Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 10: Wielowymiarowa całka Riemanna

Wielowymiarowa całka Riemanna. Ćwiczenia

Zadania

Ćwiczenie

Policzyć z definicji następującą całkę

$\displaystyle \iint \limits _{K}xy\ dxdy,$

gdzie $\displaystyle K=[0,1]\times [0,1].$

Wskazówka

Podzielić $\displaystyle K$ na równe kwadraty (o boku $\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{n}}$) i utworzyć sumę całkową. Zobaczyć do czego zmierza ta suma, gdy $\displaystyle n\to \infty .$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Skoro funkcja $\displaystyle f(x,y)=xy$ jest ciągła na kostce $\displaystyle K,$ to całka Riemanna z tej funkcji istnieje. W takim razie wystarczy wziąć jakikolwiek normalny ciąg podziałów $\displaystyle P_{n},n\in \mathbb {N} ,$ utworzyć sumę całkową i znaleźć jej granicę przy $\displaystyle n\to \infty .$

Weźmy następujący podział $\displaystyle P_{n}$ kostki $\displaystyle K.$ Podzielmy każdy z odcinków $\displaystyle \displaystyle [0,1]$ na $\displaystyle n$ równych części. Każda z nich będzie miała długość $\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{n}}.$ Biorąc iloczyn kartezjański tych małych odcinków, dostajemy podział $\displaystyle P_{n}$ kwadratu $\displaystyle K$ na kwadraty $\displaystyle K_{ij},\ i,j=1,\ldots ,n$ o boku $\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{n}},$ a zatem o objętości $\displaystyle v(K_{ij})={\frac {1}{n^{2}}}.$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K_{ij} \ =\ \left[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}\right]\times \left[\frac{j}{n},\frac{j+1}{n}\right]. }

{ Rysunek AM2.M10.C.R01 (stary numer AM2.10.10)}
Oczywiście $\displaystyle P_{n}$ jest normalnym ciągiem podziałów.

Jako punkty pośrednie w kwadratach (kostkach) $\displaystyle K_{ij}$ weźmy lewe dolne rogi tych kwadratów, czyli punkty $\displaystyle p_{ij}$ o współrzędnych $\displaystyle p_{ij}:=({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}).$ Wartość funkcji $\displaystyle f(x,y)=xy$ w punktach $\displaystyle p_{ij},i,j=1,\ldots ,n$ jest równa zatem $\displaystyle \displaystyle {\frac {ij}{n^{2}}}.$

Utwórzmy $\displaystyle n$-tą sumę całkową:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle S(f,P_n,p_{11},p_{12},\ldots,p_{nn}) \ =\ \sum_{i,j=1}^nf(p_{ij})v(K_{ij}) \ =\ \sum_{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot\frac{1}{n^2}. }

Musimy policzyć granicę tej ostatniej sumy przy $\displaystyle n\to \infty .$ Otóż

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sum_{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot\frac{1}{n^2} \ =\ \frac{1}{n^4}\sum_{i,j=1}^nij. }

Teraz wystarczy zauważyć, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sum_{i,j=1}^nij \ =\ 1\sum_{i,j=1}^nj+2\sum_{i,j=1}^nj+\ldots+n\sum_{i,j=1}^nj \ =\ (1+2+\ldots+n)\sum_{i,j=1}^nj \ =\ \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2, }

bo $\displaystyle \displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}j={\frac {n(n+1)}{2}}.$ A zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sum_{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot\frac{1}{n^2} \ =\ \frac{1}{n^4}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{1}{4}. }

Tak więc, dla $\displaystyle K=[0,1]\times [0,1],$

$\displaystyle \iint \limits _{K}xy\ dxdy={\frac {1}{4}}.$ {}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Policzyć z definicji całkę

$\displaystyle \iiint \limits _{K}x\ dxdydz,$

gdzie $\displaystyle K=[0,1]\times [0,1]\times [0,1].$

Wskazówka

Podzielić $\displaystyle K$ na równe sześciany (o boku $\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{n}}$) i utworzyć sumę całkową. Zobaczyć do czego zmierza ta suma, gdy $\displaystyle n\to \infty .$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Analogicznie jak w poprzednim zadaniu, widzimy, że funkcja $\displaystyle f(x,y,z)=x$ jest ciągła (i ograniczona na $\displaystyle K$), a zatem jest całkowalna w sensie Riemanna.

Utwórzmy zatem ciąg $\displaystyle P_{n}$ podziałów kostki $\displaystyle K$ na kostki $\displaystyle K_{ijt},i,j,t=1,\ldots n,$ określone jako

$\displaystyle K_{ijt}=\left[{\frac {i}{n}},{\frac {i+1}{n}}\right]\times \left[{\frac {j}{n}},{\frac {j+1}{n}}\right]\times \left[{\frac {t}{n}},{\frac {t+1}{n}}\right].$

Objętość takiej kostki wynosi $\displaystyle v(K_{ijt})={\frac {1}{n^{3}}}.$

Jako punkty pośrednie weźmy

$\displaystyle p_{ijt}=\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}},{\frac {t}{n}}\right).$

Wartość $\displaystyle f$ w punkcie pośrednim wynosi $\displaystyle f(p_{ijt})=f({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}},{\frac {t}{n}})={\frac {i}{n}}.$

Utwórzmy sumę całkową

$\displaystyle S(f,P_{n},p_{111},p_{112},\ldots ,p_{nnn})=\sum _{i,j,t=1}^{n}f(p_{ijt})v(K_{ijt})=\sum _{i,j,t=1}^{n}{\frac {i}{n}}{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{n^{4}}}\sum _{i,j,t=1}^{n}i.$

Teraz wystarczy zauważyć, że $\displaystyle \displaystyle \sum _{i,j,t=1}^{n}i=n^{2}\sum {i=1}^{n}i=n^{2}{\frac {n(n+1)}{2}}.$ Zatem

$\displaystyle S(f,P_{n},p_{111},p_{112},\ldots ,p_{nnn})={\frac {1}{n^{4}}}n^{2}{\frac {n(n+1)}{2}}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}{\frac {1}{2}}.$ {}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Policzyć całkę

$\displaystyle \iiint \limits _{K}x+y\ dxdydz,$

gdzie $\displaystyle K=[0,1]\times [0,1]\times [0,1].$

Wskazówka

Skorzystać z liniowości całki (patrz Stwierdzenie Uzupelnic s.am2.w.10.080|) i z Zadania Uzupelnic z.new.am2.c.10.020|.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Z liniowości całki mamy

$\displaystyle \iiint \limits _{K}x+y\ dxdydz=\iiint \limits _{K}x\ dxdydz+\iiint \limits _{K}y\ dxdydz.$

Całkę $\displaystyle \displaystyle \iiint \limits _{K}x\ dxdydz$ policzyliśmy w Zadaniu Uzupelnic z.new.am2.c.10.020|. Po dokładnie takich samych obliczeniach dostajemy też Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\iiint\limits_Ky\ dxdydz=\frac{1}{2}.} A zatem

$\displaystyle \iiint \limits _{K}x+y\ dxdydz=1.$ {}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Wykazać, że zbiór $\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{N}$ o objętości zero jest zbiorem miary zero.

Wskazówka

Punkty też są kostkami.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Niech dane będzie $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Szukamy kostek $\displaystyle K_{1},K_{2},\ldots ,$ takich, że

$\displaystyle B\subset K_{1}\cup K_{2}\cup \ldots =\cup _{j=1}^{\infty }K_{j}$

oraz

$\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }v(K_{j})\leq \varepsilon .$

Wiemy, że zbiór $\displaystyle B$ ma objętość zero, czyli istnieją kostki $\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{s},$ takie, że

$\displaystyle B\subset K_{1}\cup \ldots \cup K_{s}$

oraz

$\displaystyle \sum _{j=1}^{s}v(K_{j})\leq \varepsilon .$

Zauważmy, że jeden punkt $\displaystyle Q=(q_{1},\ldots ,q_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ możemy traktować jako kostkę $\displaystyle \displaystyle [q_{1},q_{1}]\times \ldots \times [q_{N},q_{N}]$ o objętości oczywiście zero. Wystarczy teraz zdefiniować

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K_{s+1} \ =\ K_{s+2} \ =\ \ldots \ =\ Q. }

Wtedy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle B\subset K_1\cup \ldots \cup K_s \ \subset\ K_1\cup \ldots \cup K_s\cup K_{s+1}\cup K_{s+2}\cup\ldots }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sum_{j=1}^{\infty}v(K_j) \ =\ \sum_{j=1}^sv(K_j)+0+0+\ldots\leq\varepsilon. } {}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Wykazać, że odcinek $\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{2}$ ma objętość zero.

Wskazówka

Odcinek można zmieścić w jednej kostce.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Możemy tak dobrać układ współrzędnych w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2},$ że nasz odcinek $\displaystyle T$ jest odcinkiem osi $\displaystyle Oy,$ to znaczy $\displaystyle T=\{(0,y):\ y\in [0,a]\}.$ Weźmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Odcinek $\displaystyle T$ zawiera się w kostce $\displaystyle \displaystyle {\bigg [}{\frac {-\varepsilon }{2a}},{\frac {\varepsilon }{2a}}{\bigg ]}\times [0,a].$ Objętość (pole) tej kostki wynosi $\displaystyle \displaystyle \varepsilon ,$ a zatem $\displaystyle T$ ma objętość zero.

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

(Zadanie nadobowiązkowe.)
Wykazać, że suma przeliczalnej ilości zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero.

Wskazówka

Dla każdego ze zbiorów $\displaystyle B_{j},j\in \mathbb {N} ,$ miary zero, znaleźć pokrycie kostkami o łącznej objętości co najwyżej $\displaystyle \displaystyle {\frac {\varepsilon }{2^{j}}}.$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Weźmy zbiór $\displaystyle B$ będący przeliczalną sumą zbiorów miary zero, czyli

$\displaystyle B=\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}$

oraz $\displaystyle m(B_{j})=0,\ j=1,2,3,\ldots$ Weźmy $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Ponieważ zbiór $\displaystyle B_{j}$ jest miary zero, istnieje przeliczalna ilość kostek $\displaystyle K_{1}^{j},K_{2}^{j},\ldots$ takich, że

$\displaystyle B_{j}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}^{j}$

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}v(K_i^j) \ \leq\ \frac{\varepsilon}{2^j}. }

Weźmy teraz wszystkie kostki $\displaystyle \displaystyle \{K_{i}^{j},\ i,j\in \mathbb {N} \}.$ Ten zbiór jest przeliczalny (bo dla każdego $\displaystyle j$ mamy przeliczalną ilość kostek $\displaystyle K_{i}^{j},i\in \mathbb {N} ,$ a suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym), zatem możemy te wszystkie kostki ustawić w ciąg, powiedzmy $\displaystyle \displaystyle (K_{1}^{1},K_{1}^{2},K_{2}^{1},K_{1}^{3},K_{2}^{2},K_{3}^{1},\ldots ).$ Mamy zatem:

$\displaystyle B\bigcup _{i,j=1}^{\infty }K_{i}^{j}$

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}v(K_i^j) \ =\ \sum_{j=1}^{\infty}\left(\sum_{i=1}^{\infty}v(K_i^j)\right) \ \leq\ \sum_{j=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^j} \ =\ \varepsilon. }

A zatem dla dowolnego $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$ zbiór $\displaystyle B$ zawarliśmy w przeliczalnej sumie kostek o łącznej objętości co najwyżej $\displaystyle \displaystyle \varepsilon .$ To kończy zadanie.

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Wykazać, że prosta w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ ma miarę zero.

Wskazówka

Wykorzystać Zadania Uzupelnic z.new.am2.c.10.050| i Uzupelnic z.new.am2.c.10.060|.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Dobierzmy układ współrzędnych tak, by nasza prosta była osią układu, na przykład osią $\displaystyle Ox.$ Możemy ją przedstawić jako przeliczalną sumę odcinków, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle [0,1]\cup [1,2]\cup \-1,0]\cup [2,3]\cup [-2,-1]\cup \ldots.} W zadaniu 4 udowodniliśmy, że odcinki w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ mają miarę zero, w Zadaniu Uzupelnic z.new.am2.c.10.060| pokazaliśmy, że suma przeliczalnej ilości zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero, a zatem prosta w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ ma miarę zero.

Uwaga. To zadanie można zrobić nie korzystając z Zadania Uzupelnic z.new.am2.c.10.060|. Podzielmy prostą na odcinki, tak jak wyżej. Utwórzmy sumę kostek:

$\displaystyle \left([0,1]\times \left[{\frac {-\varepsilon }{2^{2}}},{\frac {\varepsilon }{2^{2}}}\right]\right)\cup \left([1,2]\times \left[{\frac {-\varepsilon }{2^{3}}},{\frac {\varepsilon }{2^{3}}}\right]\right)\cup \left([-1,0]\times \left[{\frac {-\varepsilon }{2^{4}}},{\frac {\varepsilon }{2^{4}}}\right]\right)\cup \left([2,3]\times \left[{\frac {-\varepsilon }{2^{5}}},{\frac {\varepsilon }{2^{5}}}\right]\right)\cup \left([-2,-1]\times \left[{\frac {-\varepsilon }{2^{6}}},{\frac {\varepsilon }{2^{6}}}\right]\right)\cup \ldots$

Oczywiście prosta zawiera się w sumie tych kostek, a suma objętości tych kostek wynosi

$\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2^{2}}}+{\frac {\varepsilon }{2^{3}}}+{\frac {\varepsilon }{2^{4}}}+{\frac {\varepsilon }{2^{5}}}+{\frac {\varepsilon }{2^{6}}}+\ldots =\varepsilon .$ {}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Wykazać, że ściana kostki $\displaystyle K$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}$ ma miarę zero.

Wskazówka

Można zacząć od dowodu, że odcinek ma miarę zero w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ a prostokąt ma miarę zero w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{3}.$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Niech $\displaystyle K=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{N},b_{N}.$ Ściany kostki to zbiory postaci

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \{a_1\}\times [a_2,b_2]\times \ldots\times [a_N,b_N], && \{b_1\}\times [a_2,b_2] \times\ldots\times [a_N,b_N],\ldots \cr [a_1,b_2]\times [a_2,b_2] \times\ldots\times \{a_N\}, && [a_1,b_2]\times [a_2,b_2] \times\ldots\times \{b_N\}. \endaligned}

Wykażemy na przykład, że $\displaystyle K_{1}=\{a_{1}\}\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{N},b_{N}]$ ma miarę zero. Weźmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Wystarczy zauważyć, że $\displaystyle K_{1}$ zawiera się w kostce

$\displaystyle {\bigg [}a_{1}-{\frac {\varepsilon }{2(b_{2}-a_{2})(b_{3}-a_{3})\ldots (b_{N}-a_{N})}},a_{1}+{\frac {\varepsilon }{2(b_{2}-a_{2})(b_{3}-a_{3})\ldots (b_{N}-a_{N})}}{\bigg ]}\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{N},b_{N}]$

o objętości dokładnie $\displaystyle \displaystyle \varepsilon .$

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Znaleźć przykład funkcji na odcinku $\displaystyle \displaystyle [0,1],$ która jest różna od funkcji ciągłej na zbiorze miary zero, ale która nie jest ciągła w żadnym punkcie.

Wskazówka

Jaka znana funkcja nie jest ciągła w żadnym punkcie?

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Jako funkcję ciągłą na odcinku $\displaystyle \displaystyle [0,1]$ weźmy funkcję stale równą zero, to znaczy $\displaystyle f(x)=0$ dla $\displaystyle x\in [0,1].$

Zauważmy, że zbiór $\displaystyle B=[0,1]\cap \mathbb {Q}$ jest zbiorem miary zero (bo jest sumą przeliczalnej ilości punktów, które mają objętość zero, a więc i miarę zero; zobacz wykład i Zadanie 5).

Określmy funkcję

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle g(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & } gdy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & x\in [0,1]\setminus\mathbb{Q},\\ 1 & } gdy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & x\in [0,1]\cap\mathbb{Q}. \end{array} \right. }

To jest znana z wykładu Analizy Matematycznej 1, funkcja Dirichleta (patrz Przykład AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.14.080|). Wiemy, że nie jest ona ciągła w żadnym punkcie przedziału $\displaystyle \displaystyle [0,1],$ a różni się od funkcji ciągłej $\displaystyle f$ tylko na zbiorze miary zero.

{}$\displaystyle \Box$