Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności
Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności
Niniejszy wykład jest kontynuacją poprzedniego wykładu dotyczącego szeregów liczbowych. Poznajemy tu dalsze kryteria zbieżności szeregów: d'Alemberta, Cauchy'ego, Leibniza, Dirichleta oraz asymptotyczne. Na zakończenie pokazujemy, że liczna
jest sumą pewnego szeregu.Na poprzednim wykładzie zostało wprowadzone pojęcie szeregu (patrz definicja 6.1.). Podany został warunek konieczny zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 6.3.) oraz kryterium porównawcze zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 6.9.). Poniżej podane zostaną inne ważne kryteria (czyli warunki wystarczające) zbieżności szeregów.
Kryteria zbieżności szeregów pozwalają, badając zachowanie się wyrazów
szeregu , wnioskować o zbieżności (lub rozbieżności) ciągu sum częściowych (czyli zbieżności szeregu).Szeregi o wyrazach nieujemnych
Twierdzenie 7.1. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]
Jeśli
(1)
szereg jest zbieżny
(2)
szereg jest rozbieżny
Dowód 7.1.
(Ad (1)) Warunek
dla oznacza, że
Zatem dla
mamy
Oznaczając
mamy
zatem wyrazy szeregu
są oszacowane (od pewnego miejsca) przez wyrazy szeregu geometrycznego który jest zbieżny(gdyż twierdzenie 6.9.) wnioskujemy, że szereg
jest zbieżny.
(Ad (2))
Z założenia wiemy, że istnieje takie, że
Wówczas dla dowolnego
mamy
czyli
Zatem oczywiście twierdzenie 6.3.), czyli jest rozbieżny.
i stąd szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów (patrz
Z powyższego kryterium można wywnioskować jego wersję słabszą, ale częściej używaną w zastosowaniach. Mówi ona, że dla szeregów o wyrazach dodatnich, jeśli granica ciągu ilorazów kolejnych wyrazów szeregu istnieje i jest różna od jeden, to potrafimy rozstrzygnąć, czy szereg jest zbieżny. Dowód tego wniosku oparty na twierdzeniu 7.1. pozostawiamy jako proste (choć nadobowiązkowe) ćwiczenie.
Wniosek 7.2. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]
Przy powyższych założeniach:
(1)
Jeśli
to szereg jest zbieżny.
(2)
Jeśli
(3) Jeśli
to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny.Przykład 7.3.
Zbadać zbieżność szeregów:
(1)
(2)
(3)
(4)
Kolejne kryterium zbieżności szeregów bada zachowanie się ciągu
-tych pierwiastków z kolejnych wyrazówTwierdzenie 7.4. [Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]
Dowód 7.4.
(Ad (1)) Załóżmy, że
dla czyli
Zatem wyrazy szeregu twierdzenie 6.9.),
wynika, że szereg jest zbieżny.
(Ad (2))
Jeśli dla nieskończenie wielu to
także
dla nieskończenie wielu
zatem
czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów.
Podobnie jak w przypadku kryterium d'Alemberta, tak i w przypadku kryterium Cauchy'ego podamy słabszą, ale bardziej praktyczną wersję tego kryterium. Mówi ona, że istnienie granicy pierwiastków
-tego stopnia z kolejnych wyrazów szeregu różnej od rozstrzyga o zbieżności tego szeregu.Wniosek 7.5. [Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]
Przy powyższych założeniach:
(1)
Jeśli
to szereg jest zbieżny.
(2)
Jeśli
(3) Jeśli
to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny.Przykład 7.6.
Zbadać zbieżność szeregów:
(1)
(2)
(3)
Zachodzi pewien związek między kryteriami Cauchy'ego i d'Alemberta. Będzie on wynikał z następującego lematu (który pozostawiamy tu bez dowodu).
Lemat 7.7.
Jeśli
jest ciągiem o wyrazach dodatnich, to<flashwrap>file=AM1.M07.W.R01.swf|width=375|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>Wykres ciąguWniosek 7.8.
(1)
Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze od kryterium d'Alemberta,
to znaczy, jeśli kryterium d'Alemberta rozstrzyga o zbieżności szeregu,
to kryterium Cauchy'ego także rozstrzyga.
Jeszcze inaczej można powiedzieć, że klasa szeregów do której
stosuje się kryterium Cauchy'ego, zawiera w sobie klasę szeregów,
do których stosuje się kryterium d'Alemberta.
Prosty dowód oparty na powyższym lemacie pozostawiamy jako
ćwiczenie.
(2) Klasa szeregów, dla których stosuje się kryterium
Cauchy'ego, jest istotnie większa od klasy szeregów, dla których
stosuje się kryterium d'Alemberta.
Aby to zobaczyć, rozważmy szereg
Ponieważ
zatem kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy ten szereg jest
zbieżny.
Z kolei
zatem z kryterium Cauchy'ego wnioskujemy, że szereg jest zbieżny.
Lemat 7.7. można wykorzystać do obliczania granic pewnych ciągów.
Przykład 7.9.
Obliczyć granicę ciągu
gdzieKolejne kryterium, zwane kryterium asymptotycznym (ilorazowym lub limesowym), jest odmianą kryterium porównawczego i mówi, że jeśli granica ciągu ilorazów wyrazów dwóch szeregów istnieje i jest liczbą dodatnią, to oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.
Twierdzenie 7.10. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]
Jeśli
i są szeregami; oraz to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny.Dowód 7.10.
Ustalmy dowolne
Ponieważ więc z definicji granicyczyli
Stosując kryterium porównawcze (patrz twierdzenie 6.9.), z pierwszej nierówności powyżej, wnioskujemy, że zbieżność szeregu implikuje zbieżność szeregu a z drugiej nierówności powyżej wnioskujemy, że zbieżność szeregu implikuje zbieżność szeregu

Przykład 7.11.
Zbadać zbieżność szeregu
Szeregi o wyrazach znakozmiennych
W tym rozdziale podamy dwa kryteria dotyczące szeregów, których wyrazy zmieniają znak.
Twierdzenie 7.12. [Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów]
Jeśli
jest szeregiem, którego ciąg sum częściowych jest ograniczony, jest ciągiem malejącym (słabo) oraz zbieżnym do zera (to znaczy ), to szereg jest zbieżny.Dowód 7.12.
Oznaczmy przez
ciąg sum częściowych szeregu to znaczy
Z założenia wiemy, że ciąg
jest ograniczony, to znaczy
Ustalmy dowolne
Ponieważ więc
Dla
mamy
Zatem
Zatem pokazaliśmy, że szereg twierdzenie 6.7.).
spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (patrz
Szczególną wersją powyższego kryterium jest następujące kryterium Leibniza dotyczące szeregów naprzemiennych.
Wniosek 7.13. [Kryterium Leibniza zbieżności szeregów]
Jeśli
jest ciągiem malejącym (słabo) oraz zbieżnym do zera (to znaczy ), to szereg jest zbieżny.Dowód 7.13.
Wystarczy przyjąć
Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest postaci
a więc jest ograniczony, zatem możemy zastosować kryterium Dirichleta i wywnioskować, że szereg
jest zbieżny.
Przykład 7.14.
Następujący szereg zwany szeregiem anharmonicznym:
jest zbieżny. Jest to natychmiastowa konsekwencja kryterium Leibniza.
Założenie, że zbieżność ciągu
do zera jest monotoniczna (w kryteriach Dirichleta i Leibniza) jest istotne. Pokazuje to poniższy przykład.Przykład 7.15.
Zbadać zbieżność szeregu
Liczba e
Przypomnijmy, że liczba twierdzenie 5.1.). Okazuje się, że liczbę tę można także otrzymać jako sumę pewnego szeregu liczbowego. Dzięki tej własności będziemy także mogli wykazać niewymierność liczby
była zdefiniowana jako granica pewnego ciągu (patrzTwierdzenie 7.16. [O liczbie ]
(1)
Szereg
(2)
Dowód 7.16.
(Ad (1)) Przypomnijmy, że
Niech
to znaczy twierdzenie 1.40.), dla dowolnego dostajemy
jest ciągiem sum częściowych szeregu Ze wzoru dwumianowego Newtona (patrzZatem
Ustalmy dowolne
Wówczas dla dowolnego mamyPrzechodząc do granicy z
po obu stronach powyższej nierówności, otrzymujemy:Powyższa nierówność jest prawdziwa dla dowolnego
zatem możemy przejść do granicy z i dostajemyZatem ostatecznie dostajemy
co należało dowieść.
(Ad (2))
Oczywiście jest ciągiem rosnącym zbieżnym do
zatem
Z pierwszej części dowodu wynika, że
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
tzn. gdzie oraz Z powyższego oszacowania wynika w szczególności, żeNiech
WówczasAle z definicji
mamy czyli sprzeczność.