Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 14: Przegląd metod całkowania równań różniczkowych zwyczajnych

Równania różniczkowe zwyczajne - przegląd metod rozwiązywania. Ćwiczenia

Ćwiczenie

Rozwiązać problem Cauchy'ego:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \dot{x}x\sqrt{1-t^2}+t\sqrt{1-x^2} \ =\ 0\quad x\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}. }

Wskazówka

To jest równanie o zmiennych rozdzielonych.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Rozdzielamy zmienne w powyższym równaniu i dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}} \ =\ \frac{-t\,dt}{\sqrt{1-t^2}}, \quad [x^2=1?]. }

(Zauważmy od razu, że $\displaystyle x\equiv 1$ i $\displaystyle x\equiv -1$ są rozwiązaniami naszego równania). Całkując powyższą równość mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle -\sqrt{1-x^2} \ =\ \sqrt{1-t^2}+C, }

zatem rozwiązanie ogólne równania (w postaci uwikłanej) jest dane jako

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-t^2} \ =\ C. }

Krzywą przechodzącą przez punkt $\displaystyle \displaystyle {\bigg (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigg )}$ wyznaczamy wstawiając ten punkt do powyższego równania i wyznaczając $\displaystyle C$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}+\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} \ =\ C, }

skąd $\displaystyle C={\sqrt {3}}.$ A zatem rozwiązaniem problemu Cauchy'ego jest funkcja $\displaystyle x(t)$ dana przez równanie

$\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}+{\sqrt {1-t^{2}}}={\sqrt {3}}.$ {}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Rozwiązać problem Cauchy'ego:

$\displaystyle {\dot {x}}=x\cos t,\quad x(0)=1.$

Wskazówka

To jest równanie o zmiennych rozdzielonych.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Rozdzielamy zmienne w naszym równaniu i dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{dx}{x} \ =\ \cos t\,dt, \quad [x=0?] }

(Zauważmy też, że $\displaystyle x=0$ jest rozwiązaniem wyjściowego równania). Całkując mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ln |x| \ =\ \sin t + \ln |C|, }

(dla wygody stałą dowolną zapisaliśmy, podobnie jak na wykładzie, jako $\displaystyle \displaystyle \ln |C|,$ możemy tak zrobić bo funkcja $\displaystyle \displaystyle \ln$ jest suriekcją na $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R}$). Z powyższego równania dostajemy zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x(t) \ =\ Ce^{\sin t}. }

Nasz warunek początkowy to $\displaystyle x(0)=1,$ zatem wstawiamy do rozwiązania ogólnego punkt $\displaystyle \displaystyle (0,1)$ i wyznaczamy $\displaystyle C$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle Ce^{\sin 0} \ =\ 1, }

skąd $\displaystyle C=1$ i szukane rozwiązanie to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x(t) \ =\ e^{\sin t}. } {}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Znaleźć krzywe, dla których odcinek stycznej zawarty między osiami współrzędnych jest podzielony na połowy w punkcie styczności.

Wskazówka

Narysować rysunek. Napisać równie stycznej. Z warunków zadania wynika, że punkt styczności jest średnią arytmetyczną współrzędnych punktów przecięcia stycznej z osiami. Stad otrzymujemy równanie różniczkowe.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Równanie stycznej w punkcie $\displaystyle \displaystyle (\tau ,\xi )$ to

$\displaystyle {\dot {x}}(\tau )(t-\tau )\ =x-\xi .$

{ Rysunek AM2.M14.C.R01 (nowy)}
Punkt przecięcia stycznej z osią $\displaystyle Ot$ to punkt $\displaystyle \displaystyle (t_{z},0),$ gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle t_z \ =\ \frac{-\xi}{\dot{x}(\tau)}+\tau. }

Podobnie, przecięcia stycznej z osią $\displaystyle Otx$ to punkt $\displaystyle \displaystyle (0,x_{z}),$ gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_z \ =\ \xi+\tau \dot{x}(\tau). }

Z warunków zadania wynika, że współrzędne punktu $\displaystyle \displaystyle (\tau ,\xi )$ mają być średnimi arytmetycznymi współrzędnych punktów $\displaystyle \displaystyle (0,x_{z})$ i $\displaystyle \displaystyle (t_{z},0).$ Tak więc dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \tau \ =\ \frac{1}{2}t_z=\frac{1}{2}(\frac{-\xi}{\dot{x}(\tau)}+\tau),\\ \xi \ =\ \frac{1}{2}x_z=\frac{1}{2}(\xi+\tau \dot{x}(\tau)). }

Stąd dostajemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \tau \ =\ -\frac{\xi}{\dot{x}(\tau)}, }

Zapiszmy to równanie różniczkowe mnożąc przez $\displaystyle \displaystyle {\dot {x}}$ i zmieniając nazwy zmiennych na $\displaystyle x$ i $\displaystyle t.$ Dostaniemy równanie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \dot{x}t \ =\ -x. }

To jest równanie o zmiennych rozdzielonych, rozwiązujemy je

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{\,dx}{x} \ =\ -\frac{\,dt}{t}\quad [x=0?] }

(Zauważmy tu, że choć $\displaystyle x\equiv 0$ jest rozwiązaniem powyższego równania, to nie jest rozwiązaniem naszego zadania, trudno bowiem w tym przypadku mówić o "odcinku stycznej miedzy osiami"). Całkując dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ln |x| \ =\ \ln|\frac{1}{t}|+\ln|C| }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |x| \ =\ |C||\frac{1}{t}|, C\neq 0 }

skąd dostajemy, że rozwiązaniem naszego zadania jest dowolna krzywa spełniająca

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle tx \ =\ C } ze stałą $\displaystyle C\neq 0.$ {}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Rozwiązać problem Cauchy'ego:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle t\dot{x}-x \ =\ (t+x)\ln \frac{t+x}{t},\\ x(1)=1. }

Wskazówka

To jest równanie jednorodne.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Nasze równanie możemy zapisać w postaci

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle t\dot{x} \ =\ x+(t+x)\ln \frac{t+x}{t}. }

Stosujemy podstawienie $\displaystyle x=zt,$ różniczkując mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \dot{x} \ =\ z+t\dot{z}. }

Podstawiając do naszego równania mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle t(z+t\dot{z}) \ =\ zt+(t+zt)\ln (1+z), }

skąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle t^2dz \ =\ t(1+z)\ln (1+z). }

Z powyższego równania dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{dz}{(1+z)\ln (1+z)} \ =\ \frac{dt}{t}. }

Zauważmy tu, że $\displaystyle z\equiv -1$ nie jest rozwiązaniem tego równania (ze względu na dziedzinę logarytmu), natomiast $\displaystyle z$ takie, że $\displaystyle \displaystyle \ln(z+1)=0$ czyli $\displaystyle z\equiv 0,$ (czyli $\displaystyle x\equiv 0$) jest rozwiązaniem.

Całkując powyższą równość dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ln|\ln(z+1)| \ =\ \ln|t|+\ln|C|, }

gdzie znów stałą dowolną zapisujemy w postaci $\displaystyle \displaystyle \ln |C|.$ Wracając do zmiennej $\displaystyle x$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ln|\ln(\frac{x}{t}+1)| \ =\ \ln|t|+\ln|C|, }

czyli nasze rozwiązanie dane jest równaniem uwikłanym

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ln(\frac{x}{t}+1) \ =\ Ct. }

Rozwiązanie spełniające warunek $\displaystyle x(1)=1$ znajdujemy wyznaczając $\displaystyle C$ z równania

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ln(\frac{1}{1}+1) \ =\ C1, }

czyli $\displaystyle C=\ln 2,$ zatem szukane rozwiązanie to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ln(\frac{x}{t}+1) \ =\ (\ln 2)t. } {}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Rozwiązać równanie:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x \ =\ t(\dot{x}-t\cos t). }

Wskazówka

To jest równanie liniowe niejednorodne.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Nasze równanie po przekształceniu możemy zapisać jako

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle t\dot{x}-x \ =\ t^2\cos t, }

czyli, po podzieleniu przez $\displaystyle t$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \dot{x}-\frac{x}{t} \ =\ t\cos t, }

a zatem faktycznie, mamy równanie liniowe niejednorodne. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_0(t) \ =\ Ce^{\int\frac{1}{t}\,dt}=Ce^{\ln|t|}=Ct. }

Moduł możemy opuścić, bo $\displaystyle C$ jest stałą dowolną. Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego to w naszym przypadku

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x(t) \ =\ \int t\cos t e^{-\int\frac{1}{t}\,dt}\,dt = \int \cos t\,dt=\sin t. }

A zatem rozwiązaniem ogólnym naszego równania niejednorodnego jest

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x(t) \ =\ t(C+\sin t). } {}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Znaleźć rozwiązanie ogólne równania:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg(\frac{t}{\sin x}+2\bigg)dt+\frac{(t^2+1)\cos x}{\cos 2x -1}dx \ =\ 0. }

Wskazówka

To jest równanie zupełne.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Sprawdźmy, że faktycznie, jest to równanie różniczkowe zupełne. Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M(t,x) \ =\ \frac{t}{\sin x}+2, \quad N(t,x) \ =\ \frac{(t^2+1)\cos x}{\cos 2x-1}. }

Liczymy pochodne cząstkowe:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \frac{\partial M}{\partial x} &= \frac{-t\cos x}{\sin^2x}\\ \frac{\partial N}{\partial t} &= \frac{2t\cos x}{-2\sin^2 x}, \endaligned}

gdzie w drugim wzorze skorzystaliśmy z tożsamości trygonometrycznej $\displaystyle \displaystyle \cos 2x-1=-2\sin ^{2}x.$ Tak więc, mamy równanie różniczkowe zupełne. Rozwiązujemy go całkując

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{t}{\sin x}+2\,dt \ =\ \frac{t^2}{2\sin x}+2t+g(x). }

Funkcję $\displaystyle g(x)$ znajdujemy różniczkując po $\displaystyle x$ powyższą całkę i porównując z $\displaystyle N(t,x).$ Dostaniemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{-t^2\cos x}{2\sin^2 x}+g'(x) \ =\ \frac{t^2\cos x}{\cos 2x-1}+\frac{\cos x}{\cos 2x-1}. }

Mamy $\displaystyle \displaystyle \cos 2x-1=-2\sin ^{2}x,$ zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{-t^2\cos x}{2\sin^2 x}+g'(x) \ =\ \frac{t^2\cos x}{-2\sin^2x}+\frac{\cos x}{-2\sin^2x}, }

skąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle g'(x) \ =\ \frac{\cos x}{-2\sin^2x}, }

a zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle g(x) \ =\ \frac{1}{2\sin x}+C. }

Stąd, rozwiązaniem ogólnym naszego równania jest funkcja $\displaystyle x$ dana równaniem uwikłanym

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{t^2}{2\sin x}+\frac{1}{2\sin x}+2t+C \ =\ 0. } {}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Znaleźć rozwiązanie ogólne równania:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \dot{x}+2x \ =\ x^2e^t. }

Wskazówka

To jest równanie Bernoullego.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Nasze równanie to równanie Bernoullego z $\displaystyle p(t)=2,q(t)=e^{t}$ i $\displaystyle r=2$ (oznaczenia jak na wykładzie). Równanie rozwiązujemy robiąc podstawienie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z \ =\ x^{1-r}=x^{-1}. }

Osobno trzeba rozważyć sytuację $\displaystyle x\equiv 0,$ widać, że ta funkcja jest rozwiązaniem naszego równania.

Różniczkując $\displaystyle z={\frac {1}{x}}$ dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \dot{z} \ =\ -\frac{1}{x^2}\dot{x}. }

Mnożymy nasze wyjściowe równanie przez $\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}}}$ i dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle -\frac{1}{x^2}\dot{x}-\frac{2x}{x^2} \ =\ -e^t, }

czyli podstawiając

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \dot{z}-2z \ =\ -e^t. }

To jest równanie liniowe niejednorodne rzędu pierwszego. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego $\displaystyle \displaystyle {\dot {z}}-2z=0$ to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z_0(t) \ =\ Ce^{-\int(-2)dt}=Ce^{2t}, }

zatem rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z(t) \ =\ e^{2t}(C+\int -e^{t}e^{-2t}\,dt) \ =\ e^{2t}(C+\int -e^{-t}\,dt), }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z(t) \ =\ Ce^{2t}+e^t. }

Stąd, skoro $\displaystyle z={\frac {1}{x}},$ rozwiązane możemy napisać jako

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (Ce^{2t}+e^t)x \ =\ 1. } {}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Znaleźć rozwiązanie równania:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x''-5x' \ =\ 3t^2+\sin 5t, }

które przechodzi przez punkt $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ i którego pochodna także

przechodzi przez punkt $\displaystyle \displaystyle (0,0).$

Wskazówka

To jest równanie liniowe niejednorodne rzędu $\displaystyle 2.$ Należy rozwiązać równanie charakterystyczne i wypisać rozwiązanie równania jednorodnego. Rozwiązanie szczególne równania jednorodnego można znaleźć metodą przewidywań, stosując ją kolejno do dwóch równań z prawą stroną $\displaystyle 3t^{2}$ i $\displaystyle \displaystyle \sin 5t.$ Rozwiązanie spełniające zadane warunki przechodzenia przez punkt należy znaleźć wstawiając punkty i wyliczając stałe.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x''-5x' \ =\ 0. }

Równanie charakterystyczne to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lambda^2-5\lambda \ =\ 0, }

czyli $\displaystyle \displaystyle \lambda (\lambda -5)=0.$ Rozwiązaniami są

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lambda_1 \ =\ 0 \quad } i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \quad \lambda_2 \ =\ 5. }

A zatem rozwiązanie ogólne równania jednorodnego to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x(t) \ =\ C_1e^{0t}+C_2e^{5t} \ =\ C_1+C_2e^{5t}. }

Rozwiążmy teraz równanie niejednorodne z prawą stroną $\displaystyle 3t^{2},$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x''-5x' \ =\ 3t^2. }

Zauważmy, że $\displaystyle 3t^{2}=3t^{2}e^{0},$ czyli mamy równanie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x''-5x' \ =\ 3t^2e^0 }

a $\displaystyle 0$ jest pierwiastkiem (jednokrotnym) równania charakterystycznego. Rozwiązania szczególnego szukamy zatem w postaci

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_1(t) \ =\ t(at^2+bt+c)=at^3+bt^2+ct. }

Różniczkując mamy

$\displaystyle x_{1}'\ =3at^{2}+2bt+c,$ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_1'' \ =\ 6at+2b. }

Wstawiając $\displaystyle x_{1}$ do równania dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_1''-5x_1' \ =\ 6at+2b-5(3at^2+2bt+c) \ =\ 3t^2, }

skąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle -15at^2+t(6a-10b)-5c+2b \ =\ 3t^2. }

Porównując współczynniki dostajemy układ równań

$\displaystyle -15a=3,\quad 6a-10b=0,\quad 2b-5c=0.$

Rozwiązując ten układ dostajemy

$\displaystyle a=-{\frac {1}{5}},\quad b=-{\frac {3}{25}},\quad c=-{\frac {6}{75}}.$

A zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_1(t) \ =\ -\frac{1}{5}t^3-\frac{3}{25}t^2-\frac{6}{75}t. }

Teraz musimy rozwiązać drugie z równań niejednorodnych,

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x''-5x' \ =\ \sin 5t. }

Prawa strona jest w postaci $\displaystyle e^{0}\sin 5t,$ liczba $\displaystyle 0+5i=5i$ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, zatem rozwiązania szczególnego szukamy w postaci

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_2(t) \ =\ A\cos 5t+B\sin 5t. }

Różniczkując mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_2' \ = \ -5A\sin 5t+5B\cos 5t, } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_2'' \ =\ -25A\cos 5t-25B\sin 5t. }

Wstawiając do równania dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x''-5x' \ =\ -25\cos 5t-25B\sin 5t +25A\sin 5t-25B\cos 5t \ =\ \sin 5t. }

Porównując współczynniki dostajemy układ równań

$\displaystyle -25A-25B=0,\quad -25B+25A=1,$

skąd

$\displaystyle A={\frac {1}{50}},\quad B=-{\frac {1}{50}},$

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_2(t) \ =\ \frac{1}{50}\cos 5t-\frac{1}{50}\sin 5t. }

Rozwiązaniem ogólnym naszego wyjściowego równania jest więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x(t) \ =\ x_0(t)+x_1(t)+x_2(t) \ =\ C_1+C_2e^{5t}-\frac{1}{5}t^3-\frac{3}{25}t^2-\frac{6}{75}t+\frac{1}{50}\cos 5t-\frac{1}{50}\sin 5t. }

Szukamy teraz stałych $\displaystyle C_{1}$ i $\displaystyle C_{2}$ takich, by nasze rozwiązanie przechodziło przez punkt $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ i aby jego pochodna też przechodziła przez ten punkt. Wstawiając do $\displaystyle x(t)$ punkt $\displaystyle 0$ dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle C_1+C_2+\frac{1}{50} \ =\ 0, }

a wstawiając zero do pochodnej $\displaystyle x(t),$ równej $\displaystyle \displaystyle {\dot {x}}(t)=5C_{2}e^{5t}-{\frac {3}{5}}t^{2}-{\frac {6}{25}}t-{\frac {6}{75}}-{\frac {5}{50}}\sin 5t-{\frac {5}{50}}\cos 5t$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 5C_2-\frac{6}{75}-\frac{5}{50} \ =\ 0, }

skąd $\displaystyle C_{2}={\frac {17}{750}}$ a $\displaystyle C_{1}=-{\frac {32}{750}}.$

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Znaleźć rozwiązanie równania:

$\displaystyle x^{(4)}+x''=t,$

Wskazówka

To jest równanie liniowe niejednorodne rzędu $\displaystyle 4.$ Równanie niejednorodne można rozwiązać metodą przewidywań. Należy zwrócić uwagę na krotność pierwiastków równania charakterystycznego.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Najpierw rozwiązujemy równanie ogólne

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x^{(4)}+x'' \ =\ 0. }

Równanie charakterystyczne to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lambda^4+\lambda^2 \ =\ 0, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lambda^2(\lambda^2+1) \ =\ 0. }

Rozwiązania tego równania to

$\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0,\quad \lambda _{3}=i,\quad \lambda _{4}=-i.$

A zatem, skoro mamy jeden rzeczywisty pierwiastek podwójny i dwa pierwiastki zespolone, sprzężone, rozwiązanie ogólne równania jednorodnego to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_0(t) \ =\ C_1e^0+C_2te^0+C_3\cos t+C_4\sin t=C_1+C_2t+C_3\cos t+C_4\sin t. }

Teraz szukamy rozwiązania szczególnego naszego równania. Ponieważ prawa strona równania jest równa $\displaystyle t=te^{0}$ a $\displaystyle 0$ jest podwójnym pierwiastkiem równania charakterystycznego, rozwiązania szczególnego szukamy w postaci

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_1(t) \ =\ t^2(at+b) \ =\ at^3+bt^2. }

Różniczkując mamy

$\displaystyle x_{1}''(t)=6at+2b,\quad x_{1}^{(4)}=0.$

Wstawiając do równania dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_1^{(4)}+x_1''(t) \ =\ 0+6at+2b=6at+2b=t, }

skąd

$\displaystyle 6a=1,\quad 2b=0$

czyli

$\displaystyle a={\frac {1}{6}},\quad b=0.$

A więc rozwiązanie szczególne to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_1(t) \ =\ \frac{t^3}{6}. }

Rozwiązaniem ogólnym naszego równania jest zatem funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x(t) \ =\ x_0(t)+x_1(t) \ =\ C_1+C_2t+C_3\cos t+C_4\sin t+\frac{t^3}{6} } {}$\displaystyle \Box$