Analiza matematyczna 1/Wykład 11: Reguła de l'Hospitala. Równość asymptotyczna
Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna
Dowodzimy reguły de l'Hospitala pozwalającej efektywnie wyznaczać granice funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu
lub . Definiujemy także symbole Landaua małe i duże. Porównujemy asymptotyczne zachowanie wybranych funkcji (m.in. logarytmu, funkcji wykładniczej, wielomianów) w zerze i w nieskończoności.Reguła de l'Hospitala
Efektywne wyznaczanie granic funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu
, często zdecydowanie upraszcza zastosowanie twierdzenia, które nazywamy regułą de l'Hospitala.Twierdzenie 11.1.
Niech
będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale , przy czym . Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych i jest równa . Jeśli istnieją granice funkcjito istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie
i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.Dowód 11.1.
(szkic) Twierdzenie wykażemy w przypadku, gdy granica ilorazu pochodnych
jest skończona. Załóżmy również dodatkowo (aby uprościć dowód), że . Niech będzie dowolną liczbą taką, że . Z twierdzenia Cauchy'ego wynika, że dla pewnej liczby zachodzi równość:czyli
Wartość
zależy od wyboru . Jeśli punkt zmierza do , punkt pośredni również będzie zmierzał do . Wobec tego w granicy przy dostajemy równość:Stąd jeśli istnieje granica ilorazu pochodnych
w punkcie , to istnieje również granica ilorazu funkcji w tym punkcie i są one równe.
Zastosowanie wzoru z tezy reguły de l'Hospitala jest możliwe po sprawdzeniu, czy licznik i mianownik ułamka
spełniają wszystkie założenia podanego twierdzenia, tj.- czy obie funkcje są różniczkowalne w sąsiedztwie punktu
,- czy istnieje granica ilorazu pochodnych
w punkcie ,- czy obie funkcje
oraz zmierzają do zera w punkcie .Jeśli którekolwiek z tych założeń nie jest spełnione, nie należy stosować reguły de l'Hospitala, gdyż nie ma żadnej gwarancji, czy granica ilorazu pochodnych ma jakikolwiek związek z istnieniem i wartością granicy ilorazu funkcji. Pamiętajmy także, że zapis (którego w ramach wykładu będziemy unikać, a który jest powszechny w większości zbiorów zadań i w podręcznikach)
W wersji podanej powyżej reguła de l'Hospitala stanowi narzędzie do badania istnienia granic ilorazu
w przypadku nieoznaczoności typu . Prawdziwe jest również następujące twierdzenieTwierdzenie 11.3.
Niech
będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale , przy czym . Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych i jest równa . Jeśli istnieją granice funkcjito istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie
i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.Dowód tego twierdzenia pomijamy. Zwróćmy jednak uwagę, że mając narzędzie do badania istnienia granicy ilorazu funkcji
w przypadku nieoznaczoności typu , możemy go także użyć w przypadku nieoznaczoności typu . Wystarczy bowiem iloraz zastąpić odwrotnością ilorazu odwrotności funkcji , , tj.gdyż iloraz
jest symbolem typu , gdy jest symbolem nieoznaczonym typu .Przykład 11.4.
Dla dowolnej liczby naturalnej
istnieje granicaNiech
. Iloraz spełnia założenia reguły de l'Hospitala, gdyż obie funkcje są różniczkowalne w , iloraz stanowi symbol nieoznaczony przy i istnieje granica ilorazu pochodnychSkoro istnieje
, to istnieje granica ilorazu pochodnych funkcji i , gdyżZ reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje
Na mocy zasady indukcji matematycznej granica istnieje dla dowolnej liczby naturalnej .Wniosek 11.5.
Jeśli
jest dowolnym wielomianem, to . Innymi słowy: funkcja wykładnicza zmierza do nieskończoności szybciej niż jakikolwiek wielomian.Dowód 11.5.
Każdy wielomian jest sumą skończonej liczby jednomianów
. Skoro iloraz dowolnego jednomianu i funkcji wykładniczej zmierza do zera, to na podstawie twierdzenia o granicy sumy wnioskujemy, że suma ilorazówtakże zmierza do zera, gdy
.
Wniosek 11.6.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej
istnieje .Dowód 11.6.
Dla dowolnej liczby
potrafimy znaleźć liczbę naturalną większą od . Wówczas dla mamy

W poprzednim module rozważaliśmy funkcję
i pozostawiliśmy bez dowodu stwierdzenie, że
Dowód 11.7.
Dla
iloraz różnicowy . Z kolei dla mamyZauważmy, że
, gdy . Ponieważ istnieje granica , więc istnieje również granica Stąd istnieje . Dla wyznaczamy pochodną, korzystając z twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji i dostajemy (po uwzględnieniu istnienia pochodnej w zerze)Rozważmy następnie iloraz różnicowy
. Dla mamy , natomiast gdy zachodzi równośćStąd istnieje
. Wobec tego, że dla mamy , a dla dodatnich - na mocy twierdzeń o pochodnej iloczynu oraz złożenia funkcji - zachodzi równośćWobec tego druga pochodna
istnieje w każdym punkcie i wyraża się wzoremgranicy
wnioskujemy o istnieniu granicy . W oczywisty sposób istnieje także granica ilorazu różnicowego przy , więc istnieje . Na mocy zasady indukcji matematycznej istnieje więc dla dowolnej liczby naturalnej .
Porównajmy zachowanie w sąsiedztwie zera oraz nieskończoności funkcji logarytmicznej i funkcji
, gdy . Wykażemy, żeDla dowolnej liczby rzeczywistej
istnieją graniceDowód 11.8.
Obie funkcje
oraz są różniczkowalne w prawostronnym sąsiedztwie zera i istnieją granice oraz . Ponadto iloraz pochodnych tych funkcjizmierza do zera, gdy
dla dowolnej liczby . Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istniejeZ kolei przy
mamy , dla . Iloraz pochodnych tych funkcji
Uwagę można podsumować krótko stwierdzeniem, że funkcja logarytmiczna zmierza do nieskończoności wolniej niż jakakolwiek potęga zmiennej
o dodatnim wykładniku. W sąsiedztwie zera z kolei funkcja logarytmiczna zmierza tak wolno do minus nieskończoności, że pomnożenie jej przez jakąkolwiek potęgę zmiennej o dodatnim wykładniku stanowi wyrażenie zbieżne do zera.Reguła de l'Hospitala pozwala łatwo wykazać istnienie szeregu ważnych granic.
Twierdzenie 11.9.
Istnieją granice
a)
,b)
,c)
,d)
, dla dowolnej liczby .Dowód 11.9.
a) Funkcje
i są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych , gdy . Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje .b) Funkcje
i są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych na mocy punktu a). Stąd istnieje także .c) Podobnie jak w obu poprzednich punktach
i są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych , gdy . Stąd istnieje .d) Wyrażenie
stanowi przy symbol nieoznaczony typu . Przekształćmy jeZauważmy, że wykładnik

Zwróćmy uwagę, że z faktu istnienia granicy ciągu
, nie można wyciągnąć bezpośrednio wniosku o istnieniu granicy funkcji przy , stąd dowód punktu d) uwagi jest konieczny, aby stwierdzić, że granica ta istnieje.Równość asymptotyczna
Niech
. Zauważmy, że istnienie skończonej granicy ilorazu oznacza, że w pewnym sąsiedztwie punktu funkcje oraz są w przybliżeniu równe, gdyż zgodnie z definicją granicy funkcji w punkcie dla dowolnej liczby istniejetaka, że
co jest równoważne nierówności
czy też
w pobliżu punktu
. Podobnie, gdy , istnienie skończonej granicy oznacza, że dla dużych wartości argumentu obie funkcje oraz są w przybliżeniu równe w tym sensie, że dla potrafimy wskazać taką liczbę , że na prawo od niej, tj. w przedziale iloraz różni się od stałej o nie więcej niż . Innymi słowy dla mamy nierówność .Niech
będą funkcjami określonymi w prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu (tj. w przedziale postaci lub , dla pewnego , gdy jest liczbą skończoną, bądź też w przedziale postaci , , gdy lub ).Definicja 11.10.
Mówimy, że funkcja
jest rzędu w punkcie , jeśli istnieje granica (prawo- lub lewostronna) ilorazu w punkcie i jest równa zeru.Jeśli iloraz
jest ograniczony w pewnym prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu , to mówimy, że funkcja jest rzędu w punkcie .Symbole
oraz nazywamy symbolami Landaua. Czytamy je o małe oraz O duże od .Zauważmy, że jeśli
w punkcie , to w tym punkcie, ale nie na odwrót.Z twierdzenia o granicy sumy i granicy ilorazu dwóch funkcji wynikają natychmiast wzory stanowiące arytmetykę symboli
małe i duże.Często spotyka się symbole
małe i duże w następujących przypadkach:co oznacza, że iloraz
zmierza do zera przylub
gdy iloraz
jest ograniczony przy .W szczególności zapis
oznacza po prostu, że
zaś
piszemy, gdy różnica
jest ograniczona przy
.Definicja 11.12.
Jeśli istnieją stałe
takie, że , przy (lub ), to prostą o równaniu nazywamy asymptotą ukośną funkcji przy zmierzających do (lub ). W szczególnym przypadku, gdy mówimy, że funkcja ma asymptotę poziomą o równaniu .Przypomnijmy także, że jeśli w pewnym punkcie
istnieje granica nieskończona (lub ), to mówimy, że funkcja ma w punkcie asymptotę pionową prawostronną (odpowiednio: asymptotę pionową lewostronną) . Jeśli prosta jest zarówno prawo- i lewostronną asymptotą pionową funkcji (czyli obie granice jednostronne oraz istnieją i są nieskończone), to mówimy krótko, że funkcja ma asymptotę pionową .i odpowiednio:
Dowód 11.13.
Jeśli
Skoro , to , gdy . Stąd . , to , przy . W przypadku asymptoty ukośnej w minus nieskończoności rozumowanie jest identyczne.
<flash>file=am1w11.0010.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(a) |
<flash>file=am1w11.0020.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(b) |
Przykład 11.14.
a) Funkcja
ma asymptotę poziomą przy , czyli , gdy . Nie ma asymptoty przy .b) Funkcja
ma przy asymptotę poziomą , a przy asymptotę poziomą . Możemy to też zapisać w postaci przy oraz przy .c) Funkcja
ma przy asymptotę ukośną , a przy asymptotę ukośną , czyli przy oraz przy .<flash>file=am1w11.0030.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(c) |
<flash>file=am1w11.0040.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(d) |
d) Funkcja
ma przy oraz przy asymptotę poziomą , czyli przy .e) Zauważmy także, że
przy oraz przy .<flash>file=am1w11.0050.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(e) |
<flash>file=am1w11.0060.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(f) |
f) Podobnie
przy oraz przy .
Z powyższych przykładów wynika, że
Funkcja
może mieć mieć asymptotę ukośną (lub poziomą) w plus nieskończoności daną innym równaniem niż asymptota ukośna w minus nieskończoności. Może też na przykład mieć wyłącznie asymptotę w minus nieskończoności i nie mieć asymptoty w plus nieskończoności. Stąd istnieje konieczność wyznaczenia granicy ilorazu osobno przy i .Przykład 11.16.
Wykazaliśmy już, że
, co można też zapisać , przy . Można też wykazać, żeOgólnie z twierdzenia Taylora (które wykazaliśmy w poprzednim module) wynika, że
Uwagi o efektywnym stosowaniu reguły de l'Hospitala
Zwróciliśmy już uwagę na fakt, że reguła de l'Hospitala -- podobnie jak każde twierdzenie -- wymaga przed zastosowaniem tezy sprawdzenia, czy spełnione są założenia twierdzenia. Jednak nawet w przypadku, gdy są spełnione założenia, nie ma gwarancji, czy rachunki w oparciu o wzór z tezy prowadzą krótką drogą do celu, jakim jest stwierdzenie czy istnieje oraz ile wynosi granica ilorazu dwóch funkcji.
Rozważmy następujący
Przykład 11.18.
Sprawdźmy, czy istnieje granica
ilorazu dwóch wielomianów oraz
w punkcie , ponieważ
, gdy . Iloraz
stanowi symbol nieoznaczony w
punkcie . Sprawdzenie, czy istnieje granica ilorazu
pochodnych tych wielomianów jest bardzo proste
Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje granica
i jest równa .Przykład 11.19.
Zbadajmy, czy funkcja
ma asymptotę ukośną. Stwierdzamy, że iloraz , gdy . Następnie stajemy przed zadaniem wyznaczenia granicy różnicy przy . Wyrażenie to stanowi symbol nieoznaczony typu . Przekształćmy je:Ułamek o liczniku
oraz mianowniku stanowi symbol nieoznaczony typu przy . Licznik i mianownik są funkcjami różniczkowalnymi w sąsiedztwie nieskończoności, tj. w przedziale typu , dla pewnego . Jednak już próba policzenia i uproszczenia pochodnej licznika jest dość nieprzyjemnym zadaniem. Zauważmy jednak, że podstawienie za nowej zmiennej, znacznie uprości rachunki. Mamy bowiem