Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe

Ciągi liczbowe

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R01.swf|width=375|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg liczbowy

W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych. Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony, granice niewłaściwe. Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów, twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w $\mathbb {R} ,$ twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Definicja 4.1. [ciąg liczbowy]

Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w $\mathbb {R}$ (to znaczy w zbiorze liczbowym $\displaystyle \mathbb {R}$ traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką euklidesową). Piszemy krótko $\displaystyle \{x_{n}\}\subseteq \mathbb {R} .$

Ponieważ w zbiorze liczbowym $\displaystyle \mathbb {R}$ mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.

Definicja 4.2.

(1) Mówimy, że ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest malejący, jeśli $\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\geq a_{n+1}.$

(2) Mówimy, że ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest silnie malejący, jeśli $\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}>a_{n+1}.$

(3) Mówimy, że ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest rosnący, jeśli $\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leq a_{n+1}.$

(4) Mówimy, że ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest silnie rosnący, jeśli $\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}<a_{n+1}.$

(5) Mówimy, że ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest monotoniczny, jeśli jest on malejący lub rosnący.
(6) Mówimy, że ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie malejący lub silnie rosnący.

<flash>file=AM1.M04.W.R02.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Ciąg malejący

<flash>file=AM1.M04.W.R03.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Ciąg silnie malejący

<flash>file=AM1.M04.W.R04.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Ciąg rosnący

<flash>file=AM1.M04.W.R05.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Ciąg silnie rosnący

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R06.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg zbieżny do granicy $g$

W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry (ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy $\displaystyle \mathbb {R}$ jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące definicje.

Definicja 4.3.

(1) Mówimy, że ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest ograniczony, jeśli $\displaystyle \exists M\in \mathbb {R} \ \forall n\in \mathbb {N} :|a_{n}|\leq M.$
(2) Mówimy, że ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest ograniczony z dołu, jeśli $\displaystyle \exists M\in \mathbb {R} \ \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\geq M.$
(3) Mówimy, że ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest ograniczony z góry, jeśli $\displaystyle \exists M\in \mathbb {R} \ \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leq M.$

Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest następujący związek między ograniczonością a ograniczonością z góry i z dołu.

Stwierdzenie 4.4. [O ciągu ograniczonym w $\displaystyle \mathbb {R}$]

Jeśli $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest ciągiem to $\displaystyle \{a_{n}\}$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle \{a_{n}\}$ jest ograniczony z dołu i z góry.

Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w dowolnych przestrzeniach metrycznych. Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w $\displaystyle \mathbb {R}$ mamy metrykę euklidesową.

Definicja 4.5.

(1) Mówimy, że liczba $g$ jest granicą ciągu $\displaystyle \{x_{n}\}\subseteq \mathbb {R} ,$ jeśli

$\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:|x_{n}-g|<\varepsilon$

i piszemy

${\begin{array}{lll}\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g\quad &{\text{lub}}&x_{n}{\stackrel {\mathbb {R} }{\longrightarrow }}g\quad {\text{lub}}\\\\x_{n}{\xrightarrow[{n\rightarrow +\infty }]{}}g\quad &{\text{lub}}&x_{n}\longrightarrow g\end{array}}$

(2) Mówimy, że ciąg $\displaystyle \{x_{n}\}$ jest zbieżny, jeśli

$\exists g\in \mathbb {R} :\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g.$

W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej przestrzeni metrycznej).

Definicja 4.6. [Uzupelnij]

(1) Mówimy, że ciąg liczbowy $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ ma granicę niewłaściwą $+\infty ,$ jeśli

$\forall M\in \mathbb {R} \exists N\in \mathbb {N} \forall n\geq N:a_{n}\geq M.$

Mówimy wówczas, że ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest rozbieżny do $+\infty$ i piszemy $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=+\infty .$
(2) Mówimy, że ciąg liczbowy $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ ma granicę niewłaściwą $-\infty ,$ jeśli

$\forall M\in \mathbb {R} \exists N\in \mathbb {N} \forall n\geq N:a_{n}\leq M.$

Mówimy wówczas, że ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest rozbieżny do $-\infty$ i piszemy $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=-\infty .$

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R07.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do $+\infty$

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R08.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do $-\infty$

Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą (w sensie definicji 4.5.), gdyż nie jest to element $\displaystyle \mathbb {R}$ (nie jest to liczba rzeczywista). Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w terminologii.

Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać "granica właściwa" lub "granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy o granicy niewłaściwej. O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest zbieżny. O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest rozbieżny do $+\infty$ lub $-\infty .$ O ciągu który nie ma granicy właściwej mówimy, że jest rozbieżny.

Twierdzenie 4.7. [O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera]

Jeśli $\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ są ciągami takimi, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0$ oraz $\displaystyle \{b_{n}\}$ jest ograniczony, to $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}b_{n}=0.$

Dowód 4.7.

Niech $M>0$ będzie stałą ograniczającą ciąg $\displaystyle \{b_{n}\}$ (która istnieje z założenia), to znaczy

$\forall n\in \mathbb {N} :|b_{n}|\leq M.$

Ustalmy $\displaystyle \varepsilon >0.$ Ponieważ $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0,$ więc

$\exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:|a_{n}|\leq {\frac {\varepsilon }{M}}.$

Zatem dla $n\geq N$ mamy

$|a_{n}b_{n}|\leq {\frac {\varepsilon }{M}}\cdot M=\varepsilon .$

Ponieważ $\displaystyle \varepsilon >0$ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

$\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} :|a_{n}b_{n}|\leq \varepsilon ,$

czyli udowodniliśmy, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}b_{n}=0.$

Przykład 4.8.

Obliczyć granicę $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {\sin n}{n}}$.

Rozwiązanie

Jeśli zdefiniujemy $\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}$ oraz $\displaystyle b_{n}=\sin n$ dla $n\in \mathbb {N}$, to $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0$ oraz ciąg $\{b_{n}\}$ jest ograniczony, gdyż

$\forall n\in \mathbb {N} :|\sin n|\leq 1.$

Zatem z twierdzenia 4.7. wnioskujemy, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {\sin n}{n}}=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}b_{n}=0$.

Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na elementach tych ciągów oraz na ich granicach. Poniższe twierdzenie podaje związki, jakie zachodzą między tymi działaniami.

Twierdzenie 4.9. [O "arytmetyce" granic ciągów]

Jeśli $\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz $c\in \mathbb {R} ,$ to
(1) $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}\pm \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}$;
(2) $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }(c\cdot a_{n})=c\cdot \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}$;
(3) $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }(a_{n}b_{n})={\bigg (}\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}{\bigg )}{\bigg (}\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}{\bigg )}$;
(4) $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}}}$ (o ile $b_{n}\neq 0$ dla $n\in \mathbb {N}$ oraz $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}\neq 0$);
(5) $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}^{b_{n}}={\bigg (}\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}{\bigg )}^{\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}}$ (o ile działania po obu stronach są wykonalne);
(6) $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=a\quad \Longrightarrow \quad \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }|a_{n}|=|a|$;
(7) $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0\quad \Longleftrightarrow \quad \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }|a_{n}|=0.$

Dowód 4.9.

(Ad 1) Niech $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=a$ oraz $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=b.$ Pokażemy, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }(a_{n}+b_{n})=a+b.$
W tym celu ustalmy $\displaystyle \varepsilon >0.$ Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów $\displaystyle \{a_{n}\}$ i $\displaystyle \{b_{n}\}$ wiemy, że

$\exists N_{1}\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N_{1}:\ |a_{n}-a|<{\frac {\varepsilon }{2}}$

oraz

$\exists N_{2}\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N_{2}:\ |b_{n}-b|<{\frac {\varepsilon }{2}}.$

Niech $N=\max\{N_{1},N_{2}\}.$ Wówczas dla dowolnego $n\geq N$ mamy:

${\big |}(a_{n}+b_{n})-(a+b){\big |}\leq |a_{n}-a|+|b_{n}-b|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .$

Ponieważ $\displaystyle \varepsilon >0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

$\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} :{\big |}(a_{n}+b_{n})-(a+b){\big |}<\varepsilon ,$

czyli $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }(a_{n}+b_{n})=a+b.$
Analogicznie pokazuje się, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }(a_{n}-b_{n})=a-b.$
(Ad (3)-(4), (6)-(7)) Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 4.5. i ćwiczenie 4.6.).
(Ad (2)) Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).
(Ad (5)) Pozostawiamy to bez dowodu.

Przykład 4.10.

Obliczyć granice ciągów:
(1) $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }(-1)^{n}{\frac {2n+1}{3n^{2}}}$;
(2) $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\bigg (}2+{\frac {1}{n}}{\bigg )}^{\frac {1}{2^{n}}}.$

Rozwiązanie

(Ad (1)) Niech $\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}{\frac {2n+1}{3n^{2}}}.$ Policzmy najpierw granice modułów:

${\begin{aligned}\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }|a_{n}|&=&\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {2n+1}{3n^{2}}}=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\bigg (}{\frac {2n}{3n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{2}}}{\bigg )}=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\bigg (}{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{n}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}{\bigg )}\\&=&{\frac {2}{3}}\cdot \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{3}}\cdot \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\cdot \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}={\frac {2}{3}}\cdot 0+{\frac {1}{3}}\cdot 0\cdot 0=0.\end{aligned}}$

W powyższych rachunkach korzystaliśmy z arytmetyki granic (patrz twierdzenie 4.9.(1)--(3)) oraz ze znajomości granicy $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}$ (patrz przykład 3.21.). Ponieważ otrzymaliśmy $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }|a_{n}|=0,$ więc korzystając z twierdzenie 4.9. (7) wnioskujemy, że także $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0.$

(Ad (2)) Ponieważ

$\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\bigg (}2+{\frac {1}{n}}{\bigg )}=2$

oraz

$\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=0$

(patrz przykład 3.22.), zatem korzystając z twierdzenia 4.9. (5), dostajemy

$\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\bigg (}2+{\frac {1}{n}}{\bigg )}^{\frac {1}{2^{n}}}=2^{0}=1.$

Plik:AM1.M04.W.R09.svg

Ilustracja do twierdzenia o trzech ciągach

Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu $\displaystyle \{b_{n}\}$ leżą pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów $\displaystyle \{a_{n}\}$ i $\displaystyle \{b_{n}\}$ (przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę $g$ (właściwą lub niewłaściwą), to ciąg $\displaystyle \{b_{n}\}$ ma tę samą granicę $g.$

Twierdzenie 4.11. [O trzech ciągach]

Jeśli $\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ są ciągami takimi, że

$\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }c_{n}=g\in {\overline {\mathbb {R} }}\quad {\text{oraz}}\quad$
$\exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n},$

to

$\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=g.$

Dowód 4.11.

Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy $g\in \mathbb {R}$. Załóżmy, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }c_{n}=g$ oraz $\exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}.$

Należy pokazać, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=g.$ W tym celu ustalmy dowolne $\displaystyle \varepsilon >0.$ Z definicji granicy ciągu mamy

${\begin{aligned}&&\exists N_{1}\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:|a_{n}-g|<\varepsilon ,\quad {\text{czyli}}\quad g-\varepsilon <a_{n}<g+\varepsilon ,&&\exists N_{2}\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:|c_{n}-g|<\varepsilon ,\quad {\text{czyli}}\quad g-\varepsilon <c_{n}<g+\varepsilon .\end{aligned}}$

Niech $N_{3}=\max\{N,N_{1},N_{2}\}.$ Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że

$\forall n\geq N_{3}:g-\varepsilon <a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}<g+\varepsilon ,$

zatem

$\forall n\geq N_{3}:|b_{n}-g|<\varepsilon ,$

co dowodzi, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=g.$

Przykład 4.12.

Obliczyć granicę ciągu $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }[2+(-1)^{n}]{\frac {3n^{2}+2n}{4n^{4}+3n+1}}.$

Niech $\displaystyle x_{n}=[2+(-1)^{n}]{\frac {3n^{2}+2n}{4n^{4}+3n+1}}.$

Zauważmy, że $x_{n}=y_{n}b_{n},$ gdzie $y_{n}=2+(-1)^{n}$ oraz $\displaystyle b_{n}={\frac {3n^{2}+2n}{4n^{4}+3n+1}}.$ W celu obliczenia $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}$ zauważmy, że

$\displaystyle {\frac {3n^{2}}{4n^{4}+3n^{4}+n^{4}}}\leq \displaystyle {\frac {3n^{2}+2n}{4n^{4}+3n+1}}\leq \displaystyle {\frac {3n^{2}+2n^{2}}{4n^{4}}}$ $\displaystyle {\frac {3n^{2}}{8n^{4}}}\leq \displaystyle {\frac {3n^{2}+2n}{4n^{4}+3n+1}}\leq \displaystyle {\frac {5n^{2}}{4n^{4}}}$ $\displaystyle {\frac {3}{8}}{\frac {1}{n^{2}}}\leq \displaystyle {\frac {3n^{2}+2n}{4n^{4}+3n+1}}\leq \displaystyle {\frac {5}{4}}{\frac {1}{n^{2}}}$

granica ciągu $\displaystyle {\frac {3}{8}}{\frac {1}{n^{2}}}$ oraz $\displaystyle {\frac {5}{4}}{\frac {1}{n^{2}}}$ wynosi zero. Zbieżności te wynikają z twierdzenia o granicy iloczynu ciągu (patrz twierdzenie 4.9. (3)), to znaczy

$\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {3}{8}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {3}{8}}\cdot \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\cdot \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}={\frac {3}{8}}\cdot 0\cdot 0=0$

i podobnie $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {5}{4}}{\frac {1}{n^{2}}}=0.$

Teraz, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz twierdzenie 4.11) dostajemy, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=0.$

Odnośnie ciągu $\displaystyle \{y_{n}\}$ zauważmy, że

$\forall n\in \mathbb {N} :1\leq y_{n}\leq 3,$

a zatem ciąg $\displaystyle \{y_{n}\}$ jest ograniczony.

W końcu, korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz twierdzenie 4.7.) dostajemy, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0.$

Kolejne twierdzenie mówi, w jaki sposób nierówności między wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych ciągów i na odwrót. Mianowicie, jeśli $\{a_{n}\}$ i $\{b_{n}\}$ są dwoma ciągami mającymi granice (właściwe lub niewłaściwe) oraz wyrazy ciągu $\{b_{n}\}$ są większe lub równe od wyrazów ciągu $\{a_{n}\}$, to nierówność ta zachodzi także dla granic ciągów. Na odwrót, jeśli granica ciągu $\{b_{n}\}$ jest silnie większa od granicy ciągu $\{a_{n}\}$, to nierówność ta zachodzi także dla wyrazów ciągów $\{a_{n}\}$ i $\{b_{n}\}$, przynajmniej od pewnego miejsca.

Twierdzenie 4.13. [O dwóch ciągach]

Jeśli $\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ są ciągami takimi, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=a\in {\overline {\mathbb {R} }}$ oraz $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=b\in {\overline {\mathbb {R} }},$ to prawdziwe są implikacje:

(1) $\displaystyle {\bigg [}a=+\infty \ \wedge \ \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leq b_{n}{\bigg ]}\ \Longrightarrow {\bigg [}b=+\infty {\bigg ]}$;

(2) $\displaystyle {\bigg [}b=-\infty \ \wedge \ \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leq b_{n}{\bigg ]}\ \Longrightarrow {\bigg [}a=-\infty {\bigg ]}$;

(3) $\displaystyle {\bigg [}\forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leq b_{n}{\bigg ]}\ \Longrightarrow {\bigg [}a\leq b{\bigg ]}$;

(4) $\displaystyle {\bigg [}a<b{\bigg ]}\ \Longrightarrow {\bigg [}\exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:a_{n}<b_{n}{\bigg ]}.$

Dowód 4.13. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Zakładamy, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=+\infty$ oraz $\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leq b_{n}.$
Ustalmy dowolne $M>0.$ Ponieważ $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=+\infty ,$ więc

$\exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:a_{n}\geq M.$

Zatem dla dowolnego $n\geq N$ mamy

$b_{n}\geq a_{n}\geq M.$

Ponieważ $M>0$ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

$\forall M>0\exists N\in \mathbb {N} \forall n\geq N:b_{n}\geq M,$

a to oznacza, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=+\infty .$
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu (1).
(Ad (3)) Niech $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=a\in {\overline {\mathbb {R} }},\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=b\in {\overline {\mathbb {R} }}$ oraz $\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leq b_{n}.$
"Przypadek $1^{o}.$" Niech $a,b\in \mathbb {R} .$

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $a>b.$ Ustalmy $\displaystyle \varepsilon ={\frac {a-b}{2}}>0.$ Z definicji granicy ciągu mamy

${\begin{aligned}&&\displaystyle \exists N_{1}\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N_{1}:\ |a_{n}-a|<{\frac {a-b}{2}},\\&&\displaystyle \exists N_{2}\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N_{2}:\ |b_{n}-b|<{\frac {a-b}{2}},\end{aligned}}$

i w szczególności

${\begin{aligned}&&\displaystyle \exists N_{1}\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N_{1}:\ a_{n}>{\frac {a+b}{2}},\\&&\displaystyle \exists N_{2}\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N_{2}:\ b_{n}<{\frac {a+b}{2}},\end{aligned}}$

Niech $k=\max\{N_{1},N_{2}\}.$ Wówczas dla wyrazów $a_{k}$ i $b_{k}$ mamy

$a_{k}>{\frac {a+b}{2}}>b_{k},$

co jest sprzeczne z założeniem. Zatem pokazaliśmy, że $a\leq b.$

"Przypadek $2^{o}.$" $a=+\infty$ lub $b=-\infty .$ Wówczas teza wynika z (1) lub (2).

"Przypadek $3^{o}.$" $a=-\infty$ lub $b=+\infty .$ Wówczas zawsze zachodzi nierówność $a\leq b.$

(Ad (4)) "Przypadek $1^{o}.$" Niech $a,b\in \mathbb {R} .$ Ustalmy $\displaystyle \varepsilon ={\frac {b-a}{2}}.$ Ponieważ $b>a$, więc $\varepsilon >0$. Z definicji granicy ciągu mamy

${\begin{aligned}&&\displaystyle \exists N_{1}\in \mathbb {N} \forall n\geq N_{1}:\ |a_{n}-a|<{\frac {b-a}{2}},\\&&\displaystyle \exists N_{2}\in \mathbb {N} \forall n\geq N_{2}:\ |b_{n}-b|<{\frac {b-a}{2}}.\end{aligned}}$

Niech $N=\max\{N_{1},N_{2}\}.$ W szczególności mamy

$\forall n\geq N:a_{n}<{\frac {a+b}{2}}<b_{n},$

co należało pokazać.

"Przypadek $2^{o}.$" $a=-\infty .$ Niech $\displaystyle \varepsilon =1$ i $M=b-1.$ Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej mamy

${\begin{aligned}&&\displaystyle \exists N_{1}\in \mathbb {N} \forall n\geq N_{1}:a_{n}<b-1,\\&&\displaystyle \exists N_{2}\in \mathbb {N} \forall n\geq N_{2}:|b_{n}-b|<1.\end{aligned}}$

Niech $N=\max\{N_{1},N_{2}\}.$ W szczególności mamy

$\forall n\geq N:a_{n}<b-1<b_{n},$

co należało pokazać.

"Przypadek $3^{o}.$" $b=+\infty .$ Dowód jest analogiczny jak w przypadku $2^{o}.$

Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego (ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu (patrz rysunek w twierdzeniu 4.15).

Twierdzenie 4.14.

Jeśli $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest ciągiem, to
(1) jeśli $\displaystyle \{a_{n}\}$ jest rosnący, to $\displaystyle \{a_{n}\}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

$\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\sup {\big \{}a_{n}:\ n\in \mathbb {N} {\big \}};$

(2) jeśli $\displaystyle \{a_{n}\}$ jest malejący, to $\displaystyle \{a_{n}\}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

$\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\inf {\big \{}a_{n}:\ n\in \mathbb {N} {\big \}}.$

Dowód 4.14. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Załóżmy, że $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest ciągiem rosnącym oraz niech

$g\ {\stackrel {df}{=}}\ \sup {\big \{}a_{n}:\ n\in \mathbb {N} {\big \}}$

(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem $\displaystyle \mathbb {R}$ lub wynosi $+\infty ,$ gdyż zbiór jest niepusty). Pokażemy, że $g$ jest granicą ciągu $\displaystyle \{a_{n}\}.$
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek $1^{o}.$ Niech $g\in \mathbb {R} .$ Ustalmy dowolne $\displaystyle \varepsilon >0.$ Z własności supremum mamy, że

$\exists N\in \mathbb {N} :g-\varepsilon <a_{N}$

(de facto z własności supremum wynika, że takich indeksów $N$ istnieje nieskończenie wiele, ale nam wystarczy wybór jednego z nich). Ponieważ ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}$ jest rosnący oraz $\displaystyle \forall n\in N:a_{n}\leq g$ (z definicji supremum), więc

$\forall n\geq N:g-\varepsilon <a_{N}\leq a_{n}\leq g.$

Ponieważ $\displaystyle \varepsilon >0$ był dowolnie wybrany, więc pokazaliśmy, że

$\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:|a_{n}-g|<\varepsilon .$

zatem pokazaliśmy, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=g.$
Przypadek $2^{o}.$ Niech $g=+\infty .$ Ustalmy $M\in \mathbb {R} .$ Z definicji supremum mamy, że

$\exists N\in \mathbb {N} :M<a_{N}$

(bo w przeciwnym razie byłoby $g\leq M$, sprzeczność).

Ponieważ ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}$ jest rosnący, więc

$\forall n\geq N:M<a_{N}\leq a_{n}.$

Ponieważ $M\in \mathbb {R}$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

$\forall M\in \mathbb {R} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:M<a_{n}.$

Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=g.$
(Ad (2)) Dowód jest analogiczny jak dla (1).

Plik:AM1.M04.W.R10.mp4

Ciąg rosnący i ograniczony z góry

Twierdzenie 4.15. [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]

(1) Jeśli $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.

(2) Jeśli $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.

Dowód 4.15.

(Ad (1)) Jeśli ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}$ jest rosnący, to z twierdzenia 4.14 (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

$\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\sup {\big \{}a_{n}:\ n\in \mathbb {N} {\big \}}.$

Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc

$\sup {\big \{}a_{n}:\ n\in \mathbb {N} {\big \}}<+\infty ,$

zatem granica jest właściwa, czyli ciąg jest zbieżny.
(Ad (2)) Dowód analogiczny jak w (1).
(Ad (3)) Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2) (to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony). W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.
Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez założenia monotoniczności). Wynika to z twierdzenia 3.25.

Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię

Twierdzenie 4.16. [Bolzano-Weierstrassa]

Każdy ciąg ograniczony $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ zawiera podciąg zbieżny.

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat:

Lemat 4.17.

Każdy ciąg liczbowy $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ zawiera podciąg monotoniczny.

Dowód 4.17.

[Szkic] Dla ciągu $\displaystyle \{a_{n}\}$ zdefiniujmy następujący zbiór:

$Z\ {\stackrel {df}{=}}{\bigg \{}n\in \mathbb {N} :\forall m\in \mathbb {N} \ {\big [}m>n\Longrightarrow a_{m}>a_{n}{\big ]}{\bigg \}}.$

Możliwe są dwa przypadki.
Jeśli $\displaystyle \#Z=\infty$ (to znaczy zbiór $Z$ jest nieskończony), to możemy z ciągu $\displaystyle \{a_{n}\}$ wybrać podciąg rosnący (wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu $\displaystyle \{a_{n}\},$ których indeksy należą do zbioru $Z$).
Jeśli $\displaystyle \#Z<\infty$ (to znaczy zbiór $Z$ jest skończony), to możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób. Niech $n_{1}\in \mathbb {N}$ będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze zbioru $Z.$ Ponieważ $n_{1}\not \in Z,$ więc

$\exists n_{2}>n_{1}:a_{n_{2}}\leq a_{n_{1}}.$

Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy $n_{1}<\ldots <n_{k},$ to z definicji zbioru $Z$ i faktu, że $n_{k}\not \in Z$ wynika, że

$\exists n_{k+1}>n_{k}:a_{n_{k+1}}\leq a_{n_{k}}.$

Skonstruowany w ten sposób podciąg $\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }$ jest malejący.

Plik:AM1.M04.W.R11.mp4

Podciąg monotoniczny ciągu

Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa:

Dowód 4.16.

Niech $\displaystyle \{a_{n}\}\in \mathbb {R}$ będzie ciągiem ograniczonym. Z lematu 4.17. wynika, że możemy z niego wybrać podciąg monotoniczny $\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }.$ Oczywiście podciąg $\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }$ jest także ograniczony, zatem z twierdzenia 4.15. (3) wynika, że podciąg $\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny.

Wniosek 4.18.

Z każdego ciągu liczbowego $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą).

Dowód 4.18.

Z lematu 4.17. wiemy, że z ciągu $\displaystyle \{a_{n}\}$ można wybrać podciąg monotoniczny. Jeśli jest on ograniczony, to z twierdzenia 4.15. wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą). Jeśli zaś jest nieograniczony, to skoro jest monotoniczny, to granicą jest $+\infty$ lub $-\infty$.