Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 10: Wielowymiarowa całka Riemanna

Wielowymiarowa całka Riemanna

Ćwiczenie 10.1.

Policzyć z definicji następującą całkę

$\displaystyle \iint \limits _{K}xy\ dxdy,$

gdzie $\displaystyle K=[0,1]\times [0,1].$

Wskazówka

Podzielić $\displaystyle K$ na równe kwadraty (o boku $\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{n}}$) i utworzyć sumę całkową. Zobaczyć do czego zmierza ta suma, gdy $\displaystyle n\to \infty .$

Rozwiązanie

Plik:AM2.M10.C.R01.svg

Podział kostki w $\mathbb {R} ^{2}$

Skoro funkcja $\displaystyle f(x,y)=xy$ jest ciągła na kostce $\displaystyle K,$ to całka Riemanna z tej funkcji istnieje. W takim razie wystarczy wziąć jakikolwiek normalny ciąg podziałów $\displaystyle P_{n},n\in \mathbb {N} ,$ utworzyć sumę całkową i znaleźć jej granicę przy $\displaystyle n\to \infty .$

Weźmy następujący podział $\displaystyle P_{n}$ kostki $\displaystyle K.$ Podzielmy każdy z odcinków $\displaystyle \displaystyle [0,1]$ na $\displaystyle n$ równych części. Każda z nich będzie miała długość $\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{n}}.$ Biorąc iloczyn kartezjański tych małych odcinków, dostajemy podział $\displaystyle P_{n}$ kwadratu $\displaystyle K$ na kwadraty $\displaystyle K_{ij},\ i,j=1,\ldots ,n$ o boku $\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{n}},$ a zatem o objętości $\displaystyle v(K_{ij})={\frac {1}{n^{2}}}:$

$\displaystyle K_{ij}=\left[{\frac {i}{n}},{\frac {i+1}{n}}\right]\times \left[{\frac {j}{n}},{\frac {j+1}{n}}\right].$

Oczywiście $\displaystyle P_{n}$ jest normalnym ciągiem podziałów.

Jako punkty pośrednie w kwadratach (kostkach) $\displaystyle K_{ij}$ weźmy lewe dolne rogi tych kwadratów, czyli punkty $\displaystyle p_{ij}$ o współrzędnych $\displaystyle p_{ij}:=({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}).$ Wartość funkcji $\displaystyle f(x,y)=xy$ w punktach $\displaystyle p_{ij},i,j=1,\ldots ,n$ jest równa zatem $\displaystyle \displaystyle {\frac {ij}{n^{2}}}.$

Utwórzmy $\displaystyle n$-tą sumę całkową:

$\displaystyle S(f,P_{n},p_{11},p_{12},\ldots ,p_{nn})=\sum _{i,j=1}^{n}f(p_{ij})v(K_{ij})=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {ij}{n^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}.$

Musimy policzyć granicę tej ostatniej sumy przy $\displaystyle n\to \infty .$ Otóż

$\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {ij}{n^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{n^{4}}}\sum _{i,j=1}^{n}ij.$

Teraz wystarczy zauważyć, że

$\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}ij=1\sum _{i,j=1}^{n}j+2\sum _{i,j=1}^{n}j+\ldots +n\sum _{i,j=1}^{n}j=(1+2+\ldots +n)\sum _{i,j=1}^{n}j=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2},$

bo $\displaystyle \displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}j={\frac {n(n+1)}{2}}.$ A zatem

$\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {ij}{n^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{n^{4}}}\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}{\stackrel {n\to \infty }{\to }}{\frac {1}{4}}.$

Tak więc dla $\displaystyle K=[0,1]\times [0,1],$

$\displaystyle \iint \limits _{K}xy\ dxdy={\frac {1}{4}}.$

Ćwiczenie 10.2.

Policzyć z definicji całkę

$\displaystyle \iiint \limits _{K}x\ dxdydz,$

gdzie $\displaystyle K=[0,1]\times [0,1]\times [0,1].$

Wskazówka

Podzielić $\displaystyle K$ na równe sześciany (o boku $\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{n}}$) i utworzyć sumę całkową. Zobaczyć do czego zmierza ta suma, gdy $\displaystyle n\to \infty .$

Rozwiązanie

Analogicznie jak w poprzednim zadaniu widzimy, że funkcja $\displaystyle f(x,y,z)=x$ jest ciągła (i ograniczona na $\displaystyle K$), a zatem jest całkowalna w sensie Riemanna.

Utwórzmy zatem ciąg $\displaystyle P_{n}$ podziałów kostki $\displaystyle K$ na kostki $\displaystyle K_{ijt},i,j,t=1,\ldots n$ określone jako

$\displaystyle K_{ijt}=\left[{\frac {i}{n}},{\frac {i+1}{n}}\right]\times \left[{\frac {j}{n}},{\frac {j+1}{n}}\right]\times \left[{\frac {t}{n}},{\frac {t+1}{n}}\right].$

Objętość takiej kostki wynosi $\displaystyle v(K_{ijt})={\frac {1}{n^{3}}}.$

Jako punkty pośrednie weźmy

$\displaystyle p_{ijt}=\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}},{\frac {t}{n}}\right).$

Wartość $\displaystyle f$ w punkcie pośrednim wynosi $\displaystyle f(p_{ijt})=f({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}},{\frac {t}{n}})={\frac {i}{n}}.$

Utwórzmy sumę całkową

$\displaystyle S(f,P_{n},p_{111},p_{112},\ldots ,p_{nnn})=\sum _{i,j,t=1}^{n}f(p_{ijt})v(K_{ijt})=\sum _{i,j,t=1}^{n}{\frac {i}{n}}{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{n^{4}}}\sum _{i,j,t=1}^{n}i.$

Teraz wystarczy zauważyć, że $\displaystyle \displaystyle \sum _{i,j,t=1}^{n}i=n^{2}\sum {i=1}^{n}i=n^{2}{\frac {n(n+1)}{2}}.$ Zatem

$\displaystyle S(f,P_{n},p_{111},p_{112},\ldots ,p_{nnn})={\frac {1}{n^{4}}}n^{2}{\frac {n(n+1)}{2}}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}{\frac {1}{2}}.$

Ćwiczenie 10.3.

Policzyć całkę

$\displaystyle \iiint \limits _{K}(x+y)\ dxdydz,$

gdzie $\displaystyle K=[0,1]\times [0,1]\times [0,1].$

Wskazówka

Należy skorzystać z liniowości całki (patrz stwierdzenie 10.8.) i z ćwiczenia 10.2.

Rozwiązanie

Z liniowości całki mamy

$\displaystyle \iiint \limits _{K}(x+y)\ dxdydz=\iiint \limits _{K}x\ dxdydz+\iiint \limits _{K}y\ dxdydz.$

Całkę $\displaystyle \displaystyle \iiint \limits _{K}x\ dxdydz$ policzyliśmy w ćwiczeniu 10.2. Po dokładnie takich samych obliczeniach dostajemy też $\displaystyle \displaystyle \iiint \limits _{K}ydxdydz={\frac {1}{2}}.$ A zatem

$\displaystyle \iiint \limits _{K}(x+y)\ dxdydz=1.$

Ćwiczenie 10.4.

Wykazać, że zbiór $\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{N}$ o objętości zero jest zbiorem miary zero.

Wskazówka

Punkty też są kostkami.

Rozwiązanie

Niech dane będzie $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Szukamy kostek $\displaystyle K_{1},K_{2},\ldots$ takich, że

$\displaystyle B\subset K_{1}\cup K_{2}\cup \ldots =\bigcup _{j=1}^{\infty }K_{j}$

oraz

$\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }v(K_{j})\leq \varepsilon .$

Wiemy, że zbiór $\displaystyle B$ ma objętość zero, czyli istnieją kostki $\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{s}$ takie, że

$\displaystyle B\subset K_{1}\cup \ldots \cup K_{s}$

oraz

$\displaystyle \sum _{j=1}^{s}v(K_{j})\leq \varepsilon .$

Zauważmy, że jeden punkt $\displaystyle Q=(q_{1},\ldots ,q_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ możemy traktować jako kostkę $\displaystyle \displaystyle [q_{1},q_{1}]\times \ldots \times [q_{N},q_{N}]$ o objętości oczywiście zero. Wystarczy teraz zdefiniować

$\displaystyle K_{s+1}=K_{s+2}=\ldots =Q.$

Wtedy

$\displaystyle B\subset K_{1}\cup \ldots \cup K_{s}\ \subset K_{1}\cup \ldots \cup K_{s}\cup K_{s+1}\cup K_{s+2}\cup \ldots$

oraz

$\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }v(K_{j})=\sum _{j=1}^{s}v(K_{j})+0+0+\ldots \leq \varepsilon .$

Ćwiczenie 10.5.

Wykazać, że odcinek $\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{2}$ ma objętość zero.

Wskazówka

Odcinek można zmieścić w jednej kostce.

Rozwiązanie

Możemy tak dobrać układ współrzędnych w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2},$ że nasz odcinek $\displaystyle T$ jest odcinkiem osi $\displaystyle Oy,$ to znaczy $\displaystyle T=\{(0,y):\ y\in [0,a]\}.$ Weźmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Odcinek $\displaystyle T$ zawiera się w kostce $\displaystyle \displaystyle {\bigg [}{\frac {-\varepsilon }{2a}},{\frac {\varepsilon }{2a}}{\bigg ]}\times [0,a].$ Objętość (pole) tej kostki wynosi $\displaystyle \displaystyle \varepsilon ,$ a zatem $\displaystyle T$ ma objętość zero.

Ćwiczenie 10.6.

(Zadanie nadobowiązkowe.)
Wykazać, że suma przeliczalnej ilości zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero.

Wskazówka

Dla każdego ze zbiorów $\displaystyle B_{j},j\in \mathbb {N}$ miary zero, znaleźć pokrycie kostkami o łącznej objętości co najwyżej $\displaystyle \displaystyle {\frac {\varepsilon }{2^{j}}}.$

Rozwiązanie

Weźmy zbiór $\displaystyle B$ będący przeliczalną sumą zbiorów miary zero, czyli

$\displaystyle B=\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}$

oraz $\displaystyle m(B_{j})=0,\ j=1,2,3,\ldots$ Weźmy $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Ponieważ zbiór $\displaystyle B_{j}$ jest miary zero, istnieje przeliczalna ilość kostek $\displaystyle K_{1}^{j},K_{2}^{j},\ldots$ takich, że

$\displaystyle B_{j}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}^{j}$

oraz

$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }v(K_{i}^{j})\ \leq {\frac {\varepsilon }{2^{j}}}.$

Weźmy teraz wszystkie kostki $\displaystyle \displaystyle \{K_{i}^{j},\ i,j\in \mathbb {N} \}.$ Ten zbiór jest przeliczalny (bo dla każdego $\displaystyle j$ mamy przeliczalną ilość kostek $\displaystyle K_{i}^{j},i\in \mathbb {N} ,$ a suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym), zatem możemy te wszystkie kostki ustawić w ciąg, powiedzmy $\displaystyle \displaystyle (K_{1}^{1},K_{1}^{2},K_{2}^{1},K_{1}^{3},K_{2}^{2},K_{3}^{1},\ldots ).$ Mamy zatem:

$\displaystyle B\subseteq \bigcup _{i,j=1}^{\infty }K_{i}^{j}$

oraz

$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }v(K_{i}^{j})=\sum _{j=1}^{\infty }\left(\sum _{i=1}^{\infty }v(K_{i}^{j})\right)\ \leq \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{2^{j}}}=\varepsilon .$

A zatem dla dowolnego $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$ zbiór $\displaystyle B$ zawarliśmy w przeliczalnej sumie kostek o łącznej objętości co najwyżej $\displaystyle \displaystyle \varepsilon .$ To kończy zadanie.

Ćwiczenie 10.7.

Wykazać, że prosta w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ ma miarę zero.

Wskazówka

Wykorzystać ćwiczenie 10.5 i ćwiczenia 10.6.

Rozwiązanie

Dobierzmy układ współrzędnych tak, by nasza prosta była osią układu, na przykład osią $\displaystyle Ox.$ Możemy ją przedstawić jako przeliczalną sumę odcinków, $\displaystyle \displaystyle [0,1]\cup [1,2]\cup [-1,0]\cup [2,3]\cup [-2,-1]\cup \ldots$ W zadaniu 10.4 udowodniliśmy, że odcinki w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ mają miarę zero, w ćwiczenia 10.6 pokazaliśmy, że suma przeliczalnej ilości zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero, a zatem prosta w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ ma miarę zero.

Uwaga. To zadanie można zrobić, nie korzystając z ćwiczenia 10.6. Podzielmy prostą na odcinki, tak jak wyżej. Utwórzmy sumę kostek:

$\displaystyle \left([0,1]\times \left[{\frac {-\varepsilon }{2^{2}}},{\frac {\varepsilon }{2^{2}}}\right]\right)\cup \left([1,2]\times \left[{\frac {-\varepsilon }{2^{3}}},{\frac {\varepsilon }{2^{3}}}\right]\right)\cup \left([-1,0]\times \left[{\frac {-\varepsilon }{2^{4}}},{\frac {\varepsilon }{2^{4}}}\right]\right)\cup \left([2,3]\times \left[{\frac {-\varepsilon }{2^{5}}},{\frac {\varepsilon }{2^{5}}}\right]\right)\cup \left([-2,-1]\times \left[{\frac {-\varepsilon }{2^{6}}},{\frac {\varepsilon }{2^{6}}}\right]\right)\cup \ldots$

Oczywiście prosta zawiera się w sumie tych kostek, a suma objętości tych kostek wynosi

$\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2^{2}}}+{\frac {\varepsilon }{2^{3}}}+{\frac {\varepsilon }{2^{4}}}+{\frac {\varepsilon }{2^{5}}}+{\frac {\varepsilon }{2^{6}}}+\ldots =\varepsilon .$

Ćwiczenie 10.8.

Wykazać, że ściana kostki $\displaystyle K$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}$ ma miarę zero.

Wskazówka

Można zacząć od dowodu, że odcinek ma miarę zero w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2},$ a prostokąt ma miarę zero w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{3}.$

Rozwiązanie

Niech $\displaystyle K=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{N},b_{N}].$ Ściany kostki to zbiory postaci

$\displaystyle {\begin{aligned}\{a_{1}\}\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{N},b_{N}],&&\{b_{1}\}\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{N},b_{N}],\ldots [a_{1},b_{2}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times \{a_{N}\},&&[a_{1},b_{2}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times \{b_{N}\}.\end{aligned}}$

Wykażemy na przykład, że $\displaystyle K_{1}=\{a_{1}\}\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{N},b_{N}]$ ma miarę zero. Weźmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Wystarczy zauważyć, że $\displaystyle K_{1}$ zawiera się w kostce

$\displaystyle {\bigg [}a_{1}-{\frac {\varepsilon }{2(b_{2}-a_{2})(b_{3}-a_{3})\ldots (b_{N}-a_{N})}},a_{1}+{\frac {\varepsilon }{2(b_{2}-a_{2})(b_{3}-a_{3})\ldots (b_{N}-a_{N})}}{\bigg ]}\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{N},b_{N}]$

o objętości dokładnie $\displaystyle \displaystyle \varepsilon .$

Ćwiczenie 10.9.

Znaleźć przykład funkcji na odcinku $\displaystyle \displaystyle [0,1],$ która jest różna od funkcji ciągłej na zbiorze miary zero, ale która nie jest ciągła w żadnym punkcie.

Wskazówka

Jaka znana funkcja nie jest ciągła w żadnym punkcie?

Rozwiązanie

Jako funkcję ciągłą na odcinku $\displaystyle \displaystyle [0,1]$ weźmy funkcję stale równą zero, to znaczy $\displaystyle f(x)=0$ dla $\displaystyle x\in [0,1].$

Zauważmy, że zbiór $\displaystyle B=[0,1]\cap \mathbb {Q}$ jest zbiorem miary zero (bo jest sumą przeliczalnej ilości punktów, które mają objętość zero, a więc i miarę zero; zobacz wykład i Zadanie 10.5).

Określmy funkcję

$\displaystyle g(x)=\left\{{\begin{array}{lll}0&{\text{gdy}}\displaystyle &x\in [0,1]\setminus \mathbb {Q} ,\\1&{\text{gdy}}\displaystyle &x\in [0,1]\cap \mathbb {Q} .\end{array}}\right.$

To jest znana z wykładu Analizy Matematycznej 1, funkcja Dirichleta (patrz Analiza matematyczna 1 przykład 14.9.). Wiemy, że nie jest ona ciągła w żadnym punkcie przedziału $\displaystyle \displaystyle [0,1],$ a różni się od funkcji ciągłej $\displaystyle f$ tylko na zbiorze miary zero.