Analiza matematyczna 1/Wykład 15: Krzywe i bryły obrotowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m (→‎Pole powierzchni i objętość bryły obrotowej: literówka, obrót powinien być wokół Oy zamiast Ox)
Linia 823: Linia 823:
  
 
<center>
 
<center>
<math> \displaystyle  \aligned x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds,\\
+
<math> \displaystyle  \begin{align} x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds,\\
 
x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K y\cdot \varrho(x,y)\,ds.
 
x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K y\cdot \varrho(x,y)\,ds.
\endaligned</math>
+
\end{align}</math>
 
</center>
 
</center>
  

Wersja z 22:58, 3 cze 2020

Krzywe i bryły obrotowe

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcie krzywej i krzywej zwyczajnej. Definiujemy długość krzywej i krzywą prostowalną. Dowodzimy, że krzywa zwyczajna klasy jest prostowalna. Wyprowadzamy wzór na długość krzywej i liczymy długości cykloidy i asteroidy. W drugiej części wykładu podajemy wzory na pola powierzchni i objętości brył obrotowych.

Długość krzywej

Definicja 15.1.

Niech Krzywą nazywamy zbiór punktów

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\}, }

gdzie są dwiema funkcjami ciągłymi. Piszemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right. \qquad t\in[a,b]. }

Powyższe równanie nazywamy też równaniem parametrycznym krzywej.

<flash>file=AM1.M15.W.R01.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Krzywa

<flash>file=Am1.M15.W.R02.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Parametryczny opis okręgu

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R03.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Krzywa z punktem wielokrotnym (potrójnym)

Przykład 15.2.

Zapiszmy parametryczne równanie okręgu o promieniu w Jeśli jako parametr przyjmiemy kąt jaki tworzy promień poprowadzony do punktu na okręgu, to widzimy (patrz rysunek), że i Zatem następująca krzywa:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=R\cos t\\ y=R\sin t \end{array} \right. \qquad t\in[0,2\pi] } opisuje okrąg.

Definicja 15.3.

Mówimy, że punkt jest punktem wielokrotnym krzywej jeśli


Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists t_1,t_2\in(a,b):\ t_1\ne t_2\quad\land\quad (x,y)=\big(\varphi(t_1),\psi(t_1)\big)=\big(\varphi(t_2),\psi(t_2)\big). }


Krzywą nazywamy zwyczajną, jeśli nie zawiera punktów wielokrotnych, to znaczy


<flash>file=AM1.M15.W.R04.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>Krzywe zwyczajne

Definicja 15.4.

Niech

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \ =\ t_0 \ <\ t_1 \ <\ \ldots \ <\ t_n \ =\ b }


będzie podziałem przedziału Łamaną łączącą punkty:


Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big(\varphi(t_0),\psi(t_0)\big), \ \ldots,\ \big(\varphi(t_n),\psi(t_n)\big) }


nazywamy łamaną wpisaną w krzywą . Przez oznaczamy długość łamanej (to znaczy sumę długości odcinków

wchodzących w skład łamanej).

Definicja 15.5.

Długością krzywej nazywamy liczbę:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \sup_p l(p), }

gdzie supremum jest brane po wszystkich łamanych wpisanych w


<flashwrap>file=AM1.M15.W.R05.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Łamana wpisana w krzywą

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R06.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Łamana wpisana w krzywą

Definicja 15.6.

Jeśli , to mówimy, że krzywa jest prostowalna.

Twierdzenie 15.7.

Niech będą klasy oraz niech będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas krzywa jest prostowalna.

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R07.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Łamana wpisana w krzywą

Dowód 15.7. [nadobowiązkowy]

Niech będzie dowolną łamaną wpisaną w krzywą to znaczy istnieje podział

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \ =\ t_0 \ <\ t_1 \ <\ \ldots \ <\ t_n \ =\ b }

taki, że jest łamaną o wierzchołkach dla gdzie

Długość łamanej wyraża się wzorem:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\big(x_i-x_{i-1}\big)^2+\big(y_i-y_{i-1}\big)^2}. }

Ponieważ więc z twierdzenia o wartości średniej (patrz twierdzenie 9.37.) mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_i-x_{i-1} \ =\ \varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}) \ =\ \varphi'(\tau_i)\left(t_i-t_{i-1}\right),}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle y_i-y_{i-1} \ =\ \psi(t_i)-\psi(t_{i-1}) \ =\ \psi'(\tau^*_i)\left(t_i-t_{i-1}\right),}

gdzie

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\varphi'(\tau_i)^2+\psi'(\tau^*_i)^2}\cdot\left(t_i-t_{i-1}\right). }

Ponieważ i przedział jest zwarty, więc funkcje są ograniczone.
Definiujemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad M^* \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\psi'(t), }

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad m^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\psi'(t). }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(p) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a). }

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla dowolnej łamanej wpisanej w krzywą więc przechodząc do supremum po wszystkich takich łamanych, dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(K) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a), }

a zatem krzywa jest prostowalna.

End of proof.gif
Uwaga 15.8.

W powyższym twierdzeniu (jak i twierdzeniach następnych) zakładamy, że krzywa jest klasy (to znaczy , są klasy ) W zastosowaniach okaże się jednak, że często będziemy mieli do czynienia z krzywymi, które są tylko ciągłe, zwyczajne oraz "kawałkami" klasy to znaczy krzywą można otrzymać jako "sklejenie" kilku krzywych klasy (przy sklejaniu początek następnej krzywej jest końcem poprzedniej). Wszystkie wypowiadane tu twierdzenia dla krzywych klasy stosują się także do krzywych kawałkami klasy

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R08.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Krzywa

Definicja 15.9.

Niech będzie krzywą. Zdefiniujmy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ \bigg\{\big(\varphi(\tau),\psi(\tau)\big):\ \tau\in[a,t]\bigg\}, }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle s(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ l\big(K(t)\big)\quad } (długośćkrzywejK(t))

W szczególności

Twierdzenie 15.10.

Niech będą klasy oraz niech będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle s'(t) \ =\ \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2} \qquad\forall\ t\in[a,b]. }

Dowód 15.10. [nadobowiązkowy]

Niech Analogicznie do ostatniego oszacowania w dowodzie twierdzenia 15.7. dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2}\cdot h \ \le\ s(t_0+h)-s(t_0) \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}\cdot h, }

gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M_h \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad M_h^* \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t), }

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m_h \ =\ \inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad m_h^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t). }

Dzielimy wszystkie strony powyższego oszacowania przez dostając:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2} \ \le\ \frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}. }

Ponieważ funkcje i są ciągłe, więc dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned M_h & \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \varphi'(t_0),\\ m_h & \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \varphi'(t_0),\\ M_h^* & \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \psi'(t_0),\\ m_h^* & \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \psi'(t_0). \endaligned}

Z powyższych oszacowań oraz z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle s'(t_0) \ =\ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ =\ \sqrt{\varphi'(t_0)^2+\psi'(t_0)^2}. }

End of proof.gif

Twierdzenie 15.11. [O długości krzywej]

Niech będą klasy oraz niech będzie krzywą zwyczajną. Wówczas długość krzywej wyraża się wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau. }

W szczególności, jeśli krzywa zadana jest wykresem funkcji dla to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}\,dt. }

Dowód 15.11.

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ s(b) \ =\ s(b)-\underbrace{s(a)}\limits_{=0} \ =\ \int\limits_a^b s'(\tau)\,d\tau \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau. }

W drugim przypadku krzywą zadaną przez funkcję możemy zapisać w postaci parametrycznej

i od razu otrzymujemy drugi ze wzorów.

End of proof.gif

Przykład 15.12.

Wyprowadzić wzór na długość krzywej zadanej w postaci biegunowej:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r \ =\ g(\vartheta) \qquad \vartheta\in[\alpha,\beta]. }

Przedstawmy tę krzywą w postaci parametrycznej:

Liczymy

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{g(\vartheta)^2+g'(\vartheta)^2}\,d\vartheta. }

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R09.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Krzywa we współrzędnych biegunowych

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R10.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Cykloida


Definicja 15.13.

Cykloidą nazywamy krzywą kreśloną

przez ustalony punkt na okręgu toczącym się po prostej

<flash>file=AM1.M15.W.R11.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>Cykloida

Przykład 15.14.

Wyprowadzić wzór parametryczny cykloidy.

Oznaczenia:
- promień okręgu;
- początkowy punkt styczności okręgu i prostej ;
- nowy punkt styczności;
- nowe położenie punktu ;
- parametr określający położenie punktu

Liczymy współrzędne punktu :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x \ = \ OF \ =\ ON-FN \ =\ \widehat{NM}-MG \ =\ at-a\sin t, }


Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle y \ = \ FM \ =\ NG \ =\ ND-GD \ =\ a-a\cos t. }

Zatem

lub

Przykład 15.15.

Obliczyć długość łuku cykloidy:


Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} &=& \sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2 t} \ =\ \sqrt{a^2-2a^2\cos t+a^2\cos^2 t+a^2\sin^2 t}\\ & =&\displaystyle \sqrt{2a^2(1-\cos t)} \ =\ \sqrt{4a^2\sin^2\frac{t}{2}} \ =\ 2a\bigg|\sin\frac{t}{2}\bigg|.\end{array} }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{array}{lll}l(K) &=&\displaystyle\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt \ =\ 2a\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\bigg|\sin\frac{t}{2}\,\bigg|dt\\ &=& 2a\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sin\frac{t}{2}\,dt \ =\ -4a\cos\frac{t}{2}\bigg|_0^{2\pi} \ =\8a. \end{array} }

Przykład 15.16.

Obliczyć długość łuku asteroidy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} \ =\ a^{\frac{2}{3}}. }

Równanie parametryczne asteroidy, to:

Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \ =\ 3a\sin t\cos t \qquad\forall\ t\in[0,2\pi]. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ 4\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}3a\sin t\cos t\,dt \ =\ 6a. }

<flash>file=AM1.M15.W.R12.swf|width=272|height=272</flash>

<div.thumbcaption>Asteroida

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R13.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Asteroida

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R14.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Asteroida

Całka krzywoliniowa

Niech będzie krzywą klasy :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\}, }

Przypuśćmy, że określona jest funkcja ciągła to znaczy funkcja, która każdemu punktowi krzywej przyporządkowuje pewną wartość rzeczywistą Okazuje się, że dla takich funkcji możemy także zdefiniować całkę oznaczoną, to znaczy całkę z funkcji po krzywej

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
Zobacz biografię

Całkę tę wprowadza się analogicznie jak całkę Riemanna na odcinku. Pominiemy to jednak w tym miejscu, podając jedynie wzór końcowy na obliczanie takiej całki:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_K f(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b f\big(\varphi(t),\psi(t)\big)\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt. }

Tę całkę stosuje się w fizyce na przykład do obliczania masy i środka ciężkości krzywej (pręta, którego wszystkie wymiary poza długością są pomijalne).

Jeśli mamy daną krzywą (pręt) zadaną jak wyżej, o gęstości w każdym jej punkcie danej funkcją ciągłą to masa tego pręta wyraża się wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds. }

Współrzędne środka ciężkości pręta możemy policzyć ze wzorów

Przykład 15.17.

Obliczyć masę pręta półkolistego o gęstości

Masa krzywej o gęstości dana jest wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_K y^2\,ds. }

Stosując wzór na całkę krzywoliniową oraz korzystając z parametryzacji półokręgu:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=R\cos t\\ y=\psi(t)=R\sin t \end{array} \right. \qquad t\in[0,\pi], }

mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle m &=& \displaystyle\int\limits_0^{\pi}R^2\sin^2 t\sqrt{(-R\sin t)^2+(R\cos t)^2}\,dt \ =\ R^3\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\sin^2 t\,dt\\ &=& R^3\bigg[\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin 2t\bigg]_0^{\pi} \ =\ \frac{R^3\pi}{2}.\end{array} }

Odpowiedź:

Masa pręta wynosi

.

Przykład 15.18.

Obliczyć masę i współrzędne środka ciężkości odcinka łączącego punkt z punktem o gęstości wprost proporcjonalnej do odległości punktu od środka układu i równej w punkcie

Skoro gęstość jest proporcjonalna do odległości punktu od środka układu i wynosi w punkcie to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \varrho(x,t) \ =\ c\sqrt{x^2+y^2} \quad } oraz

stąd Parametryzacją odcinka jest na przykład

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=t\\ y=\psi(t)=t \end{array} \right. \qquad t\in[0,1], }

zatem masa wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K\sqrt{x^2+y^2}\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{t^2+t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1t\,dt \ =\ t^2\bigg|_0^1 \ =\ 1. }

Pierwszą współrzędną środka ciężkości liczymy ze wzoru

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_0 \ =\ \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1 t\cdot\sqrt{2t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1 t^2\,dt \ =\ \frac{2}{3}t^3\bigg|_0^1 \ =\ \frac{2}{3}. }

Z symetrii zadania wynika, że

Pole powierzchni i objętość bryły obrotowej

W dalszej części wykładu będziemy zakładać, że krzywe są klasy Podamy liczne wzory na obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych, w większości pozostawiając je bez dowodów (podając natomiast pewne ich uzasadnienia).

<flash>file=AM1.M15.W.R15.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>Pole między wykresami funkcji

Z poprzedniego wykładu znamy już związek całki Riemanna z polem obszaru ograniczonego wykresami funkcji. Dla porządku przypomnijmy ten związek.

Uwaga 15.19.

Jeśli trapez krzywoliniowy jest ograniczony z góry i z dołu krzywymi:

i

to pole tego trapezu wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\big[f_1(x)-f_2(x)\big]\,dx }

Uzasadnienie: Wzór ten wynika bezpośrednio z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej.

Twierdzenie 15.20.

Pole obszaru pod wykresem krzywej zadanej w postaci parametrycznej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right., \qquad } dla

wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\varphi'(t)\,dt. }

Uzasadnienie: Wzór ten jest konsekwencją wzoru z uwagi 15.19. i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R16.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Pole obszaru ograniczonego półprostymi i krzywą zadaną we współrzędnych biegunowych

<flash>file=AM1.M15.W.R17.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>Trójkąt krzywoliniowy

Twierdzenie 15.21.

Jeśli obszar jest ograniczony odcinkami i (gdzie ) oraz krzywą daną w postaci biegunowej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r \ =\ g(\vartheta), \quad \vartheta\in[\vartheta_1,\vartheta_2], }

to pole tego obszaru wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{\vartheta_1}^{\vartheta_2}\big[g(\vartheta)\big]^2\,d\vartheta. }

Uzasadnienie: Obszar dzielimy na trójkąty krzywoliniowe jak na rysunku

Oznaczając przez pole trójkąta krzywoliniowego, mamy

(dla małych kątów zachodzi ). Sumując pola trójkątów (analogicznie jak sumy całkowe w całce Riemanna; patrz definicja 14.4.) i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.

Twierdzenie 15.22.

(1) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

dla

wokół osi :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b \big[f(x)\big] \sqrt{1+f'(x)^2}\,dx. }

Wzór ten pozostawiamy bez uzasadnienia.

(2) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right. \quad } dla

wokół osi :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \big[\psi(t)\big] \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt. }

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R18.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R21.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R19.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R20.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi

Twierdzenie 15.23.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

dla

wokół osi :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_a^b f(x)^2\,dx. }

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ <\ x_1 \ <\ \ldots \ <\ x_n \ =\ b }

oraz podzielmy bryłę na "plasterki", to znaczy na bryły powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji dla Objętość takiego "plasterka" jest w przybliżeniu równa objętości walca o promieniu podstawy i wysokości czyli Sumując objętości "plasterków", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right. \quad } dla

wokół osi :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t)^2\varphi'(t)\,dt. }

Uzasadnienie: Wzór powyższy jest konsekwencją poprzedniego wzoru oraz twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R22.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R23.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R24.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi

Twierdzenie 15.24.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

dla

wokół osi :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b x\,f(x)\,dx. }

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ <\ x_1 \ <\ \ldots \ <\ x_n \ =\ b }

oraz podzielmy bryłę na "cylindry" powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji dla wokół osi Objętość takiego "cylindra" jest w przybliżeniu równa Sumując objętości "cylindrów", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy wzór na

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right. \quad } dla

wokół osi :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \varphi(t)\psi(t)\varphi'(t)\,dt. }

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R25.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R26.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R27.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Torus

Przykład 15.25.

Obliczyć objętość torusa powstałego przez obrót koła

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x^2+(y-a)^2 \ \le\ r^2 \qquad (0<r<a) }

wokół osi

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle |V_x| & = & \pi\displaystyle\int\limits_{-r}^r \bigg[\big(a+\sqrt{r^2-x^2}\big)^2 -\big(a-\sqrt{r^2-x^2}\big)^2\bigg]\,dx \ =\ 4\pi a\displaystyle\int\limits_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\,dx\\ & \stackrel{(\bigstar)}{=} & 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r}+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}\bigg]_{-r}^r =\ 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\bigg] \ =\ 4\pi a\frac{r^2\pi}{2} \ =\ 2\pi^2 ar^2, \end{array}}

gdzie wykorzystano następującą całkę:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (\bigstar)\quad I & = & \int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ =\ \int\frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx \ =\ r^2\underbrace{\int\frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_1} -\underbrace{\int\frac{x^2 dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_2}. \endaligned}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I_1 \ =\ \arcsin\frac{x}{|r|}+c. }

Teraz liczymy całkę inaczej:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle I& = &\int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ \begin{array}{c}\textrm{części}\\=\end{array} x\sqrt{r^2-x^2} -\int x\frac{-2x}{2\sqrt{r^2-x^2}}dx\\ & =& x\sqrt{r^2-x^2} +\underbrace{\int\frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx}_{=I_2}= x\sqrt{r^2-x^2}+I_2. \end{array}}

Porównując to z otrzymujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r^2I_1-I_2 \ =\ x\sqrt{r^2-x^2}+I_2, }

stąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 2I_2 \ =\ r^2I_1-x\sqrt{r^2-x^2} \ =\ r^2\arcsin\frac{x}{r} -x\sqrt{r^2-x^2}, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I_2 \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} -\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}. }

Wstawiając do otrzymujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned I & = & r^2\arcsin\frac{x}{r} -\frac{1}{2}r^2\arcsin\frac{x}{r} +\frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}+c \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} +\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}+c. \endaligned}