Analiza matematyczna 1/Wykład 11: Reguła de l'Hospitala. Równość asymptotyczna

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna

Dowodzimy reguły de l'Hospitala pozwalającej efektywnie wyznaczać granice funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu lub . Definiujemy także symbole Landaua małe i duże. Porównujemy asymptotyczne zachowanie wybranych funkcji (m.in. logarytmu, funkcji wykładniczej, wielomianów) w zerze i w nieskończoności.

Reguła de l'Hospitala

Efektywne wyznaczanie granic funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu , często zdecydowanie upraszcza zastosowanie twierdzenia, które nazywamy regułą de l'Hospitala.

Twierdzenie 11.1.

Niech będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale , przy czym . Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych i jest równa . Jeśli istnieją granice funkcji

to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.

Dowód 11.1.

(szkic) Twierdzenie wykażemy w przypadku, gdy granica ilorazu pochodnych jest skończona. Załóżmy również dodatkowo (aby uprościć dowód), że . Niech będzie dowolną liczbą taką, że . Z twierdzenia Cauchy'ego wynika, że dla pewnej liczby zachodzi równość:

czyli

gdyż

Wartość zależy od wyboru . Jeśli punkt zmierza do , punkt pośredni również będzie zmierzał do . Wobec tego w granicy przy dostajemy równość:

Stąd jeśli istnieje granica ilorazu pochodnych w punkcie , to istnieje również granica ilorazu funkcji w tym punkcie i są one równe.

End of proof.gif
Uwaga 11.2.

Zastosowanie wzoru z tezy reguły de l'Hospitala jest możliwe po sprawdzeniu, czy licznik i mianownik ułamka spełniają wszystkie założenia podanego twierdzenia, tj.

- czy obie funkcje są różniczkowalne w sąsiedztwie punktu ,

- czy istnieje granica ilorazu pochodnych w punkcie ,

- czy obie funkcje oraz zmierzają do zera w punkcie .

Jeśli którekolwiek z tych założeń nie jest spełnione, nie należy stosować reguły de l'Hospitala, gdyż nie ma żadnej gwarancji, czy granica ilorazu pochodnych ma jakikolwiek związek z istnieniem i wartością granicy ilorazu funkcji. Pamiętajmy także, że zapis (którego w ramach wykładu będziemy unikać, a który jest powszechny w większości zbiorów zadań i w podręcznikach)

należy rozumieć w ten sposób, że uprzednio sprawdzono, iż spełnione są założenia reguły de l'Hospitala i - wobec tego - wnioskujemy o istnieniu granicy ilorazu funkcji i o równości tej granicy z granicą ilorazu pochodnych.

W wersji podanej powyżej reguła de l'Hospitala stanowi narzędzie do badania istnienia granic ilorazu w przypadku nieoznaczoności typu . Prawdziwe jest również następujące twierdzenie

Twierdzenie 11.3.

Niech będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale , przy czym . Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych i jest równa . Jeśli istnieją granice funkcji

to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.

Dowód tego twierdzenia pomijamy. Zwróćmy jednak uwagę, że mając narzędzie do badania istnienia granicy ilorazu funkcji w przypadku nieoznaczoności typu , możemy go także użyć w przypadku nieoznaczoności typu . Wystarczy bowiem iloraz zastąpić odwrotnością ilorazu odwrotności funkcji , , tj.

gdyż iloraz jest symbolem typu , gdy jest symbolem nieoznaczonym typu .

Przykład 11.4.

Dla dowolnej liczby naturalnej istnieje granica

Niech . Iloraz spełnia założenia reguły de l'Hospitala, gdyż obie funkcje są różniczkowalne w , iloraz stanowi symbol nieoznaczony przy i istnieje granica ilorazu pochodnych

Stąd istnieje
Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej prawdziwa jest implikacja

Skoro istnieje , to istnieje granica ilorazu pochodnych funkcji i , gdyż

gdy

Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje Na mocy zasady indukcji matematycznej granica istnieje dla dowolnej liczby naturalnej .

Wniosek 11.5.

Jeśli jest dowolnym wielomianem, to . Innymi słowy: funkcja wykładnicza zmierza do nieskończoności szybciej niż jakikolwiek wielomian.

Dowód 11.5.

Każdy wielomian jest sumą skończonej liczby jednomianów . Skoro iloraz dowolnego jednomianu i funkcji wykładniczej zmierza do zera, to na podstawie twierdzenia o granicy sumy wnioskujemy, że suma ilorazów

także zmierza do zera, gdy .

End of proof.gif
Plik:Am1w11.0005.svg
Rysunek do dowodu 11.6.

Wniosek 11.6.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje .

Dowód 11.6.

Dla dowolnej liczby potrafimy znaleźć liczbę naturalną większą od . Wówczas dla mamy




Skoro , gdy , to na podstawie twierdzenia o trzech ciągach istnieje . End of proof.gif

W poprzednim module rozważaliśmy funkcję





i pozostawiliśmy bez dowodu stwierdzenie, że

Uwaga 11.7.
Funkcja ma w punkcie pochodne dowolnie wysokiego rzędu równe zeru.

Dowód 11.7.

Dla iloraz różnicowy . Z kolei dla mamy

,gdzie
.

Zauważmy, że , gdy . Ponieważ istnieje granica , więc istnieje również granica Stąd istnieje . Dla wyznaczamy pochodną, korzystając z twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji i dostajemy (po uwzględnieniu istnienia pochodnej w zerze)

Rozważmy następnie iloraz różnicowy . Dla mamy , natomiast gdy zachodzi równość

gdzie
Podobnie jak poprzednio, ponieważ istnieje granica , więc istnieje również granica

Stąd istnieje . Wobec tego, że dla mamy , a dla dodatnich - na mocy twierdzeń o pochodnej iloczynu oraz złożenia funkcji - zachodzi równość

Wobec tego druga pochodna istnieje w każdym punkcie i wyraża się wzorem

Kontynuując rozumowanie spostrzegamy, że dla dowolnej liczby naturalnej pochodna rzędu funkcji wyraża się wzorem
gdzie jest pewnym wielomianem zmiennej (podstawiamy ). Wobec tego iloraz różnicowy w zerze pochodnej rzędu funkcji jest postaci
gdzie jest także pewnym wielomianem. Po podstawieniu za , wobec istnienia

granicy wnioskujemy o istnieniu granicy . W oczywisty sposób istnieje także granica ilorazu różnicowego przy , więc istnieje . Na mocy zasady indukcji matematycznej istnieje więc dla dowolnej liczby naturalnej .

End of proof.gif

Porównajmy zachowanie w sąsiedztwie zera oraz nieskończoności funkcji logarytmicznej i funkcji , gdy . Wykażemy, że

Uwaga 11.8.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieją granice

Dowód 11.8.

Obie funkcje oraz są różniczkowalne w prawostronnym sąsiedztwie zera i istnieją granice oraz . Ponadto iloraz pochodnych tych funkcji

zmierza do zera, gdy dla dowolnej liczby . Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje

Z kolei przy mamy , dla . Iloraz pochodnych tych funkcji

zmierza do zera przy dla dowolnej liczby . Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje także
End of proof.gif

Uwagę można podsumować krótko stwierdzeniem, że funkcja logarytmiczna zmierza do nieskończoności wolniej niż jakakolwiek potęga zmiennej o dodatnim wykładniku. W sąsiedztwie zera z kolei funkcja logarytmiczna zmierza tak wolno do minus nieskończoności, że pomnożenie jej przez jakąkolwiek potęgę zmiennej o dodatnim wykładniku stanowi wyrażenie zbieżne do zera.

Reguła de l'Hospitala pozwala łatwo wykazać istnienie szeregu ważnych granic.

Twierdzenie 11.9.

Istnieją granice

a) ,

b) ,

c) ,

d) , dla dowolnej liczby .

Dowód 11.9.

a) Funkcje i są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych , gdy . Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje .

b) Funkcje i są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych na mocy punktu a). Stąd istnieje także .

c) Podobnie jak w obu poprzednich punktach i są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych , gdy . Stąd istnieje .

d) Wyrażenie stanowi przy symbol nieoznaczony typu . Przekształćmy je

Zauważmy, że wykładnik

gdyż na mocy poprzedniego punktu iloraz zmierza do jedynki, gdy zmierza do zera. Stąd wobec ciągłości funkcji wykładniczej istnieje granica
End of proof.gif

Zwróćmy uwagę, że z faktu istnienia granicy ciągu , nie można wyciągnąć bezpośrednio wniosku o istnieniu granicy funkcji przy , stąd dowód punktu d) uwagi jest konieczny, aby stwierdzić, że granica ta istnieje.

Równość asymptotyczna

Niech . Zauważmy, że istnienie skończonej granicy ilorazu oznacza, że w pewnym sąsiedztwie punktu funkcje oraz są w przybliżeniu równe, gdyż zgodnie z definicją granicy funkcji w punkcie dla dowolnej liczby istnieje

taka, że

o ile

co jest równoważne nierówności

czy też

w pobliżu punktu . Podobnie, gdy , istnienie skończonej granicy oznacza, że dla dużych wartości argumentu obie funkcje oraz są w przybliżeniu równe w tym sensie, że dla potrafimy wskazać taką liczbę , że na prawo od niej, tj. w przedziale iloraz różni się od stałej o nie więcej niż . Innymi słowy dla mamy nierówność .

Niech będą funkcjami określonymi w prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu (tj. w przedziale postaci lub , dla pewnego , gdy jest liczbą skończoną, bądź też w przedziale postaci , , gdy lub ).

Definicja 11.10.

Mówimy, że funkcja jest rzędu w punkcie , jeśli istnieje granica (prawo- lub lewostronna) ilorazu w punkcie i jest równa zeru.

Jeśli iloraz jest ograniczony w pewnym prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu , to mówimy, że funkcja jest rzędu w punkcie .

Symbole oraz nazywamy symbolami Landaua. Czytamy je o małe oraz O duże od .

Zauważmy, że jeśli w punkcie , to w tym punkcie, ale nie na odwrót.

Uwaga 11.11.

Z twierdzenia o granicy sumy i granicy ilorazu dwóch funkcji wynikają natychmiast wzory stanowiące arytmetykę symboli małe i duże.

Często spotyka się symbole małe i duże w następujących przypadkach:

co oznacza, że iloraz zmierza do zera przy

lub

gdy iloraz jest ograniczony przy .

W szczególności zapis

oznacza po prostu, że

zaś

piszemy, gdy różnica

jest ograniczona przy .

Definicja 11.12.

Jeśli istnieją stałe takie, że , przy (lub ), to prostą o równaniu nazywamy asymptotą ukośną funkcji przy zmierzających do (lub ). W szczególnym przypadku, gdy mówimy, że funkcja ma asymptotę poziomą o równaniu .

Przypomnijmy także, że jeśli w pewnym punkcie istnieje granica nieskończona (lub ), to mówimy, że funkcja ma w punkcie asymptotę pionową prawostronną (odpowiednio: asymptotę pionową lewostronną) . Jeśli prosta jest zarówno prawo- i lewostronną asymptotą pionową funkcji (czyli obie granice jednostronne oraz istnieją i są nieskończone), to mówimy krótko, że funkcja ma asymptotę pionową .

Uwaga 11.13.
Jeśli funkcja ma asymptotę ukośną w nieskończoności (odpowiednio: ma asymptotę ukośną w minus nieskończoności), to

i odpowiednio:

Dowód 11.13.

Jeśli , to , gdy . Stąd .

Skoro , to , przy . W przypadku asymptoty ukośnej w minus nieskończoności rozumowanie jest identyczne. End of proof.gif

<flash>file=am1w11.0010.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(a)

<flash>file=am1w11.0020.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(b)

Przykład 11.14.

a) Funkcja ma asymptotę poziomą przy , czyli , gdy . Nie ma asymptoty przy .

b) Funkcja ma przy asymptotę poziomą , a przy asymptotę poziomą . Możemy to też zapisać w postaci przy oraz przy .

c) Funkcja ma przy asymptotę ukośną , a przy asymptotę ukośną , czyli przy oraz

przy .

<flash>file=am1w11.0030.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(c)

<flash>file=am1w11.0040.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(d)

d) Funkcja ma przy oraz przy asymptotę poziomą , czyli przy .

e) Zauważmy także, że przy oraz przy .

<flash>file=am1w11.0050.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(e)

<flash>file=am1w11.0060.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(f)

f) Podobnie przy oraz przy .


Z powyższych przykładów wynika, że

Uwaga 11.15.

Funkcja może mieć mieć asymptotę ukośną (lub poziomą) w plus nieskończoności daną innym równaniem niż asymptota ukośna w minus nieskończoności. Może też na przykład mieć wyłącznie asymptotę w minus nieskończoności i nie mieć asymptoty w plus nieskończoności. Stąd istnieje konieczność wyznaczenia granicy ilorazu osobno przy i

.

Przykład 11.16.

Wykazaliśmy już, że , co można też zapisać , przy . Można też wykazać, że

Ogólnie z twierdzenia Taylora (które wykazaliśmy w poprzednim module) wynika, że

Uwaga 11.17.
Jeśli jest funkcją razy różniczkowalną w otoczeniu punktu , to

Uwagi o efektywnym stosowaniu reguły de l'Hospitala

Zwróciliśmy już uwagę na fakt, że reguła de l'Hospitala -- podobnie jak każde twierdzenie -- wymaga przed zastosowaniem tezy sprawdzenia, czy spełnione są założenia twierdzenia. Jednak nawet w przypadku, gdy są spełnione założenia, nie ma gwarancji, czy rachunki w oparciu o wzór z tezy prowadzą krótką drogą do celu, jakim jest stwierdzenie czy istnieje oraz ile wynosi granica ilorazu dwóch funkcji.

Rozważmy następujący

Przykład 11.18.

Sprawdźmy, czy istnieje granica

Zauważamy, że iloraz funkcji oraz stanowi w punkcie symbol nieoznaczony . Obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu, więc pozostaje zbadanie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych w punkcie . Próba wyznaczenia ilorazu pochodnych prowadzi do otrzymania ułamków piętrowych, które nie zachęcają do dalszych przekształceń. Zauważmy jednak, że podstawienie sprowadza zadanie do zbadania, czy istnieje granica



ilorazu dwóch wielomianów oraz w punkcie , ponieważ , gdy . Iloraz stanowi symbol nieoznaczony w punkcie . Sprawdzenie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych tych wielomianów jest bardzo proste

gdy

Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje granica i jest równa .

Przykład 11.19.

Zbadajmy, czy funkcja ma asymptotę ukośną. Stwierdzamy, że iloraz , gdy . Następnie stajemy przed zadaniem wyznaczenia granicy różnicy przy . Wyrażenie to stanowi symbol nieoznaczony typu . Przekształćmy je:

Ułamek o liczniku oraz mianowniku stanowi symbol nieoznaczony typu przy . Licznik i mianownik są funkcjami różniczkowalnymi w sąsiedztwie nieskończoności, tj. w przedziale typu , dla pewnego . Jednak już próba policzenia i uproszczenia pochodnej licznika jest dość nieprzyjemnym zadaniem. Zauważmy jednak, że podstawienie za nowej zmiennej, znacznie uprości rachunki. Mamy bowiem

Stwierdzenie, czy istnieje granica ilorazu
przy
(ponieważ , gdy ) jest prostym zadaniem. Iloraz funkcji
oraz
stanowi symbol nieoznaczony typu w punkcie ; obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu. Wyznaczamy iloraz pochodnych i potrzebną granicę
gdy
Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje granica ilorazu i jest równa . Stąd ostatecznie wnioskujemy, że prosta jest asymptotą ukośną funkcji przy . Podobne obliczenia pozwalają stwierdzić, że ta sama prosta jest także asymptotą funkcji przy .