Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
m (Zastępowanie tekstu - "\set" na "")
 
(Nie pokazano 117 wersji utworzonych przez 7 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
{stre}{Streszczenie}
 
{wsk}{Wskazówka}
 
{rozw}{Rozwiązanie}
 
{textt}{}
 
{thm}{Twierdzenie}[section]
 
{stw}[thm]{Stwierdzenie}
 
{lem}[thm]{Lemat}
 
{uwa}[thm]{Uwaga}
 
{exa}[thm]{Example}
 
{dfn}[thm]{Definicja}
 
{wn}[thm]{Wniosek}
 
{prz}[thm]{Przykład}
 
{zadan}[thm]{Zadanie}
 
 
{}
 
{}
 
 
 
==Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności==
 
==Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności==
  
Linia 27: Linia 10:
  
 
Na poprzednim wykładzie zostało wprowadzone
 
Na poprzednim wykładzie zostało wprowadzone
pojęcie szeregu (patrz Definicja [[##t.new.am1.w.06.010|Uzupelnic t.new.am1.w.06.010|]]).
+
pojęcie szeregu (patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#definicja_6_1|definicja 6.1.]]).
 
Podany został warunek konieczny zbieżności szeregów
 
Podany został warunek konieczny zbieżności szeregów
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.06.030|Uzupelnic t.new.am1.w.06.030|]]) oraz
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_3|twierdzenie 6.3.]]) oraz
 
kryterium porównawcze zbieżności szeregów
 
kryterium porównawcze zbieżności szeregów
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.06.090|Uzupelnic t.new.am1.w.06.090|]]).
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_9|twierdzenie 6.9.]]).
 
Poniżej podane zostaną inne ważne kryteria
 
Poniżej podane zostaną inne ważne kryteria
 
(czyli warunki wystarczające) zbieżności szeregów.
 
(czyli warunki wystarczające) zbieżności szeregów.
Linia 40: Linia 23:
 
(czyli zbieżności szeregu).
 
(czyli zbieżności szeregu).
  
===Szeregi o wyrazach nieujemnych===
+
==Szeregi o wyrazach nieujemnych==
 
+
[[grafika:d'Alembert.jpg|thumb|right||Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783)<br>[[Biografia d'Alembert|Zobacz biografię]]]]
{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
+
<span id="twierdzenie_7_1">{{twierdzenie|7.1. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]||
'''(Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów)'''<br>
 
 
Jeśli
 
Jeśli
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest szeregiem o wyrazach dodatnich
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest szeregiem o wyrazach dodatnich
Linia 50: Linia 32:
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
<math>\displaystyle\displaystyle
 
<math>\displaystyle\displaystyle
\bigg[\exists p<1\ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N:\ \ \frac{a_{n+1}}{a_n}\le p\bigg]
+
\bigg[\exists p<1\ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N: \ \frac{a_{n+1}}{a_n}\le p\bigg]
\ \ \Longrightarrow\ \
+
\ \ \Longrightarrow
\bigg[\textrm{szereg}\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\ \textrm{jest\ zbieżny}\bigg];</math><br>
+
\bigg[</math>szereg <math>\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\ </math> &nbsp;jest zbieżny <math>\bigg];</math><br>
 
'''(2)'''
 
'''(2)'''
 
<math>\displaystyle\displaystyle
 
<math>\displaystyle\displaystyle
\bigg[\exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N:\ \ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\bigg]
+
\bigg[\exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N: \ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\bigg]
\ \ \Longrightarrow\ \
+
\ \ \Longrightarrow
\bigg[\textrm{szereg}\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\ \textrm{jest\ rozbieżny}\bigg].</math>
+
\bigg[</math>szereg <math>\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\ </math> &nbsp;jest rozbieżny <math>\bigg].</math>
}}
+
 
 +
}}</span>
  
{{dowod|[Uzupelnij]||
+
{{dowod|7.1.||
  
 
'''(Ad (1))'''
 
'''(Ad (1))'''
 
Warunek <math>\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\le p<1</math> dla <math>n\ge N</math> oznacza, że
 
Warunek <math>\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\le p<1</math> dla <math>n\ge N</math> oznacza, że
  
<center><math>\forall n\ge N:\ a_{n+1}\le p\cdot a_n.
+
<center>
</math></center>
+
<math>\forall n\ge N: a_{n+1}\le p\cdot a_n.
 +
</math>
 +
</center>
  
 
Zatem dla <math>n\ge N,</math> mamy
 
Zatem dla <math>n\ge N,</math> mamy
  
<center><math>a_n
+
<center>
\ \le\
+
<math>a_n
 +
\le
 
pa_{n-1}
 
pa_{n-1}
\ \le\
+
\le
 
p^2 a_{n-2}
 
p^2 a_{n-2}
\ \le\
+
\le
\ \ldots\
+
\ \ldots
\le\
+
\le
 
p^{n-N}a_N
 
p^{n-N}a_N
\ =\
+
=
 
p^n\frac{a_N}{p^N}.
 
p^n\frac{a_N}{p^N}.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Oznaczając <math>\displaystyle M=\frac{a_N}{p^N},</math> mamy
 
Oznaczając <math>\displaystyle M=\frac{a_N}{p^N},</math> mamy
  
<center><math>\forall n\ge N:\ a_n\le Mp^n,
+
<center>
</math></center>
+
<math>\forall n\ge N: a_n\le Mp^n,
 +
</math>
 +
</center>
  
 
zatem wyrazy szeregu <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> są oszacowane
 
zatem wyrazy szeregu <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> są oszacowane
 
(od pewnego miejsca) przez
 
(od pewnego miejsca) przez
 
wyrazy szeregu geometrycznego <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} Mp^n,</math>
 
wyrazy szeregu geometrycznego <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} Mp^n,</math>
który jest
+
który jest zbieżny
zbieżny (gdyż <math>p\in(0,1)</math>).
+
 
Korzystając z kryterium porównawczego
+
(gdyż <math>p\in(0,1)</math>). Korzystając z kryterium porównawczego
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.06.090|Uzupelnic t.new.am1.w.06.090|]]) wnioskujemy, że szereg
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_9|twierdzenie 6.9.]]) wnioskujemy, że szereg
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny.<br>
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny.<br>
 
<br>
 
<br>
Linia 100: Linia 89:
 
Z założenia wiemy, że istnieje <math>N\in\mathbb{N}</math> takie, że
 
Z założenia wiemy, że istnieje <math>N\in\mathbb{N}</math> takie, że
  
<center><math>\forall n\ge N:\ \frac{a_{n+1}}{a_n}
+
<center>
\ \ge\
+
<math>\forall n\ge N: \frac{a_{n+1}}{a_n}
 +
\ge
 
1.
 
1.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
Wówczas dla dowolnego <math>n\ge N,</math> mamy
+
Wówczas dla dowolnego <math>n\ge N</math> mamy
  
<center><math>a_{n+1}
+
<center>
\ \ge\
+
<math>a_{n+1}
 +
\ge
 
a_n
 
a_n
\ \ge\
+
\ge
 
a_{n-1}
 
a_{n-1}
\ \ge\
+
\ge
 
\ldots
 
\ldots
\ \ge\
+
\ge
 
a_N,
 
a_N,
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
czyli
 
czyli
  
<center><math>\forall n\ge N:\
+
<center><math>\forall n\ge N:
 
a_n
 
a_n
\ \ge\
+
\ge
 
a_N
 
a_N
\ >\
+
>
 
0.
 
0.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 132: Linia 125:
 
i stąd szereg <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> nie spełnia warunku koniecznego
 
i stąd szereg <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> nie spełnia warunku koniecznego
 
zbieżności szeregów
 
zbieżności szeregów
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.06.030|Uzupelnic t.new.am1.w.06.030|]])
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_3|twierdzenie 6.3.]]), czyli jest rozbieżny.
czyli jest rozbieżny.
 
 
}}
 
}}
 
{black}
 
  
 
Z powyższego kryterium można wywnioskować jego wersję słabszą,
 
Z powyższego kryterium można wywnioskować jego wersję słabszą,
Linia 142: Linia 132:
 
o wyrazach dodatnich, jeśli granica ciągu ilorazów kolejnych wyrazów
 
o wyrazach dodatnich, jeśli granica ciągu ilorazów kolejnych wyrazów
 
szeregu istnieje i jest różna od jeden, to potrafimy
 
szeregu istnieje i jest różna od jeden, to potrafimy
rozstrzygnąć czy szereg jest zbieżny.
+
rozstrzygnąć, czy szereg jest zbieżny.
Dowód tego wniosku, oparty na Twierdzeniu [[##t.new.am1.w.07.010|Uzupelnic t.new.am1.w.07.010|]]
+
Dowód tego wniosku oparty na [[Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności#twierdzenie_7_1|twierdzeniu 7.1.]]
 
pozostawiamy jako proste (choć nadobowiązkowe) ćwiczenie.
 
pozostawiamy jako proste (choć nadobowiązkowe) ćwiczenie.
  
{{wniosek|[Uzupelnij]||
+
<span id="wniosek_7_2">{{wniosek|7.2. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]||
'''(Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów)'''<br>
 
 
Przy powyższych założeniach:<br>
 
Przy powyższych założeniach:<br>
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
Jeśli
 
Jeśli
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\ =\ r\ <\ 1,</math>
+
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= r< 1,</math>
 
to  szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny.<br>
 
to  szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny.<br>
 +
 
'''(2)'''
 
'''(2)'''
 
Jeśli
 
Jeśli
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\ =\ s\ >\ 1,</math>
+
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= s> 1,</math>
 
to  szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest rozbieżny.<br>
 
to  szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest rozbieżny.<br>
 +
 
'''(3)'''
 
'''(3)'''
 
Jeśli
 
Jeśli
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\ =\ 1,</math>
+
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= 1,</math>
to  kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga czy szereg
+
to  kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy szereg
 
jest zbieżny.
 
jest zbieżny.
}}
+
}}</span>
  
{{przyklad|[Uzupelnij]||
+
{{przyklad|7.3.||
  
 
Zbadać zbieżność szeregów:<br>
 
Zbadać zbieżność szeregów:<br>
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+2n}{3^n}</math><br>
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+2n}{3^n}</math><br>
 +
 
'''(2)'''
 
'''(2)'''
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^n}</math><br>
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^n}</math><br>
 +
 
'''(3)'''
 
'''(3)'''
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n+1}</math><br>
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n+1}</math><br>
 +
 
'''(4)'''
 
'''(4)'''
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^3}</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^3}</math>
Linia 182: Linia 176:
  
 
<center><math>\frac{a_{n+1}}{a_n}
 
<center><math>\frac{a_{n+1}}{a_n}
\ =\
+
=
 
\frac{(n+1)^2+2(n+1)}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{n^2+2n}
 
\frac{(n+1)^2+2(n+1)}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{n^2+2n}
 
\ =
 
\ =
Linia 191: Linia 185:
  
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
\ =\
+
=
 
\frac{1}{3}
 
\frac{1}{3}
\ <\
+
<
 
1,
 
1,
 
</math></center>
 
</math></center>
  
 
czyli korzystając z kryterium a'Alemberta
 
czyli korzystając z kryterium a'Alemberta
(patrz Twierdzenie [[##w.new.am1.w.07.020|Uzupelnic w.new.am1.w.07.020|]](1)),
+
(patrz [[#wniosek_7_2|wniosek 7.2.]] (1)),
 
otrzymujemy, że szereg
 
otrzymujemy, że szereg
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+2n}{3^n}</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+2n}{3^n}</math>
Linia 207: Linia 201:
  
 
<center><math>\frac{a_{n+1}}{a_n}
 
<center><math>\frac{a_{n+1}}{a_n}
\ =\
+
=
 
\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n!}
 
\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n!}
\ =\
+
=
 
\frac{n+1}{2}.
 
\frac{n+1}{2}.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 216: Linia 210:
  
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
\ =\
+
=
+\infty
+
+\infty,
 
</math></center>
 
</math></center>
  
 
czyli korzystając z kryterium a'Alemberta
 
czyli korzystając z kryterium a'Alemberta
(patrz Twierdzenie [[##w.new.am1.w.07.020|Uzupelnic w.new.am1.w.07.020|]](2)),
+
(patrz [[#wniosek_7_2|wniosek 7.2.]] (2)),
 
otrzymujemy, że szereg
 
otrzymujemy, że szereg
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^n}</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^n}</math>
Linia 229: Linia 223:
  
 
<center><math>\frac{a_{n+1}}{a_n}
 
<center><math>\frac{a_{n+1}}{a_n}
\ =\
+
=
 
\frac{(n+1)^3}{n+2}\cdot\frac{n+1}{n^3}
 
\frac{(n+1)^3}{n+2}\cdot\frac{n+1}{n^3}
\ =\
+
=
 
\frac{(n+1)^4}{n^3(n+2)}.
 
\frac{(n+1)^4}{n^3(n+2)}.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 238: Linia 232:
  
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
\ =\
+
=
1
+
1,
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 247: Linia 241:
  
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^3}{n+1}
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^3}{n+1}
\ =\
+
=
+\infty
+
+\infty,
 
</math></center>
 
</math></center>
  
 
zatem nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów
 
zatem nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.06.030|Uzupelnic t.new.am1.w.06.030|]]),
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_3|twierdzenie 6.3.]]),
 
więc szereg
 
więc szereg
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n+1}</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n+1}</math>
Linia 261: Linia 255:
  
 
<center><math>\frac{a_{n+1}}{a_n}
 
<center><math>\frac{a_{n+1}}{a_n}
\ =\
+
=
 
\frac{n+2}{(n+1)^3}\cdot\frac{n^3}{n+1}
 
\frac{n+2}{(n+1)^3}\cdot\frac{n^3}{n+1}
\ =\
+
=
 
\frac{n^3(n+2)}{(n+1)^4}.
 
\frac{n^3(n+2)}{(n+1)^4}.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 270: Linia 264:
  
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
\ =\
+
=
1
+
1,
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 278: Linia 272:
 
Zauważmy jednak, że
 
Zauważmy jednak, że
  
<center><math>\forall n\in\mathbb{N}:\
+
<center><math>\forall n\in\mathbb{N}:
 
\frac{n+1}{n^3}
 
\frac{n+1}{n^3}
\ \le\
+
\le
 
\frac{2}{n^2}
 
\frac{2}{n^2}
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 288: Linia 282:
 
(jako uogólniony szereg harmoniczny
 
(jako uogólniony szereg harmoniczny
 
z wykładnikiem <math>\displaystyle\alpha=2>1</math>;
 
z wykładnikiem <math>\displaystyle\alpha=2>1</math>;
patrz Przykład [[##p.new.am1.w.06.150|Uzupelnic p.new.am1.w.06.150|]])
+
patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#przyklad_6_15|przykład 6.15.]])
 
zatem z kryterium porównawczego
 
zatem z kryterium porównawczego
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.06.090|Uzupelnic t.new.am1.w.06.090|]])
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_9|twierdzenie 6.9.]])
 
otrzymujemy, że szereg
 
otrzymujemy, że szereg
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^3}</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^3}</math>
 
jest zbieżny.
 
jest zbieżny.
{}<math>\Box</math></div></div>
+
</div></div>
  
 
Kolejne kryterium zbieżności szeregów bada zachowanie się ciągu
 
Kolejne kryterium zbieżności szeregów bada zachowanie się ciągu
 
<math>n</math>-tych pierwiastków z kolejnych wyrazów <math>a_n.</math>
 
<math>n</math>-tych pierwiastków z kolejnych wyrazów <math>a_n.</math>
  
{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
+
<span id="twierdzenie_7_4">{{twierdzenie|7.4. [Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]||
'''(Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów)'''<br>
+
[[grafika:Cauchy.jpg|thumb|right||Augustin Louis Cauchy (1789-1857)<br>[[Biografia Cauchy|Zobacz biografię]]]]Jeśli
Jeśli
 
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest szeregiem o wyrazach nieujemnych
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest szeregiem o wyrazach nieujemnych
 
(to znaczy <math>a_n\ge 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math>),
 
(to znaczy <math>a_n\ge 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math>),
 
to<br>
 
to<br>
'''(1)'''
+
'''(1)''' <math>\displaystyle\displaystyle
<math>\displaystyle\displaystyle
+
\bigg[\exists p<1\ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N: \ \sqrt[n]{a_n}\le p\bigg]
\bigg[\exists p<1\ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N:\ \ \sqrt[n]{a_n}\le p\bigg]
+
\ \ \Longrightarrow
\ \ \Longrightarrow\ \
+
\bigg[ </math>szereg <math>\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\ </math>&nbsp; jest zbieżny <math>\bigg];</math><br>
\bigg[\textrm{szereg}\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\ \textrm{jest\ zbieżny}\bigg];</math><br>
+
'''(2)''' <math>\displaystyle \displaystyle
'''(2)'''
+
\bigg[\sqrt[n]{a_n}\ge 1\ </math> &nbsp;dla nieskończenie wielu &nbsp;<math>n\in\mathbb{N}\bigg]
<math>\displaystyle\displaystyle
+
\ \ \Longrightarrow
\bigg[\sqrt[n]{a_n}\ge 1\ \textrm{dla\ nieskończenie\ wielu}\ n\in\mathbb{N}\bigg]
+
\bigg[ </math>szereg <math>\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\ </math>&nbsp; jest rozbieżny <math>\bigg].</math>}}
\ \ \Longrightarrow\ \
 
\bigg[\textrm{szereg}\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\ \textrm{jest\ rozbieżny}\bigg].</math>
 
}}
 
  
{{dowod|[Uzupelnij]||
+
{{dowod|7.4.||
  
 
'''(Ad (1))'''
 
'''(Ad (1))'''
 
Załóżmy, że <math>\displaystyle \sqrt[n]{a_n}\le p<1</math> dla <math>n\ge N,</math> czyli
 
Załóżmy, że <math>\displaystyle \sqrt[n]{a_n}\le p<1</math> dla <math>n\ge N,</math> czyli
  
<center><math>\forall n\ge N:\ a_n\le p^n.
+
<center>
</math></center>
+
<math>\forall n\ge N: a_n\le p^n.
 +
</math>
 +
</center>
  
 
Zatem wyrazy szeregu <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> są oszacowane
 
Zatem wyrazy szeregu <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> są oszacowane
Linia 330: Linia 322:
 
(bo <math>p\in(0,1)</math>).
 
(bo <math>p\in(0,1)</math>).
 
Zatem z kryterium porównawczego
 
Zatem z kryterium porównawczego
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.06.090|Uzupelnic t.new.am1.w.06.090|]]),
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_9|twierdzenie 6.9.]]),
 
wynika, że szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny.<br>
 
wynika, że szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny.<br>
 
'''(Ad (2))'''
 
'''(Ad (2))'''
Linia 336: Linia 328:
 
także
 
także
  
<center><math>
+
<center>
 +
<math>
 
a_n\ge 1
 
a_n\ge 1
\quad\textrm{dla\ nieskończenie\ wielu}\ n\in\mathbb{N},
+
\quad</math> dla nieskończenie wielu <math>n\in\mathbb{N},
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
zatem
 
zatem
Linia 345: Linia 339:
 
zbieżności szeregów.
 
zbieżności szeregów.
 
}}
 
}}
 
{black}
 
  
 
Podobnie jak w przypadku kryterium d'Alemberta, tak i w
 
Podobnie jak w przypadku kryterium d'Alemberta, tak i w
Linia 355: Linia 347:
 
rozstrzyga o zbieżności tego szeregu.
 
rozstrzyga o zbieżności tego szeregu.
  
{{wniosek|[Uzupelnij]||
+
<span id="wniosek_7_5">{{wniosek|7.5. [Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]||
'''(Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów)'''<br>
 
 
Przy powyższych założeniach:<br>
 
Przy powyższych założeniach:<br>
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
Jeśli
 
Jeśli
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}\ =\ r\ <\ 1,</math>
+
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}= r< 1,</math>
 
to  szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny.<br>
 
to  szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny.<br>
 +
 
'''(2)'''
 
'''(2)'''
 
Jeśli
 
Jeśli
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}\ =\ s\ >\ 1,</math>
+
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}= s> 1,</math>
 
to  szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest rozbieżny.<br>
 
to  szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest rozbieżny.<br>
 +
 
'''(3)'''
 
'''(3)'''
 
Jeśli
 
Jeśli
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}\ =\ 1,</math>
+
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}= 1,</math>
to  kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga czy szereg
+
to  kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy szereg
 
jest zbieżny.
 
jest zbieżny.
}}
+
}}</span>
  
{{przyklad|[Uzupelnij]||
+
{{przyklad|7.6.||
  
 
Zbadać zbieżność szeregów:<br>
 
Zbadać zbieżność szeregów:<br>
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \bigg(\frac{n-1}{n}\bigg)^{n^2}</math><br>
+
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \bigg(\frac{n-1}{n}\bigg)^{n^2},</math><br>
 
'''(2)'''
 
'''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \bigg(\frac{n+1}{n}\bigg)^{n^2}</math><br>
+
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \bigg(\frac{n+1}{n}\bigg)^{n^2},</math><br>
 +
 
 
'''(3)'''
 
'''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}</math><br>
+
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}},</math><br>
'''(4)'''
+
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}</math>
 
 
}}
 
}}
  
Linia 391: Linia 384:
  
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\bigg(\frac{n-1}{n}\bigg)^{n^2}}
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\bigg(\frac{n-1}{n}\bigg)^{n^2}}
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n
\ =\
+
=
 
\frac{1}{e}
 
\frac{1}{e}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
(patrz na przykład Zadanie [[##z.new.am1.c.05.0020|Uzupelnic z.new.am1.c.05.0020|]]).
+
(patrz na przykład [[Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 5: Obliczanie granic#cwiczenie_5_2|ćwiczenie 5.2.]]).
 
Ponieważ <math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{e}<1,</math>
 
Ponieważ <math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{e}<1,</math>
 
więc korzystając z kryterium Cauchy'ego
 
więc korzystając z kryterium Cauchy'ego
(patrz Wniosek [[##w.new.am1.w.07.050|Uzupelnic w.new.am1.w.07.050|]])
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności#wniosek_7_5|wniosek 7.5.]]),
 
otrzymujemy, że szereg
 
otrzymujemy, że szereg
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \bigg(\frac{n-1}{n}\bigg)^{n^2}</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \bigg(\frac{n-1}{n}\bigg)^{n^2}</math>
Linia 411: Linia 404:
  
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\bigg(\frac{n+1}{n}\bigg)^{n^2}}
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\bigg(\frac{n+1}{n}\bigg)^{n^2}}
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n+1}{n}\bigg)^n
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n+1}{n}\bigg)^n
\ =\
+
=
 
e.
 
e.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 422: Linia 415:
 
<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}=e>1</math>
 
<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}=e>1</math>
 
więc korzystając z kryterium Cauchy'ego
 
więc korzystając z kryterium Cauchy'ego
(patrz Wniosek [[##w.new.am1.w.07.050|Uzupelnic w.new.am1.w.07.050|]])
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności#wniosek_7_5|wniosek 7.5.]]),
 
otrzymujemy, że szereg
 
otrzymujemy, że szereg
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \bigg(\frac{n+1}{n}\bigg)^{n^2}</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \bigg(\frac{n+1}{n}\bigg)^{n^2}</math>
Linia 431: Linia 424:
  
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}}}
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}}}
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{\sqrt[n]{n}}}
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{\sqrt[n]{n}}}
\ =\
+
=
 
1.
 
1.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
 
Zatem kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga o zbieżności tego
 
Zatem kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga o zbieżności tego
szeregu. Widzimy jednak że szereg ten jest uogólnionym szeregiem
+
szeregu. Widzimy jednak, że szereg ten jest uogólnionym szeregiem
 
harmonicznym z wykładnikiem <math>\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}<1</math>
 
harmonicznym z wykładnikiem <math>\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}<1</math>
(patrz Przykład [[##p.new.am1.w.06.150|Uzupelnic p.new.am1.w.06.150|]]),
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#przyklad_6_15|przykład 6.15.]]),
 
zatem jest szeregiem rozbieżnym.<br>
 
zatem jest szeregiem rozbieżnym.<br>
 
<br>
 
<br>
'''(3)'''
 
W celu skorzystania z kryterium Cauchy'ego liczymy
 
  
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}
+
</div></div>
\ =\
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n^2}}
 
\ =\
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{(\sqrt[n]{n})^2}
 
\ =\
 
1.
 
</math></center>
 
 
 
Zatem kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga o zbieżności tego
 
szeregu. Widzimy jednak że szereg ten jest uogólnionym szeregiem
 
harmonicznym z wykładnikiem <math>\displaystyle\alpha=2<1</math>
 
(patrz Przykład [[##p.new.am1.w.06.150|Uzupelnic p.new.am1.w.06.150|]]),
 
zatem jest szeregiem zbieżnym.
 
{}<math>\Box</math></div></div>
 
  
 
Zachodzi pewien związek między
 
Zachodzi pewien związek między
Linia 469: Linia 446:
 
(który pozostawiamy tu bez dowodu).
 
(który pozostawiamy tu bez dowodu).
  
{{lemat|[Uzupelnij]||
+
<span id="lemat_7_7">{{lemat|7.7.||
  
 
Jeśli
 
Jeśli
Linia 476: Linia 453:
  
 
<center><math>\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
 
<center><math>\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
\ \le\
+
\le
 
\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a_n}
 
\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a_n}
\ \le\
+
\le
 
\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a_n}
 
\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a_n}
\ \le\
+
\le
 
\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
 
\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
}}
+
}}</span>
 +
 
 +
<div class="thumb tright"><div style="width:253px;">
 +
<flashwrap>file=AM1.M07.W.R01.swf|width=375|size=small</flashwrap>
 +
<div.thumbcaption>Wykres ciągu <math>1, \frac{3}{2}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{1}{16}, \frac{3}{16}, \ldots</math></div>
 +
</div></div>
  
{{wniosek|[Uzupelnij]||
+
{{wniosek|7.8.||
  
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze od kryterium d'Alemberta,
 
Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze od kryterium d'Alemberta,
to znaczy jeśli kryterium d'Alemberta rozstrzyga o zbieżności szeregu,
+
to znaczy, jeśli kryterium d'Alemberta rozstrzyga o zbieżności szeregu,
 
to kryterium Cauchy'ego także rozstrzyga.
 
to kryterium Cauchy'ego także rozstrzyga.
 
Jeszcze inaczej można powiedzieć, że klasa szeregów do której
 
Jeszcze inaczej można powiedzieć, że klasa szeregów do której
stosuje się kryterium Cauchy'ego zawiera w sobie klasę szeregów
+
stosuje się kryterium Cauchy'ego, zawiera w sobie klasę szeregów,
 
do których stosuje się kryterium d'Alemberta.
 
do których stosuje się kryterium d'Alemberta.
 
Prosty dowód oparty na powyższym lemacie pozostawiamy jako
 
Prosty dowód oparty na powyższym lemacie pozostawiamy jako
 
ćwiczenie.<br>
 
ćwiczenie.<br>
'''(2)''' Klasa szeregów dla których stosuje się kryterium
+
'''(2)''' Klasa szeregów, dla których stosuje się kryterium
Cauchy'ego jest istotnie większa od klasy szeregów, dla których
+
Cauchy'ego, jest istotnie większa od klasy szeregów, dla których
stosuje sie kryterium d'Alemberta.
+
stosuje się kryterium d'Alemberta.
Aby to zobaczyć rozważmy szereg
+
Aby to zobaczyć, rozważmy szereg
  
<center><math>1
+
<br><math>1
 
+\frac{3}{2}
 
+\frac{3}{2}
 
+\frac{1}{2^2}
 
+\frac{1}{2^2}
Linia 510: Linia 492:
 
+\frac{3}{2^{2n+1}}
 
+\frac{3}{2^{2n+1}}
 
+\ldots
 
+\ldots
</math></center>
+
</math><br><br>
  
{{red}[[Rysunek AM1.M07.W.R01 (stary numer AM2.1.1)]]}<br>
 
 
Ponieważ
 
Ponieważ
  
<center><math>
+
<center>
 +
<br><math>
 
\frac{a_{n+1}}{a_n}
 
\frac{a_{n+1}}{a_n}
\ =\
+
=
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
 
\displaystyle
 
\displaystyle
\frac{3}{2}>1 & \textrm{gdy} & n=2k-1,\\ \\
+
\frac{3}{2}>1 & \text{gdy} & n=2k-1,\\ \\
 
\displaystyle
 
\displaystyle
\frac{2}{3}<1& \textrm{gdy} & n=2k,
+
\frac{2}{3}<1& \text{gdy} & n=2k,
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
</math></center>
+
</math></center><br><br>
  
zatem kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga czy ten szereg jest
+
zatem kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy ten szereg jest
 
zbieżny.<br>
 
zbieżny.<br>
 
Z kolei
 
Z kolei
  
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}
\ =\
+
=
 
\frac{1}{2}
 
\frac{1}{2}
\ <\
+
<
 
1,
 
1,
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 543: Linia 525:
 
}}
 
}}
  
Lemat [[##l.new.am1.w.07.070|Uzupelnic l.new.am1.w.07.070|]] można wykorzystać do obliczania
+
[[#lemat_7_7|Lemat 7.7.]] można wykorzystać do obliczania
 
granic pewnych ciągów.
 
granic pewnych ciągów.
  
{{przyklad|[Uzupelnij]||
+
{{przyklad|7.9.||
  
 
Obliczyć granicę ciągu
 
Obliczyć granicę ciągu
Linia 554: Linia 536:
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
Wykorzystamy Lemat [[##l.new.am1.w.07.070|Uzupelnic l.new.am1.w.07.070|]].
+
Wykorzystamy [[#lemat_7_7|lemat 7.7.]]
 
Niech
 
Niech
 
<math>\displaystyle a_n=\frac{(2n)!!}{n^n}.</math>
 
<math>\displaystyle a_n=\frac{(2n)!!}{n^n}.</math>
Linia 560: Linia 542:
  
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{(2n+2)!!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{(2n)!!}
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{(2n+2)!!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{(2n)!!}
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2}{\big(1+\frac{1}{n}\big)^n}
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2}{\big(1+\frac{1}{n}\big)^n}
\ =\
+
=
 
\frac{2}{e}.
 
\frac{2}{e}.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Z lematu [[##l.new.am1.w.07.070|Uzupelnic l.new.am1.w.07.070|]] wynika, że
+
Z [[#lemat_7_7|lemat 7.7.]] wynika, że
 
jeśli istnieje granica <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},</math>
 
jeśli istnieje granica <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},</math>
 
to także granica <math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}</math> istnieje i są sobie równe,
 
to także granica <math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}</math> istnieje i są sobie równe,
Linia 574: Linia 556:
  
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\frac{(2n)!!}{n^n}}
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\frac{(2n)!!}{n^n}}
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
\ =\
+
=
 
\frac{2}{e}.
 
\frac{2}{e}.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
{}<math>\Box</math></div></div>
+
</div></div>
  
 
Kolejne kryterium, zwane kryterium asymptotycznym
 
Kolejne kryterium, zwane kryterium asymptotycznym
(ilorazowym lub limesowym) jest odmianą kryterium porównawczego
+
(ilorazowym lub limesowym), jest odmianą kryterium porównawczego
 
i mówi, że jeśli granica ciągu ilorazów wyrazów dwóch szeregów
 
i mówi, że jeśli granica ciągu ilorazów wyrazów dwóch szeregów
 
istnieje i jest liczbą dodatnią, to oba szeregi są jednocześnie
 
istnieje i jest liczbą dodatnią, to oba szeregi są jednocześnie
 
zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.
 
zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.
  
{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
+
<span id="twierdzenie_7_10">{{twierdzenie|7.10. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]||
'''(Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów)'''<br>
 
 
Jeśli
 
Jeśli
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> i <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n</math> są szeregami;
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> i <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n</math> są szeregami;
<math>\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ \ a_n\ge 0,\ b_n>0</math>
+
<math>\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}: \ a_n\ge 0,\ b_n>0</math>
 
oraz
 
oraz
 
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}=g\in (0,+\infty),</math>
 
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}=g\in (0,+\infty),</math>
Linia 602: Linia 583:
 
szereg
 
szereg
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n</math>
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n</math>
jestzbieżny.
+
jest zbieżny.
}}
+
}}</span>
  
{{dowod|[Uzupelnij]||
+
{{dowod|7.10.||
  
 
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
 
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
Linia 618: Linia 599:
 
czyli
 
czyli
  
<center><math>\forall n\ge N:\
+
<center><math>\forall n\ge N:
 
\frac{1}{2}gb_n
 
\frac{1}{2}gb_n
\ \le\
+
\le
 
a_n
 
a_n
\ \le\
+
\le
 
\frac{3}{2}gb_n
 
\frac{3}{2}gb_n
 
</math></center>
 
</math></center>
  
 
Stosując kryterium porównawcze
 
Stosując kryterium porównawcze
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.06.090|Uzupelnic t.new.am1.w.06.090|]]),
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_9|twierdzenie 6.9.]]),
z pierwszej nierówności powyżej wnioskujemy, że
+
z pierwszej nierówności powyżej, wnioskujemy, że
 
zbieżność szeregu <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math>
 
zbieżność szeregu <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math>
 
implikuje zbieżność szeregu <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n,</math>
 
implikuje zbieżność szeregu <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n,</math>
Linia 636: Linia 617:
 
}}
 
}}
  
{black}
+
{{przyklad|7.11.||
 
 
{{przyklad|[Uzupelnij]||
 
  
 
Zbadać zbieżność szeregu <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}.</math>
 
Zbadać zbieżność szeregu <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}.</math>
Linia 647: Linia 626:
  
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}
 
<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}
\ =\
+
=
 
1
 
1
 
</math></center>
 
</math></center>
  
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.05.080|Uzupelnic t.new.am1.w.05.080|]](7) o granicach specjalnych)
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 5: Obliczanie granic#twierdzenie_5_8|twierdzenie 5.8.]] (7) o granicach specjalnych)
 
oraz wiemy już, że szereg harmoniczny
 
oraz wiemy już, że szereg harmoniczny
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math> jest rozbieżny,
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math> jest rozbieżny,
Linia 657: Linia 636:
 
szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}</math>
 
szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}</math>
 
jest rozbieżny.
 
jest rozbieżny.
{}<math>\Box</math></div></div>
+
</div></div>
 
 
===Szeregi o wyrazach znakozmiennych===
 
  
 +
==Szeregi o wyrazach znakozmiennych==
 +
[[grafika:Dirichlet.gif|thumb|right||Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)<br>[[Biografia Dirichlet|Zobacz biografię]]]]
 
W tym rozdziale podamy dwa kryteria dotyczące szeregów, których
 
W tym rozdziale podamy dwa kryteria dotyczące szeregów, których
 
wyrazy zmieniają znak.
 
wyrazy zmieniają znak.
  
{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
+
<span id="twierdzenie_7_12">{{twierdzenie|7.12. [Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów]||
'''(Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów)'''<br>
 
 
Jeśli
 
Jeśli
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest szeregiem, którego
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest szeregiem, którego
Linia 675: Linia 653:
 
szereg
 
szereg
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\lambda_n a_n</math> jest zbieżny.
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\lambda_n a_n</math> jest zbieżny.
}}
+
}}</span>
  
{{dowod|[Uzupelnij]||
+
{{dowod|7.12.||
  
 
Oznaczmy przez <math>\displaystyle\{S_n\}</math> ciąg sum częściowych szeregu
 
Oznaczmy przez <math>\displaystyle\{S_n\}</math> ciąg sum częściowych szeregu
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n,</math> to znaczy
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n,</math> to znaczy
  
<center><math>S_n
+
<center>
\ =\
+
<math>S_n
 +
=
 
\sum_{i=1}^{\infty} a_i.
 
\sum_{i=1}^{\infty} a_i.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Z założenia wiemy, że ciąg <math>\displaystyle\{S_n\}</math> jest ograniczony,
 
Z założenia wiemy, że ciąg <math>\displaystyle\{S_n\}</math> jest ograniczony,
 
to znaczy
 
to znaczy
  
<center><math>\exists M>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\ |S_n|\le M.
+
<center>
</math></center>
+
<math>\exists M>0\ \forall n\in\mathbb{N}: |S_n|\le M.
 +
</math>
 +
</center>
  
 
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
 
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
 
Ponieważ <math>\displaystyle\lambda_n\searrow 0,</math> więc
 
Ponieważ <math>\displaystyle\lambda_n\searrow 0,</math> więc
  
<center><math>\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+
<center>
 +
<math>\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
 
\lambda_{n+1}<\frac{\varepsilon}{2M}
 
\lambda_{n+1}<\frac{\varepsilon}{2M}
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Dla <math>m>n\ge N,</math> mamy
 
Dla <math>m>n\ge N,</math> mamy
  
<center><math>\aligned
+
<center>
&&
+
<math>
\lambda_{n+1}a_{n+1}
+
\begin{array}{ll}
 +
& \lambda_{n+1}a_{n+1}
 
+\ldots+
 
+\ldots+
 
\lambda_{m}a_{m}\\
 
\lambda_{m}a_{m}\\
& = &
+
= & \lambda_{n+1}(S_{n+1}-S_n)
\lambda_{n+1}(S_{n+1}-S_n)
 
 
+\lambda_{n+2}(S_{n+2}-S_{n+1})
 
+\lambda_{n+2}(S_{n+2}-S_{n+1})
 
+\ldots
 
+\ldots
 
+\lambda_{m-1}(S_{m-1}-S_{m-2})
 
+\lambda_{m-1}(S_{m-1}-S_{m-2})
 
+\lambda_m(S_m-S_{m-1})\\
 
+\lambda_m(S_m-S_{m-1})\\
& = &
+
= &
 
-\lambda_{n+1}S_n
 
-\lambda_{n+1}S_n
 
+(\lambda_{n+1}-\lambda_{n+2})S_{n+1}
 
+(\lambda_{n+1}-\lambda_{n+2})S_{n+1}
Linia 719: Linia 703:
 
+(\lambda_{m-1}-\lambda_m)S_{m-1}
 
+(\lambda_{m-1}-\lambda_m)S_{m-1}
 
+\lambda_mS_m.
 
+\lambda_mS_m.
\endaligned</math></center>
+
\end{array}</math>
 +
</center>
  
 
Zatem
 
Zatem
  
<center><math>\aligned
+
<center><math>
&&
+
\begin{array}{ll}
\big|\lambda_{n+1}a_{n+1}
+
& \big|\lambda_{n+1}a_{n+1}
 
+\ldots+
 
+\ldots+
 
\lambda_{m}a_{m}\big|\\
 
\lambda_{m}a_{m}\big|\\
& \le &
+
\le &
 
\lambda_{n+1}|S_n|
 
\lambda_{n+1}|S_n|
 
+(\lambda_{n+1}-\lambda_{n+2})|S_{n+1}|
 
+(\lambda_{n+1}-\lambda_{n+2})|S_{n+1}|
Linia 734: Linia 719:
 
+(\lambda_{m-1}-\lambda_m)|S_{m-1}|
 
+(\lambda_{m-1}-\lambda_m)|S_{m-1}|
 
+\lambda_m|S_m|\\
 
+\lambda_m|S_m|\\
& \le &
+
\le &
 
M
 
M
 
\big[
 
\big[
Linia 744: Linia 729:
 
+\lambda_m
 
+\lambda_m
 
\big]\\
 
\big]\\
& = &
+
= &
 
2\lambda_{n+1}M
 
2\lambda_{n+1}M
\ <\
+
<
 
2M\frac{\varepsilon}{2M}
 
2M\frac{\varepsilon}{2M}
\ =\
+
=
 
\varepsilon.
 
\varepsilon.
\endaligned</math></center>
+
\end{array}</math></center>
  
 
Zatem pokazaliśmy, że szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\lambda_na_n</math>
 
Zatem pokazaliśmy, że szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\lambda_na_n</math>
 
spełnia warunek Cauchy'ego,
 
spełnia warunek Cauchy'ego,
 
a zatem jest zbieżny
 
a zatem jest zbieżny
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.06.070|Uzupelnic t.new.am1.w.06.070|]]).
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_7|twierdzenie 6.7.]]).
 
}}
 
}}
 
{black}
 
  
 
Szczególną wersją powyższego kryterium jest następujące
 
Szczególną wersją powyższego kryterium jest następujące
 
kryterium Leibniza dotyczące szeregów naprzemiennych.
 
kryterium Leibniza dotyczące szeregów naprzemiennych.
  
{{wniosek|[Uzupelnij]||
+
[[grafika:Leibniz.jpg|thumb|right||Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)<br>[[Biografia Leibniz|Zobacz biografię]]]]
'''(Kryterium Leibniza zbieżności szeregów)'''<br>
+
<span id="wniosek_7_13">{{wniosek|7.13. [Kryterium Leibniza zbieżności szeregów]||
 
Jeśli
 
Jeśli
 
<math>\displaystyle \{\lambda_n\}\subseteq \mathbb{R}</math>  jest ciągiem malejącym (słabo)
 
<math>\displaystyle \{\lambda_n\}\subseteq \mathbb{R}</math>  jest ciągiem malejącym (słabo)
Linia 771: Linia 754:
 
szereg
 
szereg
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\lambda_n</math> jest zbieżny.
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\lambda_n</math> jest zbieżny.
}}
+
}}</span>
  
{{dowod|[Uzupelnij]||
+
{{dowod|7.13.||
  
 
Wystarczy przyjąć
 
Wystarczy przyjąć
Linia 780: Linia 763:
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n</math> jest postaci
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n</math> jest postaci
  
<center><math>-1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots,
+
<center>
</math></center>
+
<math>-1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots,
 +
</math>
 +
</center>
  
 
a więc jest ograniczony,
 
a więc jest ograniczony,
Linia 788: Linia 773:
 
}}
 
}}
  
{black}
+
{{przyklad|7.14.|przyklad_7_14|
 
 
{{przyklad|[Uzupelnij]||
 
  
 
Następujący szereg
 
Następujący szereg
 
zwany '''''szeregiem anharmonicznym''''':
 
zwany '''''szeregiem anharmonicznym''''':
  
<center><math>\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}
+
<center>
\ =\
+
<math>\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}
 +
=
 
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots
 
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
jest zbieżny. Jest to natychmiastowa konsekwencja kryterium
 
jest zbieżny. Jest to natychmiastowa konsekwencja kryterium
Linia 810: Linia 795:
 
Pokazuje to poniższy przykład.
 
Pokazuje to poniższy przykład.
  
{{przyklad|[Uzupelnij]||
+
{{przyklad|7.15.||
  
 
Zbadać zbieżność szeregu
 
Zbadać zbieżność szeregu
Linia 822: Linia 807:
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n}.</math>
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n}.</math>
 
Jest on zbieżny
 
Jest on zbieżny
(z kryterium Leibniza; patrz Wniosek [[##w.new.am1.w.07.130|Uzupelnic w.new.am1.w.07.130|]]),
+
(z kryterium Leibniza; patrz [[#wniosek_7_13|wniosek 7.13.]]).
 
Zatem suma obu szeregów jest szeregiem
 
Zatem suma obu szeregów jest szeregiem
 
zbieżnym. Ale suma ta wynosi
 
zbieżnym. Ale suma ta wynosi
  
<center><math>\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2-(-1)^n}{n}
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2-(-1)^n}{n}
 
+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{2}{n}
 
+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{2}{n}
\ =\
+
=
 
-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{(-1)^n}{n}
 
-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{(-1)^n}{n}
\ =\
+
=
 
-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
 
-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
i jest szeregiem rozbieżnym
 
i jest szeregiem rozbieżnym
Linia 838: Linia 825:
 
sprzeczność.
 
sprzeczność.
  
Zauważmy, że
+
Zauważmy, że chociaż <math>\displaystyle\lambda_n=\frac{2-(-1)^n}{n}\longrightarrow 0,</math> to jednak zbieżność ta nie jest monotoniczna. Zatem nie mogliśmy tu stosować kryterium Leibniza.
chociaż
+
</div></div>
<math>\displaystyle\lambda_n=\frac{2-(-1)^n}{n}\longrightarrow 0,</math>
 
to jednak zbieżność ta nie jest monotoniczna.
 
Zatem nie mogliśmy tu stosować kryterium Leibniza.
 
{}<math>\Box</math></div></div>
 
  
===Liczba <math>e</math>===
+
==Liczba e==
  
 
Przypomnijmy, że liczba <math>e</math> była zdefiniowana
 
Przypomnijmy, że liczba <math>e</math> była zdefiniowana
 
jako granica pewnego ciągu
 
jako granica pewnego ciągu
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.05.010|Uzupelnic t.new.am1.w.05.010|]]).
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 5: Obliczanie granic#twierdzenie_5_1|twierdzenie 5.1.]]).
 
Okazuje się, że liczbę tę można
 
Okazuje się, że liczbę tę można
 
także otrzymać jako sumę pewnego
 
także otrzymać jako sumę pewnego
Linia 856: Linia 839:
 
liczby <math>e.</math>
 
liczby <math>e.</math>
  
{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
+
{{twierdzenie|7.16. [O liczbie <math>e</math>]||
'''(O liczbie <math>e</math>)'''<br>
 
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
Szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}</math> jest zbieżny oraz
 
Szereg <math>\displaystyle\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}</math> jest zbieżny oraz
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e</math>;<br>
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e</math>;<br>
 
'''(2)'''
 
'''(2)'''
<math>\displaystyle e\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.</math>
+
<math>\displaystyle e\in\mathbb{R}minus\mathbb{Q}.</math>
 
}}
 
}}
  
{{dowod|[Uzupelnij]||
+
{{dowod|7.16.||
  
 
'''(Ad (1))'''
 
'''(Ad (1))'''
Linia 871: Linia 853:
  
 
<center><math>e
 
<center><math>e
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n.
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 886: Linia 868:
 
to znaczy <math>\displaystyle\{s_n\}</math> jest ciągiem sum częściowych szeregu
 
to znaczy <math>\displaystyle\{s_n\}</math> jest ciągiem sum częściowych szeregu
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}.</math>
 
<math>\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}.</math>
Ze wzoru dwumianowego Newtona
+
Ze wzoru dwumianowego Newtona (patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 1: Zbiory liczbowe#twierdzenie_1_40|twierdzenie 1.40.]]),
(patrz Twierdzenie [[##t.1.0620|Uzupelnic t.1.0620|]]),
+
dla dowolnego <math>n\in\mathbb{N}</math> dostajemy
dla dowolnego <math>n\in\mathbb{N},</math> dostajemy
 
  
<center><math>\aligned
+
<center><math>
t_n
+
\begin{array}{lll}
& = &
+
t_n & = & \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n =
\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n
+
\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\bigg(\frac{1}{n}\bigg)^k =
\ =\
 
\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\bigg(\frac{1}{n}\bigg)^k
 
\ =\
 
 
\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}
 
\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}
 
\frac{n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{n^k}\\
 
\frac{n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{n^k}\\
& = &
+
& = & \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}
\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}
 
 
\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{2}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{2}{n}\bigg)
 
\cdot\ldots\cdot
 
\cdot\ldots\cdot
\bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg)
+
\bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg) \le
\ \le\
+
\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}=s_n \end{array}
\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}
+
</math></center>
\ =\
 
s_n
 
\endaligned</math></center>
 
  
 
Zatem
 
Zatem
  
 
<center><math>e
 
<center><math>e
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} t_n
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} t_n
\ \le\
+
\le
 
\liminf_{n\rightarrow+\infty}s_n.
 
\liminf_{n\rightarrow+\infty}s_n.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
 
Ustalmy dowolne <math>p\in\mathbb{N}.</math>
 
Ustalmy dowolne <math>p\in\mathbb{N}.</math>
Wówczas dla dowolnego <math>n>p,</math> mamy
+
Wówczas dla dowolnego <math>n>p</math> mamy
  
<center><math>\aligned
+
<center><math>\begin{array}{lll}
 +
\displaystyle
 
t_n
 
t_n
 
& = &
 
& = &
\sum_{k=0}^p\frac{1}{k!}
+
\displaystyle\sum_{k=0}^p\frac{1}{k!}
 
\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{2}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{2}{n}\bigg)
 
\cdot\ldots\cdot
 
\cdot\ldots\cdot
\bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg)
+
\bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg)  
+
+
\\
\sum_{k=p+1}^{n}\frac{1}{k!}
+
& + &\displaystyle\sum_{k=p+1}^{n}\frac{1}{k!}
 
\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{2}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{2}{n}\bigg)
Linia 938: Linia 913:
 
\bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg)\\
 
\bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg)\\
 
& > &
 
& > &
\sum_{k=0}^p\frac{1}{k!}
+
\displaystyle\sum_{k=0}^p\frac{1}{k!}
 
\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{2}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{2}{n}\bigg)
 
\cdot\ldots\cdot
 
\cdot\ldots\cdot
 
\bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg).
 
\bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg).
\endaligned</math></center>
+
\end{array}</math></center>
  
 
Przechodząc do granicy
 
Przechodząc do granicy
 
z <math>n\rightarrow +\infty</math>
 
z <math>n\rightarrow +\infty</math>
po obu stronach powyższej nierówności otrzymujemy:
+
po obu stronach powyższej nierówności, otrzymujemy:
  
<center><math>e
+
<center><math>\begin{array}{lll}
\ =\
+
e & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} t_n \ge
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} t_n
 
\ \ge\
 
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}
\sum_{k=0}^p\frac{1}{k!}
+
\displaystyle\sum_{k=0}^p\frac{1}{k!}
 
\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{2}{n}\bigg)
 
\bigg(1-\frac{2}{n}\bigg)
 
\cdot\ldots\cdot
 
\cdot\ldots\cdot
\bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg)
+
\bigg(1-\frac{k-1}{n}\bigg)\\
\ =\
+
& = &
\sum_{k=0}^p\frac{1}{k!}
+
\displaystyle \sum_{k=0}^p\frac{1}{k!}
\ =\
+
=
s_p.
+
s_p.
 +
\end{array}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 970: Linia 944:
  
 
<center><math>e
 
<center><math>e
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} t_n
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} t_n
\ \ge\
+
\ge
 
\limsup_{p\rightarrow+\infty} s_p.
 
\limsup_{p\rightarrow+\infty} s_p.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 980: Linia 954:
  
 
<center><math>e
 
<center><math>e
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} t_n
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} t_n
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} s_n
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} s_n
\ =\
+
=
 
\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!},
 
\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!},
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 993: Linia 967:
 
zatem
 
zatem
  
<center><math>\forall n\in\mathbb{N}:\
+
<center><math>\forall n\in\mathbb{N}:
 
e-s_n>0.
 
e-s_n>0.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 999: Linia 973:
 
Z pierwszej części dowodu wynika, że
 
Z pierwszej części dowodu wynika, że
  
<center><math>\aligned
+
<center><math>\begin{array}{lll}
e-s_n
+
e-s_n & = &
& = &
+
\displaystyle \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}
\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}
+
=
\ =\
 
 
\frac{1}{(n+1)!}
 
\frac{1}{(n+1)!}
\bigg(
+
\bigg(1+\frac{1}{n+2}
1+\frac{1}{n+2}
 
 
+\frac{1}{(n+2)(n+3)}
 
+\frac{1}{(n+2)(n+3)}
 
+\ldots
 
+\ldots
Linia 1013: Linia 985:
 
\frac{1}{(n+1)!}
 
\frac{1}{(n+1)!}
 
\underbrace{\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^j}}\limits_{\begin{array} {l}
 
\underbrace{\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^j}}\limits_{\begin{array} {l}
\textrm{szereg\ geometryczny}\\
+
\text{szereg geometryczny}\\
\textrm{o\ sumie}\ \frac{n+1}{n}
+
\text{o sumie}\ \frac{n+1}{n}
 
\end{array} }
 
\end{array} }
\ =\
+
=
 
\frac{1}{(n+1)!}\frac{n+1}{n}
 
\frac{1}{(n+1)!}\frac{n+1}{n}
\ =\
+
=
 
\frac{1}{n!\cdot n}.
 
\frac{1}{n!\cdot n}.
\endaligned</math></center>
+
\end{array}</math></center>
  
 
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
 
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
<math>e\in\mathbb{Q},</math> tzn
+
<math>e\in\mathbb{Q},</math> tzn.
<math>\displaystyle e=\frac{p}{q},</math> gdzie <math>p\in\mathbb{Z}</math> oraz <math>q\in\mathbb{N},g>1.</math>
+
<math>\displaystyle e=\frac{p}{q},</math> gdzie <math>p\in\mathbb{Z}</math> oraz <math>q\in\mathbb{N},q>1.</math>
 
Z powyższego oszacowania wynika w szczególności, że
 
Z powyższego oszacowania wynika w szczególności, że
  
 
<center><math>0
 
<center><math>0
\ <\
+
<
 
\frac{p}{q}-s_q
 
\frac{p}{q}-s_q
\ <\
+
<
 
\frac{1}{q!q}.
 
\frac{1}{q!q}.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 1039: Linia 1011:
  
 
<center><math>0
 
<center><math>0
\ <\
+
<
 
a
 
a
\ <\
+
<
 
\frac{1}{q}
 
\frac{1}{q}
\ <\
+
<
 
1.
 
1.
 
</math></center>
 
</math></center>

Aktualna wersja na dzień 20:17, 10 cze 2020

Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności

Niniejszy wykład jest kontynuacją poprzedniego wykładu dotyczącego szeregów liczbowych. Poznajemy tu dalsze kryteria zbieżności szeregów: d'Alemberta, Cauchy'ego, Leibniza, Dirichleta oraz asymptotyczne. Na zakończenie pokazujemy, że liczna jest sumą pewnego szeregu.

Na poprzednim wykładzie zostało wprowadzone pojęcie szeregu (patrz definicja 6.1.). Podany został warunek konieczny zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 6.3.) oraz kryterium porównawcze zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 6.9.). Poniżej podane zostaną inne ważne kryteria (czyli warunki wystarczające) zbieżności szeregów.

Kryteria zbieżności szeregów pozwalają, badając zachowanie się wyrazów szeregu , wnioskować o zbieżności (lub rozbieżności) ciągu sum częściowych (czyli zbieżności szeregu).

Szeregi o wyrazach nieujemnych

Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783)
Zobacz biografię

Twierdzenie 7.1. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]

Jeśli jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy dla ), to
(1) szereg  jest zbieżny
(2) szereg  jest rozbieżny

Dowód 7.1.

(Ad (1)) Warunek dla oznacza, że

Zatem dla mamy

Oznaczając mamy

zatem wyrazy szeregu są oszacowane (od pewnego miejsca) przez wyrazy szeregu geometrycznego który jest zbieżny

(gdyż ). Korzystając z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) wnioskujemy, że szereg jest zbieżny.

(Ad (2)) Z założenia wiemy, że istnieje takie, że

Wówczas dla dowolnego mamy

czyli

Zatem oczywiście i stąd szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 6.3.), czyli jest rozbieżny.

End of proof.gif

Z powyższego kryterium można wywnioskować jego wersję słabszą, ale częściej używaną w zastosowaniach. Mówi ona, że dla szeregów o wyrazach dodatnich, jeśli granica ciągu ilorazów kolejnych wyrazów szeregu istnieje i jest różna od jeden, to potrafimy rozstrzygnąć, czy szereg jest zbieżny. Dowód tego wniosku oparty na twierdzeniu 7.1. pozostawiamy jako proste (choć nadobowiązkowe) ćwiczenie.

Wniosek 7.2. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]

Przy powyższych założeniach:
(1) Jeśli to szereg jest zbieżny.

(2) Jeśli to szereg jest rozbieżny.

(3) Jeśli to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny.

Przykład 7.3.

Zbadać zbieżność szeregów:
(1)

(2)

(3)

(4)

Rozwiązanie

Kolejne kryterium zbieżności szeregów bada zachowanie się ciągu -tych pierwiastków z kolejnych wyrazów

Twierdzenie 7.4. [Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię
Jeśli

jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy dla ), to
(1) szereg   jest zbieżny

(2)  dla nieskończenie wielu  szereg   jest rozbieżny

Dowód 7.4.

(Ad (1)) Załóżmy, że dla czyli

Zatem wyrazy szeregu są oszacowane (od pewnego miejsca) przez wyrazy szeregu geometrycznego który jest zbieżny (bo ). Zatem z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.), wynika, że szereg jest zbieżny.
(Ad (2)) Jeśli dla nieskończenie wielu to także

dla nieskończenie wielu

zatem czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów.

End of proof.gif

Podobnie jak w przypadku kryterium d'Alemberta, tak i w przypadku kryterium Cauchy'ego podamy słabszą, ale bardziej praktyczną wersję tego kryterium. Mówi ona, że istnienie granicy pierwiastków -tego stopnia z kolejnych wyrazów szeregu różnej od rozstrzyga o zbieżności tego szeregu.

Wniosek 7.5. [Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Przy powyższych założeniach:
(1) Jeśli to szereg jest zbieżny.

(2) Jeśli to szereg jest rozbieżny.

(3) Jeśli to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny.

Przykład 7.6.

Zbadać zbieżność szeregów:
(1)
(2)

(3)

Rozwiązanie

Zachodzi pewien związek między kryteriami Cauchy'ego i d'Alemberta. Będzie on wynikał z następującego lematu (który pozostawiamy tu bez dowodu).

Lemat 7.7.

Jeśli jest ciągiem o wyrazach dodatnich, to

<flashwrap>file=AM1.M07.W.R01.swf|width=375|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Wykres ciągu

Wniosek 7.8.

(1) Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze od kryterium d'Alemberta, to znaczy, jeśli kryterium d'Alemberta rozstrzyga o zbieżności szeregu, to kryterium Cauchy'ego także rozstrzyga. Jeszcze inaczej można powiedzieć, że klasa szeregów do której stosuje się kryterium Cauchy'ego, zawiera w sobie klasę szeregów, do których stosuje się kryterium d'Alemberta. Prosty dowód oparty na powyższym lemacie pozostawiamy jako ćwiczenie.
(2) Klasa szeregów, dla których stosuje się kryterium Cauchy'ego, jest istotnie większa od klasy szeregów, dla których stosuje się kryterium d'Alemberta. Aby to zobaczyć, rozważmy szereg




Ponieważ




zatem kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy ten szereg jest zbieżny.
Z kolei

zatem z kryterium Cauchy'ego wnioskujemy, że szereg jest zbieżny.

Lemat 7.7. można wykorzystać do obliczania granic pewnych ciągów.

Przykład 7.9.

Obliczyć granicę ciągu gdzie

Rozwiązanie

Kolejne kryterium, zwane kryterium asymptotycznym (ilorazowym lub limesowym), jest odmianą kryterium porównawczego i mówi, że jeśli granica ciągu ilorazów wyrazów dwóch szeregów istnieje i jest liczbą dodatnią, to oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.

Twierdzenie 7.10. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]

Jeśli i są szeregami; oraz to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny.

Dowód 7.10.

Ustalmy dowolne Ponieważ więc z definicji granicy

czyli

Stosując kryterium porównawcze (patrz twierdzenie 6.9.), z pierwszej nierówności powyżej, wnioskujemy, że zbieżność szeregu implikuje zbieżność szeregu a z drugiej nierówności powyżej wnioskujemy, że zbieżność szeregu implikuje zbieżność szeregu

End of proof.gif

Przykład 7.11.

Zbadać zbieżność szeregu

Rozwiązanie

Szeregi o wyrazach znakozmiennych

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)
Zobacz biografię

W tym rozdziale podamy dwa kryteria dotyczące szeregów, których wyrazy zmieniają znak.

Twierdzenie 7.12. [Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów]

Jeśli jest szeregiem, którego ciąg sum częściowych jest ograniczony, jest ciągiem malejącym (słabo) oraz zbieżnym do zera (to znaczy ), to szereg jest zbieżny.

Dowód 7.12.

Oznaczmy przez ciąg sum częściowych szeregu to znaczy

Z założenia wiemy, że ciąg jest ograniczony, to znaczy

Ustalmy dowolne Ponieważ więc

Dla mamy

Zatem

Zatem pokazaliśmy, że szereg spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (patrz twierdzenie 6.7.).

End of proof.gif

Szczególną wersją powyższego kryterium jest następujące kryterium Leibniza dotyczące szeregów naprzemiennych.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Zobacz biografię

Wniosek 7.13. [Kryterium Leibniza zbieżności szeregów]

Jeśli jest ciągiem malejącym (słabo) oraz zbieżnym do zera (to znaczy ), to szereg jest zbieżny.

Dowód 7.13.

Wystarczy przyjąć Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest postaci

a więc jest ograniczony, zatem możemy zastosować kryterium Dirichleta i wywnioskować, że szereg jest zbieżny.

End of proof.gif

Przykład 7.14.

Następujący szereg zwany szeregiem anharmonicznym:

jest zbieżny. Jest to natychmiastowa konsekwencja kryterium Leibniza.

Założenie, że zbieżność ciągu do zera jest monotoniczna (w kryteriach Dirichleta i Leibniza) jest istotne. Pokazuje to poniższy przykład.

Przykład 7.15.

Zbadać zbieżność szeregu

Rozwiązanie

Liczba e

Przypomnijmy, że liczba była zdefiniowana jako granica pewnego ciągu (patrz twierdzenie 5.1.). Okazuje się, że liczbę tę można także otrzymać jako sumę pewnego szeregu liczbowego. Dzięki tej własności będziemy także mogli wykazać niewymierność liczby

Twierdzenie 7.16. [O liczbie ]

(1) Szereg jest zbieżny oraz ;
(2)

Dowód 7.16.

(Ad (1)) Przypomnijmy, że

Niech

to znaczy jest ciągiem sum częściowych szeregu Ze wzoru dwumianowego Newtona (patrz twierdzenie 1.40.), dla dowolnego dostajemy

Zatem

Ustalmy dowolne Wówczas dla dowolnego mamy

Przechodząc do granicy z po obu stronach powyższej nierówności, otrzymujemy:

Powyższa nierówność jest prawdziwa dla dowolnego zatem możemy przejść do granicy z i dostajemy

Zatem ostatecznie dostajemy

co należało dowieść.
(Ad (2)) Oczywiście jest ciągiem rosnącym zbieżnym do zatem

Z pierwszej części dowodu wynika, że

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że tzn. gdzie oraz Z powyższego oszacowania wynika w szczególności, że

Niech Wówczas

Ale z definicji mamy czyli sprzeczność.

End of proof.gif