Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe
Ciągi liczbowe
<flashwrap>file=AM1.M04.W.R01.swf|width=375|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>Ciąg liczbowyW tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych. Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony, granice niewłaściwe. Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów, twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w
twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.Definicja 4.1. [ciąg liczbowy]
Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w
(to znaczy w zbiorze liczbowym traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką euklidesową). Piszemy krótkoPonieważ w zbiorze liczbowym
mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.Definicja 4.2.
(1) Mówimy, że ciąg
(2) Mówimy, że ciąg
jest
silnie malejący,
jeśli
(3) Mówimy, że ciąg
jest rosnący, jeśli(4) Mówimy, że ciąg
jest silnie rosnący, jeśli(5) Mówimy, że ciąg
(6) Mówimy, że ciąg jest
silnie monotoniczny,
jeśli jest on
silnie malejący lub silnie rosnący.
<flash>file=AM1.M04.W.R02.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Ciąg malejący |
<flash>file=AM1.M04.W.R03.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Ciąg silnie malejący |
<flash>file=AM1.M04.W.R04.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Ciąg rosnący |
<flash>file=AM1.M04.W.R05.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Ciąg silnie rosnący |
<flashwrap>file=AM1.M04.W.R06.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>Ciąg zbieżny do granicyW przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry (ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy
jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące definicje.Definicja 4.3.
(1) Mówimy, że ciąg
(2) Mówimy, że ciąg jest
ograniczony z dołu,
jeśli
(3) Mówimy, że ciąg jest
ograniczony z góry,
jeśli
Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest następujący związek między ograniczonością a ograniczonością z góry i z dołu.
Stwierdzenie 4.4. [O ciągu ograniczonym w ]
Jeśli
jest ciągiem to jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z dołu i z góry.Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w dowolnych przestrzeniach metrycznych. Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w
mamy metrykę euklidesową.Definicja 4.5.
(1) Mówimy, że liczba
jest granicą ciągu jeślii piszemy
(2) Mówimy, że ciąg
jest zbieżny, jeśliW przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej przestrzeni metrycznej).
Definicja 4.6. [Uzupelnij]
(1) Mówimy, że ciąg liczbowy
ma granicę niewłaściwą jeśli
Mówimy wówczas, że ciąg
(2) Mówimy, że ciąg liczbowy
ma
granicę niewłaściwą
jeśli
Mówimy wówczas, że ciąg
jest rozbieżny do i piszemy<flashwrap>file=AM1.M04.W.R07.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do |
<flashwrap>file=AM1.M04.W.R08.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do |
Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą (w sensie definicji 4.5.), gdyż nie jest to element (nie jest to liczba rzeczywista). Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w terminologii.
Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać "granica właściwa" lub "granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy o granicy niewłaściwej. O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest zbieżny. O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest rozbieżny do
lub O ciągu który nie ma granicy właściwej mówimy, że jest rozbieżny.Twierdzenie 4.7. [O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera]
Jeśli
są ciągami takimi, że oraz jest ograniczony, toDowód 4.7.
Niech
będzie stałą ograniczającą ciąg (która istnieje z założenia), to znaczyUstalmy
Ponieważ więcZatem dla
mamyPonieważ
było dowolne, więc pokazaliśmy, żeczyli udowodniliśmy, że

Przykład 4.8.
Obliczyć granicę
.Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na elementach tych ciągów oraz na ich granicach. Poniższe twierdzenie podaje związki, jakie zachodzą między tymi działaniami.
Twierdzenie 4.9. [O "arytmetyce" granic ciągów]
Jeśli
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
(o ile
dla oraz );
(5)
(o ile działania po obu stronach są wykonalne);
(6)
;
(7)
Dowód 4.9.
(Ad 1)
Niech
W tym celu ustalmy
Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów
i wiemy, że
oraz
Niech
Wówczas dla dowolnego mamy:Ponieważ
było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, żeczyli
Analogicznie pokazuje się, że
(Ad (3)-(4), (6)-(7)) Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia
(patrz ćwiczenie 4.5. i ćwiczenie 4.6.).
(Ad (2)) Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).
(Ad (5)) Pozostawiamy to bez dowodu.

Przykład 4.10.
Obliczyć granice ciągów:
(1) ;
(2)
Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu
leżą pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów i (przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę (właściwą lub niewłaściwą), to ciąg ma tę samą granicęTwierdzenie 4.11. [O trzech ciągach]
Jeśli
to
Dowód 4.11.
Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy
. Załóżmy, że orazNależy pokazać, że
W tym celu ustalmy dowolne Z definicji granicy ciągu mamy
Niech
Z powyższych nierówności wynika w szczególności, żezatem
co dowodzi, że

Przykład 4.12.
Obliczyć granicę ciągu
Niech
Zauważmy, że
gdzie oraz W celu obliczenia zauważmy, żegranica ciągu twierdzenie 4.9. (3)), to znaczy
oraz wynosi zero. Zbieżności te wynikają z twierdzenia o granicy iloczynu ciągu (patrzi podobnie
Teraz, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz twierdzenie 4.11) dostajemy, że
Odnośnie ciągu
zauważmy, żea zatem ciąg
W końcu, korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz jest ograniczony. twierdzenie 4.7.) dostajemy, żeKolejne twierdzenie mówi, w jaki sposób nierówności między wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych ciągów i na odwrót. Mianowicie, jeśli
i są dwoma ciągami mającymi granice (właściwe lub niewłaściwe) oraz wyrazy ciągu są większe lub równe od wyrazów ciągu , to nierówność ta zachodzi także dla granic ciągów. Na odwrót, jeśli granica ciągu jest silnie większa od granicy ciągu , to nierówność ta zachodzi także dla wyrazów ciągów i , przynajmniej od pewnego miejsca.Twierdzenie 4.13. [O dwóch ciągach]
Jeśli
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
Dowód 4.13. [nadobowiązkowy]
(Ad (1))
Zakładamy, że
Ustalmy dowolne
Ponieważ więc
Zatem dla dowolnego
mamyPonieważ
było dowolne, więc pokazaliśmy, żea to oznacza, że
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu (1).
(Ad (3))
Niech
oraz
"Przypadek " Niech
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
Ustalmy Z definicji granicy ciągu mamyi w szczególności
Niech
Wówczas dla wyrazów i mamyco jest sprzeczne z założeniem.
Zatem pokazaliśmy, że
"Przypadek "
lub
Wówczas teza wynika z (1) lub (2).
"Przypadek "
lub
Wówczas zawsze zachodzi nierówność
(Ad (4))
"Przypadek "
Niech
Ustalmy
Ponieważ , więc .
Z definicji granicy ciągu mamy
Niech
W szczególności mamyco należało pokazać.
"Przypadek "
Niech i
Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej mamy
Niech
W szczególności mamyco należało pokazać.
"Przypadek "
Dowód jest analogiczny jak w przypadku

Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego (ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu (patrz rysunek w twierdzeniu 4.15).
Twierdzenie 4.14.
Jeśli
(1)
jeśli jest rosnący, to
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
oraz
(2) jeśli
jest malejący, to ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz
Dowód 4.14. [nadobowiązkowy]
(Ad (1)) Załóżmy, że
jest ciągiem rosnącym oraz niech(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek
Niech
Ustalmy dowolne
Z własności supremum mamy, że
(de facto z własności supremum wynika, że takich indeksów
istnieje nieskończenie wiele, ale nam wystarczy wybór jednego z nich). Ponieważ ciąg jest rosnący oraz (z definicji supremum), więcPonieważ
był dowolnie wybrany, więc pokazaliśmy, żezatem pokazaliśmy, że
Przypadek
Niech
Ustalmy
Z definicji supremum mamy, że
(bo w przeciwnym razie byłoby
, sprzeczność).Ponieważ ciąg
jest rosnący, więcPonieważ
było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, żeZatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że
(Ad (2)) Dowód jest analogiczny jak dla (1).

Twierdzenie 4.15. [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]
(1)
Jeśli
(2)
Jeśli
(3)
Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
jest ograniczony.
Dowód 4.15.
(Ad (1)) Jeśli ciąg twierdzenia 4.14 (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz
jest rosnący, to zPonieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc
zatem granica jest właściwa, czyli
ciąg jest zbieżny.
(Ad (2))
Dowód analogiczny jak w (1).
(Ad (3))
Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to
zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2)
(to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony).
W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.
Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy
ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez
założenia monotoniczności). Wynika to z
twierdzenia 3.25.

Twierdzenie 4.16. [Bolzano-Weierstrassa]
Każdy ciąg ograniczony
zawiera podciąg zbieżny.W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat:
Lemat 4.17.
Dowód 4.17.
[Szkic] Dla ciągu
zdefiniujmy następujący zbiór:
Możliwe są dwa przypadki.
Jeśli
(to znaczy zbiór jest nieskończony), to
możemy z ciągu wybrać podciąg rosnący
(wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu
których indeksy należą do zbioru ).
Jeśli
(to znaczy zbiór jest skończony), to
możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób.
Niech będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze
zbioru Ponieważ
więc
Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy
to z definicji zbioru i faktu, że wynika, że
Skonstruowany w ten sposób podciąg
jest malejący.
Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa:
Dowód 4.16.
Niech lematu 4.17. wynika, że możemy z niego wybrać podciąg monotoniczny Oczywiście podciąg jest także ograniczony, zatem z twierdzenia 4.15. (3) wynika, że podciąg jest zbieżny.
będzie ciągiem ograniczonym. Z
Wniosek 4.18.
Z każdego ciągu liczbowego
można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą).Dowód 4.18.
Z lematu 4.17. wiemy, że z ciągu można wybrać podciąg monotoniczny. Jeśli jest on ograniczony, to z twierdzenia 4.15. wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą). Jeśli zaś jest nieograniczony, to skoro jest monotoniczny, to granicą jest lub .
