Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności

Z Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 1
Wersja z dnia 11:03, 8 sie 2006 autorstwa Gracja (dyskusja | edycje)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

{stre}{Streszczenie} {wsk}{Wskazówka} {rozw}{Rozwiązanie} {textt}{} {thm}{Twierdzenie}[section] {stw}[thm]{Stwierdzenie} {lem}[thm]{Lemat} {uwa}[thm]{Uwaga} {exa}[thm]{Example} {dfn}[thm]{Definicja} {wn}[thm]{Wniosek} {prz}[thm]{Przykład} {zadan}[thm]{Zadanie}

{} {}

Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności

Niniejszy wykład jest kontynuacją poprzedniego wykładu dotyczącego szeregów liczbowych. Poznajemy tu dalsze kryteria zbieżności szeregów: d'Alemberta, Cauchy'ego, Leibniza, Dirichleta oraz asymptotyczne. Na zakończenie pokazujemy, że liczna jest sumą pewnego szeregu.

Na poprzednim wykładzie zostało wprowadzone pojęcie szeregu (patrz Definicja Uzupelnic t.new.am1.w.06.010|). Podany został warunek konieczny zbieżności szeregów (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.06.030|) oraz kryterium porównawcze zbieżności szeregów (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.06.090|). Poniżej podane zostaną inne ważne kryteria (czyli warunki wystarczające) zbieżności szeregów.

Kryteria zbieżności szeregów pozwalają, badając zachowanie się wyrazów szeregu , wnioskować o zbieżności (lub rozbieżności) ciągu sum częściowych (czyli zbieżności szeregu).

Szeregi o wyrazach nieujemnych

Twierdzenie [Uzupelnij]

(Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów)
Jeśli jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy dla ), to
(1) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\displaystyle \bigg[\exists p<1\ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N:\ \ \frac{a_{n+1}}{a_n}\le p\bigg] \ \ \Longrightarrow\ \ \bigg[\textrm{szereg}\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\ \textrm{jest\ zbieżny}\bigg];}
(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\displaystyle \bigg[\exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N:\ \ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\bigg] \ \ \Longrightarrow\ \ \bigg[\textrm{szereg}\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\ \textrm{jest\ rozbieżny}\bigg].}

Dowód [Uzupelnij]

(Ad (1)) Warunek dla oznacza, że

Zatem dla mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a_n \ \le\ pa_{n-1} \ \le\ p^2 a_{n-2} \ \le\ \ \ldots\ \le\ p^{n-N}a_N \ =\ p^n\frac{a_N}{p^N}. }

Oznaczając mamy

zatem wyrazy szeregu są oszacowane (od pewnego miejsca) przez wyrazy szeregu geometrycznego który jest zbieżny (gdyż ). Korzystając z kryterium porównawczego (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.06.090|) wnioskujemy, że szereg jest zbieżny.

(Ad (2)) Z założenia wiemy, że istnieje takie, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ \frac{a_{n+1}}{a_n} \ \ge\ 1. }

Wówczas dla dowolnego mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a_{n+1} \ \ge\ a_n \ \ge\ a_{n-1} \ \ge\ \ldots \ \ge\ a_N, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ a_n \ \ge\ a_N \ >\ 0. }

Zatem oczywiście i stąd szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.06.030|) czyli jest rozbieżny.

End of proof.gif

{black}

Z powyższego kryterium można wywnioskować jego wersję słabszą, ale częściej używaną w zastosowaniach. Mówi ona, że dla szeregów o wyrazach dodatnich, jeśli granica ciągu ilorazów kolejnych wyrazów szeregu istnieje i jest różna od jeden, to potrafimy rozstrzygnąć czy szereg jest zbieżny. Dowód tego wniosku, oparty na Twierdzeniu Uzupelnic t.new.am1.w.07.010| pozostawiamy jako proste (choć nadobowiązkowe) ćwiczenie.

Wniosek [Uzupelnij]

(Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów)
Przy powyższych założeniach:
(1) Jeśli to szereg jest zbieżny.
(2) Jeśli to szereg jest rozbieżny.
(3) Jeśli to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga czy szereg jest zbieżny.

Przykład [Uzupelnij]

Zbadać zbieżność szeregów:
(1)
(2)
(3)
(4)

Rozwiązanie

Kolejne kryterium zbieżności szeregów bada zachowanie się ciągu -tych pierwiastków z kolejnych wyrazów

Twierdzenie [Uzupelnij]

(Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów)
Jeśli jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy dla ), to
(1) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\displaystyle \bigg[\exists p<1\ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N:\ \ \sqrt[n]{a_n}\le p\bigg] \ \ \Longrightarrow\ \ \bigg[\textrm{szereg}\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\ \textrm{jest\ zbieżny}\bigg];}
(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\displaystyle \bigg[\sqrt[n]{a_n}\ge 1\ \textrm{dla\ nieskończenie\ wielu}\ n\in\mathbb{N}\bigg] \ \ \Longrightarrow\ \ \bigg[\textrm{szereg}\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\ \textrm{jest\ rozbieżny}\bigg].}

Dowód [Uzupelnij]

(Ad (1)) Załóżmy, że dla czyli

Zatem wyrazy szeregu są oszacowane (od pewnego miejsca) przez wyrazy szeregu geometrycznego który jest zbieżny (bo ). Zatem z kryterium porównawczego (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.06.090|), wynika, że szereg jest zbieżny.
(Ad (2)) Jeśli dla nieskończenie wielu to także

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a_n\ge 1 \quad\textrm{dla\ nieskończenie\ wielu}\ n\in\mathbb{N}, }

zatem czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów.

End of proof.gif

{black}

Podobnie jak w przypadku kryterium d'Alemberta, tak i w przypadku kryterium Cauchy'ego podamy słabszą, ale bardziej praktyczną wersję tego kryterium. Mówi ona, że istnienie granicy pierwiastków -tego stopnia z kolejnych wyrazów szeregu różnej od rozstrzyga o zbieżności tego szeregu.

Wniosek [Uzupelnij]

(Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów)
Przy powyższych założeniach:
(1) Jeśli to szereg jest zbieżny.
(2) Jeśli to szereg jest rozbieżny.
(3) Jeśli to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga czy szereg jest zbieżny.

Przykład [Uzupelnij]

Zbadać zbieżność szeregów:
(1)
(2)
(3)
(4)

Rozwiązanie

Zachodzi pewien związek między kryteriami Cauchy'ego i d'Alemberta. Będzie on wynikał z następującego lematu (który pozostawiamy tu bez dowodu).

Lemat [Uzupelnij]

Jeśli jest ciągiem o wyrazach dodatnich, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \ \le\ \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a_n} \ \le\ \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a_n} \ \le\ \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}. }

{{wniosek|[Uzupelnij]||

(1) Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze od kryterium d'Alemberta, to znaczy jeśli kryterium d'Alemberta rozstrzyga o zbieżności szeregu, to kryterium Cauchy'ego także rozstrzyga. Jeszcze inaczej można powiedzieć, że klasa szeregów do której stosuje się kryterium Cauchy'ego zawiera w sobie klasę szeregów do których stosuje się kryterium d'Alemberta. Prosty dowód oparty na powyższym lemacie pozostawiamy jako ćwiczenie.
(2) Klasa szeregów dla których stosuje się kryterium Cauchy'ego jest istotnie większa od klasy szeregów, dla których stosuje sie kryterium d'Alemberta. Aby to zobaczyć rozważmy szereg

{{red}Rysunek AM1.M07.W.R01 (stary numer AM2.1.1)}
Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} \displaystyle \frac{3}{2}>1 & \textrm{gdy} & n=2k-1,\\ \\ \displaystyle \frac{2}{3}<1& \textrm{gdy} & n=2k, \end{array} \right. }

zatem kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga czy ten szereg jest zbieżny.
Z kolei

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n} \ =\ \frac{1}{2} \ <\ 1, }

zatem z kryterium Cauchy'ego wnioskujemy, że szereg jest zbieżny. }}

Lemat Uzupelnic l.new.am1.w.07.070| można wykorzystać do obliczania granic pewnych ciągów.

Przykład [Uzupelnij]

Obliczyć granicę ciągu gdzie

Rozwiązanie

Kolejne kryterium, zwane kryterium asymptotycznym (ilorazowym lub limesowym) jest odmianą kryterium porównawczego i mówi, że jeśli granica ciągu ilorazów wyrazów dwóch szeregów istnieje i jest liczbą dodatnią, to oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.

Twierdzenie [Uzupelnij]

(Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów)
Jeśli i są szeregami; oraz to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jestzbieżny.

Dowód [Uzupelnij]

Ustalmy dowolne Ponieważ więc z definicji granicy

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ \frac{1}{2}gb_n \ \le\ a_n \ \le\ \frac{3}{2}gb_n }

Stosując kryterium porównawcze (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.06.090|), z pierwszej nierówności powyżej wnioskujemy, że zbieżność szeregu implikuje zbieżność szeregu a z drugiej nierówności powyżej wnioskujemy, że zbieżność szeregu implikuje zbieżność szeregu

End of proof.gif

{black}

Przykład [Uzupelnij]

Zbadać zbieżność szeregu

Rozwiązanie

Szeregi o wyrazach znakozmiennych

W tym rozdziale podamy dwa kryteria dotyczące szeregów, których wyrazy zmieniają znak.

Twierdzenie [Uzupelnij]

(Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów)
Jeśli jest szeregiem, którego ciąg sum częściowych jest ograniczony, jest ciągiem malejącym (słabo) oraz zbieżnym do zera (to znaczy ), to szereg jest zbieżny.

Dowód [Uzupelnij]

Oznaczmy przez ciąg sum częściowych szeregu to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S_n \ =\ \sum_{i=1}^{\infty} a_i. }

Z założenia wiemy, że ciąg jest ograniczony, to znaczy

Ustalmy dowolne Ponieważ więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \lambda_{n+1}<\frac{\varepsilon}{2M} }

Dla mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \lambda_{n+1}a_{n+1} +\ldots+ \lambda_{m}a_{m}\\ & = & \lambda_{n+1}(S_{n+1}-S_n) +\lambda_{n+2}(S_{n+2}-S_{n+1}) +\ldots +\lambda_{m-1}(S_{m-1}-S_{m-2}) +\lambda_m(S_m-S_{m-1})\\ & = & -\lambda_{n+1}S_n +(\lambda_{n+1}-\lambda_{n+2})S_{n+1} +\ldots +(\lambda_{m-1}-\lambda_m)S_{m-1} +\lambda_mS_m. \endaligned}

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \big|\lambda_{n+1}a_{n+1} +\ldots+ \lambda_{m}a_{m}\big|\\ & \le & \lambda_{n+1}|S_n| +(\lambda_{n+1}-\lambda_{n+2})|S_{n+1}| +\ldots +(\lambda_{m-1}-\lambda_m)|S_{m-1}| +\lambda_m|S_m|\\ & \le & M \big[ \lambda_{n+1} +(\lambda_{n+1}-\lambda_{n+2}) +(\lambda_{n+2}-\lambda_{n+3}) +\ldots +(\lambda_{m-1}-\lambda_m) +\lambda_m \big]\\ & = & 2\lambda_{n+1}M \ <\ 2M\frac{\varepsilon}{2M} \ =\ \varepsilon. \endaligned}

Zatem pokazaliśmy, że szereg spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.06.070|).

End of proof.gif

{black}

Szczególną wersją powyższego kryterium jest następujące kryterium Leibniza dotyczące szeregów naprzemiennych.

Wniosek [Uzupelnij]

(Kryterium Leibniza zbieżności szeregów)
Jeśli jest ciągiem malejącym (słabo) oraz zbieżnym do zera (to znaczy ), to szereg jest zbieżny.

Dowód [Uzupelnij]

Wystarczy przyjąć Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest postaci

a więc jest ograniczony, zatem możemy zastosować kryterium Dirichleta i wywnioskować, że szereg jest zbieżny.

End of proof.gif

{black}

Przykład [Uzupelnij]

Następujący szereg zwany szeregiem anharmonicznym:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \ =\ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots }

jest zbieżny. Jest to natychmiastowa konsekwencja kryterium Leibniza.

Założenie, że zbieżność ciągu do zera jest monotoniczna (w kryteriach Dirichleta i Leibniza) jest istotne. Pokazuje to poniższy przykład.

Przykład [Uzupelnij]

Zbadać zbieżność szeregu

Rozwiązanie

Liczba

Przypomnijmy, że liczba była zdefiniowana jako granica pewnego ciągu (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.05.010|). Okazuje się, że liczbę tę można także otrzymać jako sumę pewnego szeregu liczbowego. Dzięki tej własności będziemy także mogli wykazać niewymierność liczby

Twierdzenie [Uzupelnij]

(O liczbie )
(1) Szereg jest zbieżny oraz ;
(2)

Dowód [Uzupelnij]

(Ad (1)) Przypomnijmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n. }

Niech

to znaczy jest ciągiem sum częściowych szeregu Ze wzoru dwumianowego Newtona (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.1.0620|), dla dowolnego dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned t_n & = & \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n \ =\ \displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\bigg(\frac{1}{n}\bigg)^k \ =\ \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!} \frac{n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{n^k}\\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!} \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg) \bigg(1-\frac{2}{n}\bigg) \cdot\ldots\cdot \bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg) \ \le\ \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!} \ =\ s_n \endaligned}

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} t_n \ \le\ \liminf_{n\rightarrow+\infty}s_n. }

Ustalmy dowolne Wówczas dla dowolnego mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned t_n & = & \sum_{k=0}^p\frac{1}{k!} \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg) \bigg(1-\frac{2}{n}\bigg) \cdot\ldots\cdot \bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg) + \sum_{k=p+1}^{n}\frac{1}{k!} \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg) \bigg(1-\frac{2}{n}\bigg) \cdot\ldots\cdot \bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg)\\ & > & \sum_{k=0}^p\frac{1}{k!} \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg) \bigg(1-\frac{2}{n}\bigg) \cdot\ldots\cdot \bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg). \endaligned}

Przechodząc do granicy z po obu stronach powyższej nierówności otrzymujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} t_n \ \ge\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^p\frac{1}{k!} \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg) \bigg(1-\frac{2}{n}\bigg) \cdot\ldots\cdot \bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg) \ =\ \sum_{k=0}^p\frac{1}{k!} \ =\ s_p. }

Powyższa nierówność jest prawdziwa dla dowolnego zatem możemy przejść do granicy z i dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} t_n \ \ge\ \limsup_{p\rightarrow+\infty} s_p. }

Zatem ostatecznie dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} t_n \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} s_n \ =\ \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}, }

co należało dowieść.
(Ad (2)) Oczywiście jest ciągiem rosnącym zbieżnym do zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ e-s_n>0. }

Z pierwszej części dowodu wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned e-s_n & = & \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!} \ =\ \frac{1}{(n+1)!} \bigg( 1+\frac{1}{n+2} +\frac{1}{(n+2)(n+3)} +\ldots \bigg)\\ & < & \frac{1}{(n+1)!} \underbrace{\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^j}}\limits_{\begin{array} {l} \textrm{szereg\ geometryczny}\\ \textrm{o\ sumie}\ \frac{n+1}{n} \end{array} } \ =\ \frac{1}{(n+1)!}\frac{n+1}{n} \ =\ \frac{1}{n!\cdot n}. \endaligned}

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że tzn gdzie oraz Z powyższego oszacowania wynika w szczególności, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 0 \ <\ \frac{p}{q}-s_q \ <\ \frac{1}{q!q}. }

Niech Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 0 \ <\ a \ <\ \frac{1}{q} \ <\ 1. }

Ale z definicji mamy czyli sprzeczność.

End of proof.gif