\big|f(x)-f(z)+f(z)+f(y)\big|\\
&\le&\big|f(x)-f(z)\big|+\big|f(z)-f(y)\big|=\
+
&\le&\big|f(x)-f(z)\big|+\big|f(z)-f(y)\big|=
 
d(x,z)+d(z,y)
 
d(x,z)+d(z,y)
 
\end{array}</math></center>
 
\end{array}</math></center>
Linia 570: Linia 570:
 
<center>
 
<center>
 
<math> \displaystyle  A
 
<math> \displaystyle  A
\ \subseteq\
+
\ \subseteq
 
\overline{K}_{d_r}\bigg(\bigg(\frac{1}{2},-1\bigg),\frac{5}{2}\bigg).
 
\overline{K}_{d_r}\bigg(\bigg(\frac{1}{2},-1\bigg),\frac{5}{2}\bigg).
 
</math>
 
</math>
Linia 631: Linia 631:
 
<center>
 
<center>
 
<math> \displaystyle  A
 
<math> \displaystyle  A
\ \subseteq\
+
\ \subseteq
 
\overline{K}_{d_k}(S,\sqrt{5}).
 
\overline{K}_{d_k}(S,\sqrt{5}).
 
</math>
 
</math>
Linia 725: Linia 725:
  
 
<center><math> \displaystyle  K(x,r)
 
<center><math> \displaystyle  K(x,r)
\ \subseteq\
+
\ \subseteq
 
\bigcup_{s\in S_0}U_s
 
\bigcup_{s\in S_0}U_s
 
=
 
=
Linia 743: Linia 743:
 
<math> \displaystyle  x\in U.</math> Z definicji sumy zbiorów i z założenia wynika, że
 
<math> \displaystyle  x\in U.</math> Z definicji sumy zbiorów i z założenia wynika, że
  
<center><math> \displaystyle  \forall k\in\{1,\ldots,n\}:\
+
<center><math> \displaystyle  \forall k\in\{1,\ldots,n\}:
 
\exists r_k>0:\ K(x,r_k)\subseteq U_k.
 
\exists r_k>0:\ K(x,r_k)\subseteq U_k.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 754: Linia 754:
 
Wówczas
 
Wówczas
  
<center><math> \displaystyle  \forall k\in\{1,\ldots,n\}:\
+
<center><math> \displaystyle  \forall k\in\{1,\ldots,n\}:
 
K(x,r)
 
K(x,r)
\ \subseteq\
+
\ \subseteq
 
K(x,r_k)
 
K(x,r_k)
\ \subseteq\
+
\ \subseteq
 
U_k,
 
U_k,
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 764: Linia 764:
 
a więc
 
a więc
  
<center><math> \displaystyle  \forall k\in\{1,\ldots,n\}:\
+
<center><math> \displaystyle  \forall k\in\{1,\ldots,n\}:
 
K(x,r)
 
K(x,r)
\ \subseteq\
+
\ \subseteq
 
\bigcap_{k=1}^n U_k
 
\bigcap_{k=1}^n U_k
 
=
 
=

Wersja z 21:09, 9 cze 2020

Przestrzenie metryczne

Ćwiczenie 1.1.

Niech będzie dowolną liczbą naturalną oraz niech oznacza zbiór wszystkich słów długości (to znaczy ciągów liter długości ). W teorii kodowania rozważa się funkcję definiowaną przez:

ilość pozycji, na których w słowach i występują różne litery

(a) Udowodnić, że jest metryką w (jest to tak zwana metryka Hamminga).
(b) Czy nadal będzie metryką, gdy w powyższej definicji słowo "różne" zastąpimy przez "takie same"?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.2.

Niech będzie dowolnym zbiorem niepustym oraz niech będzie dowolną iniekcją. Udowodnić, że odwzorowanie dane wzorem

jest metryką w

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.3.

Sprawdzić, czy funkcja dana wzorem

jest metryką w Jeśli tak, to jak wyglądają kule oraz w tej metryce.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.4.

Niech będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów zachodzi implikacja

Wskazówka
Rozwiązanie

Mamy

gdzie w nierówności skorzystaliśmy z faktu, że supremum po większym zbiorze jest nie mniejsze.

Ćwiczenie 1.5.

Niech będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że dla dowolnego oraz zachodzi Czy nierówność "" można zastąpić równością?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.6.

Niech będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że jeśli oraz to oraz

Wskazówka
Rozwiązanie

Ponieważ, więc z definicji kuli mamy, że a zatem

W celu pokazania inkluzji weźmy dowolne Z nierówności trójkąta oraz definicji mamy

skąd wynika, że Kończy to dowód inkluzji.

Ćwiczenie 1.7.

Udowodnić, że kule w są zbiorami otwartymi.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.8.

Dany jest zbiór oraz dwa punkty oraz Wyznaczyć
(a) odległość punktów i ,
(b) ,
(c)
kolejno w metrykach: dyskretnej ; metryce rzece gdy "rzeką" jest prosta o równaniu ; metryce kolejowej gdy "węzłem" kolejowym jest punkt

Wskazówka
Rozwiązanie

<flash>file=Am2.M01.C.R04.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Odległości punkrów i odległość punktu od zbioru dla metryki kolejowej

(1) Dla metryki dyskretnej mamy:
(a) gdyż
(b) gdyż
(c) gdyż

(2)
Dla metryki rzeki (z "rzeką" ) mamy:
(a) Zauważmy, że rzutem punktu na prostą jest punkt oraz rzutem punktu na prostą jest punkt Zatem

(b) Odległość od zbioru w metryce rzece jest realizowana w punkcie (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od do dowolnego innego punktu zbioru jest większa, niż do ), zatem

(c) Zauważmy, że:

Zatem z ćwiczeń 1.4. i 1.5. wynika, że

Ale z drugiej strony zauważmy, że dla punktów mamy zatem Z obu nierówności wynika, że

(3)
Dla metryki kolejowej (z "węzłem kolejowym" ) mamy:
(a)Mamy

(b) Odległość od zbioru w metryce kolejowej jest realizowana w punkcie (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od do dowolnego innego punktu zbioru jest większa, niż do ; zauważmy, że punkt należy do półprostej wychodzącej z i przechodzącej przez ), zatem

(c) Zauważmy, że:

Zatem z ćwiczeń 1.4. i 1.5. wynika, że

W tym przypadku żadne dwa punkty nie realizują supremum z występującego w definicji średnicy zbioru Możemy jednak do tego supremum dowolnie się zbliżyć. Niech

Wówczas

oraz

Zatem ostatecznie

Ćwiczenie 1.9.

Niech będzie przestrzenią metryczną. Udowodnić, że
(a) suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
(b) przecięcie (część wspólna) skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Wskazówka
Rozwiązanie