Analiza matematyczna 1/Wykład 15: Krzywe i bryły obrotowe

Krzywe i bryły obrotowe

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcie krzywej i krzywej zwyczajnej. Definiujemy długość krzywej i krzywą prostowalną. Dowodzimy, że krzywa zwyczajna klasy $\displaystyle C^{1}$ jest prostowalna. Wyprowadzamy wzór na długość krzywej i liczymy długości cykloidy i asteroidy. W drugiej części wykładu podajemy wzory na pola powierzchni i objętości brył obrotowych.

Długość krzywej

Definicja 15.1.

Niech $\displaystyle -\infty <a<b<+\infty .$ Krzywą nazywamy zbiór punktów

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\}, }

gdzie $\displaystyle \displaystyle \varphi ,\psi \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ są dwiema funkcjami ciągłymi. Piszemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right. \qquad t\in[a,b]. }

Powyższe równanie nazywamy też równaniem parametrycznym krzywej.

<flash>file=AM1.M15.W.R01.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Krzywa

<flash>file=Am1.M15.W.R02.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Parametryczny opis okręgu

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R03.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Krzywa z punktem wielokrotnym (potrójnym)

Przykład 15.2.

Zapiszmy parametryczne równanie okręgu o promieniu $\displaystyle R>0$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}.$ Jeśli jako parametr $\displaystyle t$ przyjmiemy kąt jaki tworzy promień poprowadzony do punktu $\displaystyle \displaystyle (x,y)$ na okręgu, to widzimy (patrz rysunek), że $\displaystyle x=\cos t$ i $\displaystyle y=\sin t.$ Zatem następująca krzywa:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=R\cos t\\ y=R\sin t \end{array} \right. \qquad t\in[0,2\pi] } opisuje okrąg.

Definicja 15.3.

Mówimy, że punkt $\displaystyle \displaystyle (x,y)\in K$ jest punktem wielokrotnym krzywej $\displaystyle K,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists t_1,t_2\in(a,b):\ t_1\ne t_2\quad\land\quad (x,y)=\big(\varphi(t_1),\psi(t_1)\big)=\big(\varphi(t_2),\psi(t_2)\big). }

Krzywą $\displaystyle K$ nazywamy zwyczajną, jeśli nie zawiera punktów wielokrotnych, to znaczy

${\begin{array}{ll}\displaystyle &{\bigg [}{\big (}\varphi (t_{1}),\psi (t_{1}){\big )}={\big (}\varphi (t_{2}),\psi (t_{2}){\big )},\ t_{1}\leq t_{2}{\bigg ]}\\\\\Longrightarrow &{\bigg [}{\big (}t_{1}=t_{2}{\big )}\quad \lor \quad {\big (}t_{1}=a\ \land \ t_{2}=b{\big )}{\bigg ]}.\end{array}}$

<flash>file=AM1.M15.W.R04.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>Krzywe zwyczajne

Definicja 15.4.

Niech

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \ =\ t_0 \ <\ t_1 \ <\ \ldots \ <\ t_n \ =\ b }

będzie podziałem przedziału $\displaystyle \displaystyle [a,b].$ Łamaną $\displaystyle p$ łączącą punkty:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big(\varphi(t_0),\psi(t_0)\big), \ \ldots,\ \big(\varphi(t_n),\psi(t_n)\big) }

nazywamy łamaną wpisaną w krzywą $\displaystyle K$. Przez $\displaystyle l(p)$ oznaczamy długość łamanej $\displaystyle p$ (to znaczy sumę długości odcinków

wchodzących w skład łamanej).

Definicja 15.5.

Długością krzywej $\displaystyle K$ nazywamy liczbę:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \sup_p l(p), }

gdzie supremum jest brane po wszystkich łamanych wpisanych w $\displaystyle K.$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R05.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Łamana wpisana w krzywą

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R06.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Łamana wpisana w krzywą

Definicja 15.6.

Jeśli $\displaystyle l(K)<+\infty$, to mówimy, że krzywa $\displaystyle K$ jest prostowalna.

Twierdzenie 15.7.

Niech $\displaystyle \displaystyle \varphi ,\psi \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ będą klasy $\displaystyle C^{1}$ oraz niech $\displaystyle K=K(\varphi ,\psi )$ będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas krzywa $\displaystyle K$ jest prostowalna.

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R07.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Łamana wpisana w krzywą

Dowód 15.7. [nadobowiązkowy]

Niech $\displaystyle p$ będzie dowolną łamaną wpisaną w krzywą $\displaystyle K,$ to znaczy istnieje podział

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \ =\ t_0 \ <\ t_1 \ <\ \ldots \ <\ t_n \ =\ b }

taki, że $\displaystyle p$ jest łamaną o wierzchołkach $\displaystyle \displaystyle (x_{i},y_{i})$ dla $\displaystyle i=0,\ldots ,n,$ gdzie

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x_{i}\ =\ \varphi (t_{i})\\y_{i}\ =\ \psi (t_{i})\end{array}}\right.\qquad i\in \left\{0,\ldots ,n\right\}.$

Długość łamanej $\displaystyle p$ wyraża się wzorem:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\big(x_i-x_{i-1}\big)^2+\big(y_i-y_{i-1}\big)^2}. }

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle \varphi ,\psi \in C^{1}{\big (}[a,b];\mathbb {R} {\big )},$ więc z twierdzenia o wartości średniej (patrz twierdzenie 9.37.) mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_i-x_{i-1} \ =\ \varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}) \ =\ \varphi'(\tau_i)\left(t_i-t_{i-1}\right),}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle y_i-y_{i-1} \ =\ \psi(t_i)-\psi(t_{i-1}) \ =\ \psi'(\tau^*_i)\left(t_i-t_{i-1}\right),}

gdzie

$\tau _{i}\in \left(t_{i-1},t_{i}\right),\quad i=1,\ldots n,\quad \tau _{i}^{*}\in \left(t_{i-1},t_{i}\right),\quad i=1,\ldots n.$

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\varphi'(\tau_i)^2+\psi'(\tau^*_i)^2}\cdot\left(t_i-t_{i-1}\right). }

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle \varphi ',\psi '\in C{\big (}[a,b];\mathbb {R} {\big )}$ i przedział $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ jest zwarty, więc funkcje $\displaystyle \displaystyle \varphi ',\psi '$ są ograniczone.
Definiujemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad M^* \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\psi'(t), }

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad m^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\psi'(t). }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(p) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a). }

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla dowolnej łamanej $\displaystyle p$ wpisanej w krzywą $\displaystyle K,$ więc przechodząc do supremum po wszystkich takich łamanych, dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(K) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a), }

a zatem krzywa $\displaystyle K$ jest prostowalna.

Uwaga 15.8.

W powyższym twierdzeniu (jak i twierdzeniach następnych) zakładamy, że krzywa jest klasy $\displaystyle C^{1}.$ (to znaczy $\displaystyle \varphi ,\psi$, są klasy $C^{1}$) W zastosowaniach okaże się jednak, że często będziemy mieli do czynienia z krzywymi, które są tylko ciągłe, zwyczajne oraz "kawałkami" klasy $\displaystyle C^{1},$ to znaczy krzywą można otrzymać jako "sklejenie" kilku krzywych klasy $\displaystyle C^{1}$ (przy sklejaniu początek następnej krzywej jest końcem poprzedniej). Wszystkie wypowiadane tu twierdzenia dla krzywych klasy $\displaystyle C^{1}$ stosują się także do krzywych kawałkami klasy $\displaystyle C^{1}.$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R08.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Krzywa $K(t)$

Definicja 15.9.

Niech $\displaystyle K=K(\varphi ,\psi )$ będzie krzywą. Zdefiniujmy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ \bigg\{\big(\varphi(\tau),\psi(\tau)\big):\ \tau\in[a,t]\bigg\}, }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle s(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ l\big(K(t)\big)\quad } (długośćkrzywejK(t)) $\displaystyle .$

W szczególności $\displaystyle s(b)=l(K).$

Twierdzenie 15.10.

Niech $\displaystyle \displaystyle \varphi ,\psi \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ będą klasy $\displaystyle C^{1}$ oraz niech $\displaystyle K=K(\varphi ,\psi )$ będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle s'(t) \ =\ \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2} \qquad\forall\ t\in[a,b]. }

Dowód 15.10. [nadobowiązkowy]

Niech $\displaystyle t_{0},t_{0}+h\in [a,b].$ Analogicznie do ostatniego oszacowania w dowodzie twierdzenia 15.7. dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2}\cdot h \ \le\ s(t_0+h)-s(t_0) \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}\cdot h, }

gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M_h \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad M_h^* \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t), }

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m_h \ =\ \inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad m_h^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t). }

Dzielimy wszystkie strony powyższego oszacowania przez $\displaystyle h,$ dostając:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2} \ \le\ \frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}. }

Ponieważ funkcje $\displaystyle \displaystyle \varphi '$ i $\displaystyle \displaystyle \psi '$ są ciągłe, więc dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned M_h & \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \varphi'(t_0),\\ m_h & \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \varphi'(t_0),\\ M_h^* & \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \psi'(t_0),\\ m_h^* & \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \psi'(t_0). \endaligned}

Z powyższych oszacowań oraz z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle s'(t_0) \ =\ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ =\ \sqrt{\varphi'(t_0)^2+\psi'(t_0)^2}. }

Twierdzenie 15.11. [O długości krzywej]

Niech $\displaystyle \displaystyle \varphi ,\psi \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ będą klasy $\displaystyle C^{1}$ oraz niech $\displaystyle K=K(\varphi ,\psi )$ będzie krzywą zwyczajną. Wówczas długość krzywej wyraża się wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau. }

W szczególności, jeśli krzywa zadana jest wykresem funkcji $\displaystyle y=f(x),$ dla $\displaystyle x\in [a,b],$ to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}\,dt. }

Dowód 15.11.

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ s(b) \ =\ s(b)-\underbrace{s(a)}\limits_{=0} \ =\ \int\limits_a^b s'(\tau)\,d\tau \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau. }

W drugim przypadku krzywą zadaną przez funkcję $\displaystyle f$ możemy zapisać w postaci parametrycznej

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x(t)=t\\y(t)=f(t)\end{array}}\right.,\qquad t\in [a,b]$

i od razu otrzymujemy drugi ze wzorów.

Przykład 15.12.

Wyprowadzić wzór na długość krzywej zadanej w postaci biegunowej:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r \ =\ g(\vartheta) \qquad \vartheta\in[\alpha,\beta]. }

Przedstawmy tę krzywą w postaci parametrycznej:

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x\ =\ r\cos \vartheta \ =\ g(\vartheta )\cos \vartheta \\y\ =\ r\sin \vartheta \ =\ g(\vartheta )\sin \vartheta .\end{array}}\right.$

Liczymy

${\begin{array}{lll}\displaystyle \quad x'(\vartheta )^{2}+y'(\vartheta )^{2}&=&{\big [}g'(\vartheta )\cos \vartheta -g(\vartheta )\sin(\vartheta ){\big ]}^{2}+{\big [}g'(\vartheta )\sin \vartheta +g(\vartheta )\cos(\vartheta ){\big ]}^{2}\\\\&=&g'(\vartheta )^{2}\cos ^{2}\vartheta -2g(\vartheta )g'(\vartheta )\sin \vartheta \cos \vartheta +g(\vartheta )^{2}\sin ^{2}\vartheta \\\\&+&g'(\vartheta )^{2}\sin ^{2}\vartheta +2g(\vartheta )g'(\vartheta )\sin \vartheta \cos \vartheta +g(\vartheta )^{2}\cos ^{2}\vartheta \\\\&=&g'(\vartheta )^{2}+g(\vartheta )^{2},\end{array}}$

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{g(\vartheta)^2+g'(\vartheta)^2}\,d\vartheta. }

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R09.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Krzywa we współrzędnych biegunowych

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R10.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Cykloida

Definicja 15.13.

Cykloidą nazywamy krzywą kreśloną

przez ustalony punkt $\displaystyle 0$ na okręgu toczącym się po prostej $\displaystyle l.$

<flash>file=AM1.M15.W.R11.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>Cykloida

Przykład 15.14.

Wyprowadzić wzór parametryczny cykloidy.

Oznaczenia:
$\displaystyle a$ - promień okręgu;
$\displaystyle O$ - początkowy punkt styczności okręgu i prostej $\displaystyle l$;
$\displaystyle N$ - nowy punkt styczności;
$\displaystyle M$ - nowe położenie punktu $\displaystyle O$;
$\displaystyle \displaystyle t=\sphericalangle NDM$ - parametr określający położenie punktu $\displaystyle M.$

Liczymy współrzędne punktu $\displaystyle M(x,y)$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x \ = \ OF \ =\ ON-FN \ =\ \widehat{NM}-MG \ =\ at-a\sin t, }

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle y \ = \ FM \ =\ NG \ =\ ND-GD \ =\ a-a\cos t. }

Zatem

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\y=a(1-\cos t)\end{array}}\right.\qquad t\in [0,2\pi ]\quad ($ lub $\displaystyle \ t\in \mathbb {R} ).$

Przykład 15.15.

Obliczyć długość łuku cykloidy:

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\y=a(1-\cos t)\end{array}}\right.\qquad t\in [0,2\pi ].$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} &=& \sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2 t} \ =\ \sqrt{a^2-2a^2\cos t+a^2\cos^2 t+a^2\sin^2 t}\\ & =&\displaystyle \sqrt{2a^2(1-\cos t)} \ =\ \sqrt{4a^2\sin^2\frac{t}{2}} \ =\ 2a\bigg|\sin\frac{t}{2}\bigg|.\end{array} }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{array}{lll}l(K) &=&\displaystyle\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt \ =\ 2a\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\bigg|\sin\frac{t}{2}\,\bigg|dt\\ &=& 2a\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sin\frac{t}{2}\,dt \ =\ -4a\cos\frac{t}{2}\bigg|_0^{2\pi} \ =\8a. \end{array} }

Przykład 15.16.

Obliczyć długość łuku asteroidy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} \ =\ a^{\frac{2}{3}}. }

Równanie parametryczne asteroidy, to:

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=a\cos ^{3}t\\y=a\sin ^{3}t\end{array}}\right.\qquad t\in [0,2\pi ].$

Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \ =\ 3a\sin t\cos t \qquad\forall\ t\in[0,2\pi]. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ 4\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}3a\sin t\cos t\,dt \ =\ 6a. }

<flash>file=AM1.M15.W.R12.swf|width=272|height=272</flash> <div.thumbcaption>Asteroida

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R13.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Asteroida

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R14.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Asteroida

Całka krzywoliniowa

Niech $\displaystyle K$ będzie krzywą klasy $\displaystyle C^{1}$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\}, }

Przypuśćmy, że określona jest funkcja ciągła $\displaystyle f\colon K\ni M\longmapsto f(M)\in \mathbb {R} ,$ to znaczy funkcja, która każdemu punktowi $\displaystyle M$ krzywej $\displaystyle K$ przyporządkowuje pewną wartość rzeczywistą $\displaystyle f(M).$ Okazuje się, że dla takich funkcji możemy także zdefiniować całkę oznaczoną, to znaczy całkę z funkcji $\displaystyle f$ po krzywej $\displaystyle K.$

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
Zobacz biografię

Całkę tę wprowadza się analogicznie jak całkę Riemanna na odcinku. Pominiemy to jednak w tym miejscu, podając jedynie wzór końcowy na obliczanie takiej całki:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_K f(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b f\big(\varphi(t),\psi(t)\big)\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt. }

Tę całkę stosuje się w fizyce na przykład do obliczania masy i środka ciężkości krzywej (pręta, którego wszystkie wymiary poza długością są pomijalne).

Jeśli mamy daną krzywą (pręt) $\displaystyle K$ zadaną jak wyżej, o gęstości w każdym jej punkcie $\displaystyle M(x,y)$ danej funkcją ciągłą $\displaystyle \displaystyle \varrho (M),$ to masa tego pręta wyraża się wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds. }

Współrzędne środka ciężkości pręta $\displaystyle \displaystyle (x_{0},y_{0})$ możemy policzyć ze wzorów

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds,\\ x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K y\cdot \varrho(x,y)\,ds. \endaligned}

Przykład 15.17.

Obliczyć masę pręta półkolistego $\displaystyle K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\ x^{2}+y^{2}=R^{2},\ y\geq 0\}$ o gęstości $\displaystyle \displaystyle \varrho (x,y)=y^{2}.$

Masa krzywej o gęstości $\displaystyle \displaystyle \varrho$ dana jest wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_K y^2\,ds. }

Stosując wzór na całkę krzywoliniową oraz korzystając z parametryzacji półokręgu:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=R\cos t\\ y=\psi(t)=R\sin t \end{array} \right. \qquad t\in[0,\pi], }

mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle m &=& \displaystyle\int\limits_0^{\pi}R^2\sin^2 t\sqrt{(-R\sin t)^2+(R\cos t)^2}\,dt \ =\ R^3\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\sin^2 t\,dt\\ &=& R^3\bigg[\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin 2t\bigg]_0^{\pi} \ =\ \frac{R^3\pi}{2}.\end{array} }

Odpowiedź:

Masa pręta wynosi $\displaystyle \displaystyle {\frac {R^{3}\pi }{2}}$

.

Przykład 15.18.

Obliczyć masę i współrzędne środka ciężkości odcinka $\displaystyle K$ łączącego punkt $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ z punktem $\displaystyle \displaystyle (1,1)$ o gęstości wprost proporcjonalnej do odległości punktu od środka układu i równej $\displaystyle \displaystyle {\sqrt {2}}$ w punkcie $\displaystyle \displaystyle (1,1).$

Skoro gęstość $\displaystyle \displaystyle \varrho$ jest proporcjonalna do odległości punktu od środka układu i wynosi $\displaystyle \displaystyle {\sqrt {2}}$ w punkcie $\displaystyle \displaystyle (1,1),$ to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \varrho(x,t) \ =\ c\sqrt{x^2+y^2} \quad } oraz $\displaystyle \quad \varrho (1,1)=c{\sqrt {2}}={\sqrt {2}},$

stąd $\displaystyle c=1.$ Parametryzacją odcinka jest na przykład

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=t\\ y=\psi(t)=t \end{array} \right. \qquad t\in[0,1], }

zatem masa wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K\sqrt{x^2+y^2}\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{t^2+t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1t\,dt \ =\ t^2\bigg|_0^1 \ =\ 1. }

Pierwszą współrzędną środka ciężkości liczymy ze wzoru

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_0 \ =\ \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1 t\cdot\sqrt{2t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1 t^2\,dt \ =\ \frac{2}{3}t^3\bigg|_0^1 \ =\ \frac{2}{3}. }

Z symetrii zadania wynika, że $\displaystyle y_{0}={\frac {2}{3}}.$

Pole powierzchni i objętość bryły obrotowej

W dalszej części wykładu będziemy zakładać, że krzywe są klasy $\displaystyle C^{1}.$ Podamy liczne wzory na obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych, w większości pozostawiając je bez dowodów (podając natomiast pewne ich uzasadnienia).

<flash>file=AM1.M15.W.R15.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>Pole między wykresami funkcji

Z poprzedniego wykładu znamy już związek całki Riemanna z polem obszaru ograniczonego wykresami funkcji. Dla porządku przypomnijmy ten związek.

Uwaga 15.19.

Jeśli trapez krzywoliniowy jest ograniczony z góry i z dołu krzywymi:

$\displaystyle y=f_{1}(x)\quad$ i $\displaystyle \quad y=f_{2}(x)\quad x\in [a,b],$

to pole tego trapezu wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\big[f_1(x)-f_2(x)\big]\,dx }

Uzasadnienie: Wzór ten wynika bezpośrednio z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej.

Twierdzenie 15.20.

Pole obszaru pod wykresem krzywej zadanej w postaci parametrycznej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right., \qquad } dla $\displaystyle \ t\in [\alpha ,\beta ],$

wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\varphi'(t)\,dt. }

Uzasadnienie: Wzór ten jest konsekwencją wzoru z uwagi 15.19. i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R16.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Pole obszaru ograniczonego półprostymi i krzywą zadaną we współrzędnych biegunowych

<flash>file=AM1.M15.W.R17.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>Trójkąt krzywoliniowy

Twierdzenie 15.21.

Jeśli obszar jest ograniczony odcinkami $\displaystyle OA$ i $\displaystyle OB$ (gdzie $\displaystyle O=(0,0)$) oraz krzywą $\displaystyle AB$ daną w postaci biegunowej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r \ =\ g(\vartheta), \quad \vartheta\in[\vartheta_1,\vartheta_2], }

to pole tego obszaru wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{\vartheta_1}^{\vartheta_2}\big[g(\vartheta)\big]^2\,d\vartheta. }

Uzasadnienie: Obszar dzielimy na trójkąty krzywoliniowe jak na rysunku

Oznaczając przez $\displaystyle P_{ABC}$ pole trójkąta krzywoliniowego, mamy

$\displaystyle P_{ABC}\approx {\frac {1}{2}}\cdot g(\vartheta )\cdot g(\vartheta )\cdot \sin \Delta \vartheta \approx {\frac {1}{2}}g(\vartheta )^{2}\Delta \vartheta$

(dla małych kątów $\displaystyle \displaystyle \Delta \vartheta$ zachodzi $\displaystyle \displaystyle \Delta \sin \vartheta \approx \Delta \vartheta$). Sumując pola trójkątów (analogicznie jak sumy całkowe w całce Riemanna; patrz definicja 14.4.) i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.

Twierdzenie 15.22.

(1) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

$\displaystyle K:\ y=f(x),\quad$ dla $\displaystyle \ x\in [a,b]$

wokół osi $\displaystyle Ox$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b \big[f(x)\big] \sqrt{1+f'(x)^2}\,dx. }

Wzór ten pozostawiamy bez uzasadnienia.

(2) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right. \quad } dla $\displaystyle \ t\in [\alpha ,\beta ]$

wokół osi $\displaystyle Ox$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \big[\psi(t)\big] \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt. }

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R18.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi $Ox$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R21.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi $Ox$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R19.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi $Ox$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R20.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi $Ox$

Twierdzenie 15.23.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

$\displaystyle K:\ y=f(x),\quad$ dla $\displaystyle \ x\in [a,b]$

wokół osi $\displaystyle Ox$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_a^b f(x)^2\,dx. }

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka $\displaystyle \displaystyle [a,b]$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ <\ x_1 \ <\ \ldots \ <\ x_n \ =\ b }

oraz podzielmy bryłę na "plasterki", to znaczy na bryły powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji $\displaystyle y=f(x)$ dla $\displaystyle x\in [x_{i-1},x_{i}].$ Objętość takiego "plasterka" jest w przybliżeniu równa objętości walca o promieniu podstawy $\displaystyle f(x_{i})$ i wysokości $\displaystyle \displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},$ czyli $\displaystyle \displaystyle \pi f(x_{i})^{2}\Delta x_{i}.$ Sumując objętości "plasterków", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right. \quad } dla $\displaystyle \ t\in [\alpha ,\beta ]$

wokół osi $\displaystyle Ox$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t)^2\varphi'(t)\,dt. }

Uzasadnienie: Wzór powyższy jest konsekwencją poprzedniego wzoru oraz twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R22.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi $Ox$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R23.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi $Ox$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R24.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi $Oy$

Twierdzenie 15.24.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

$\displaystyle K:\ y=f(x)\quad$ dla $\displaystyle x\in [a,b]$

wokół osi $\displaystyle Oy$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b x\,f(x)\,dx. }

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka $\displaystyle \displaystyle [a,b]$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ <\ x_1 \ <\ \ldots \ <\ x_n \ =\ b }

oraz podzielmy bryłę na "cylindry" powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji $\displaystyle y=f(x)$ dla $\displaystyle x\in [x_{i-1},x_{i}]$ wokół osi $\displaystyle Oy.$ Objętość takiego "cylindra" jest w przybliżeniu równa $\displaystyle 2\pi x_{i}f(x_{i})-2\pi x_{i-1}f(x_{i})=2\pi \Delta x_{i}f(x_{i}).$ Sumując objętości "cylindrów", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy wzór na $\displaystyle |V_{y}|.$

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right. \quad } dla $\displaystyle \ t\in [\alpha ,\beta ]$

wokół osi $\displaystyle Oy$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \varphi(t)\psi(t)\varphi'(t)\,dt. }

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R25.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi $Ox$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R26.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi $Ox$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R27.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Torus

Przykład 15.25.

Obliczyć objętość torusa powstałego przez obrót koła

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x^2+(y-a)^2 \ \le\ r^2 \qquad (0<r<a) }

wokół osi $\displaystyle Ox.$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle |V_x| & = & \pi\displaystyle\int\limits_{-r}^r \bigg[\big(a+\sqrt{r^2-x^2}\big)^2 -\big(a-\sqrt{r^2-x^2}\big)^2\bigg]\,dx \ =\ 4\pi a\displaystyle\int\limits_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\,dx\\ & \stackrel{(\bigstar)}{=} & 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r}+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}\bigg]_{-r}^r =\ 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\bigg] \ =\ 4\pi a\frac{r^2\pi}{2} \ =\ 2\pi^2 ar^2, \end{array}}

gdzie wykorzystano następującą całkę:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (\bigstar)\quad I & = & \int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ =\ \int\frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx \ =\ r^2\underbrace{\int\frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_1} -\underbrace{\int\frac{x^2 dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_2}. \endaligned}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I_1 \ =\ \arcsin\frac{x}{|r|}+c. }

Teraz liczymy całkę $\displaystyle I$ inaczej:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle I& = &\int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ \begin{array}{c}\textrm{części}\\=\end{array} x\sqrt{r^2-x^2} -\int x\frac{-2x}{2\sqrt{r^2-x^2}}dx\\ & =& x\sqrt{r^2-x^2} +\underbrace{\int\frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx}_{=I_2}= x\sqrt{r^2-x^2}+I_2. \end{array}}

Porównując to z $\displaystyle \displaystyle (\bigstar ),$ otrzymujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r^2I_1-I_2 \ =\ x\sqrt{r^2-x^2}+I_2, }

stąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 2I_2 \ =\ r^2I_1-x\sqrt{r^2-x^2} \ =\ r^2\arcsin\frac{x}{r} -x\sqrt{r^2-x^2}, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I_2 \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} -\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}. }

Wstawiając do $\displaystyle \displaystyle (\bigstar ),$ otrzymujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned I & = & r^2\arcsin\frac{x}{r} -\frac{1}{2}r^2\arcsin\frac{x}{r} +\frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}+c \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} +\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}+c. \endaligned}