Analiza matematyczna 1/Wykład 11: Reguła de l'Hospitala. Równość asymptotyczna

Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna

Dowodzimy reguły de l'Hospitala pozwalającej efektywnie wyznaczać granice funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu ${\frac {0}{0}}$ lub ${\frac {\infty }{\infty }}$. Definiujemy także symbole Landaua $o$ małe i $O$ duże. Porównujemy asymptotyczne zachowanie wybranych funkcji (m.in. logarytmu, funkcji wykładniczej, wielomianów) w zerze i w nieskończoności.

Reguła de l'Hospitala

Efektywne wyznaczanie granic funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu ${\frac {0}{0}}$, ${\frac {\infty }{\infty }}$ często zdecydowanie upraszcza zastosowanie twierdzenia, które nazywamy regułą de l'Hospitala.

Twierdzenie 11.1.

Niech $f,g:(a,b)\mapsto \mathbb {R}$ będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale $(a,b)$, przy czym $-\infty \leq a<b\leq \infty$. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych $\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ i jest równa $c\in {\overline {\mathbb {R} }}$. Jeśli istnieją granice funkcji

$\lim _{x\to a}f(x)=0{\text{ oraz }}\lim _{x\to a}g(x)=0$,

to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie $a$ i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=c$

Dowód 11.1.

(szkic) Twierdzenie wykażemy w przypadku, gdy granica ilorazu pochodnych $c\in \mathbb {R}$ jest skończona. Załóżmy również dodatkowo (aby uprościć dowód), że $f(a)=g(a)=0$. Niech $h>0$ będzie dowolną liczbą taką, że $a+h<b$. Z twierdzenia Cauchy'ego wynika, że dla pewnej liczby $\xi \in (a,a+h)$ zachodzi równość:

${\frac {f(a+h)-f(a)}{g(a+h)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$

czyli

${\frac {f(a+h)}{g(a+h)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$ gdyż $f(a)=g(a)=0$

Wartość $\xi$ zależy od wyboru $h$. Jeśli punkt $a+h$ zmierza do $a$, punkt pośredni $\xi$ również będzie zmierzał do $a$. Wobec tego w granicy przy $h\to 0$ dostajemy równość:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)}{g(a+h)}}=\lim _{\xi \to a}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$.

Stąd jeśli istnieje granica ilorazu pochodnych Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lim_{\xi\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}} w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a} , to istnieje również granica ilorazu funkcji Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}} w tym punkcie i są one równe.

Uwaga 11.2.

Zastosowanie wzoru z tezy reguły de l'Hospitala jest możliwe po sprawdzeniu, czy licznik i mianownik ułamka Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x\mapsto\frac{f(x)}{g(x)}} spełniają wszystkie założenia podanego twierdzenia, tj.

- czy obie funkcje są różniczkowalne w sąsiedztwie punktu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a} ,

- czy istnieje granica ilorazu pochodnych Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \dfrac{f'(x)}{g'(x)}} w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a} ,

- czy obie funkcje Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} oraz Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} zmierzają do zera w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a} .

Jeśli którekolwiek z tych założeń nie jest spełnione, nie należy stosować reguły de l'Hospitala, gdyż nie ma żadnej gwarancji, czy granica ilorazu pochodnych ma jakikolwiek związek z istnieniem i wartością granicy ilorazu funkcji. Pamiętajmy także, że zapis (którego w ramach wykładu będziemy unikać, a który jest powszechny w większości zbiorów zadań i w podręcznikach)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}} należy rozumieć w ten sposób, że uprzednio sprawdzono, iż spełnione są założenia reguły de l'Hospitala i - wobec tego - wnioskujemy o istnieniu granicy ilorazu funkcji i o równości tej granicy z granicą ilorazu pochodnych.

W wersji podanej powyżej reguła de l'Hospitala stanowi narzędzie do badania istnienia granic ilorazu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \frac{f}{g}} w przypadku nieoznaczoności typu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \frac{0}{0}} . Prawdziwe jest również następujące twierdzenie

Twierdzenie 11.3.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f,g: (a,b)\mapsto \mathbb{R}} będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (a,b)} , przy czym Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle -\infty\leq a<b\leq \infty} . Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}} i jest równa Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c\in \overline{\mathbb{R}}} . Jeśli istnieją granice funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\infty \text{ oraz } \lim_{x\to a }g(x)=\infty} ,

to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a} i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=c$.

Dowód tego twierdzenia pomijamy. Zwróćmy jednak uwagę, że mając narzędzie do badania istnienia granicy ilorazu funkcji ${\frac {f}{g}}$ w przypadku nieoznaczoności typu ${\frac {0}{0}}$, możemy go także użyć w przypadku nieoznaczoności typu ${\frac {\infty }{\infty }}$. Wystarczy bowiem iloraz ${\frac {f}{g}}$ zastąpić odwrotnością ilorazu odwrotności funkcji $f$, $g$, tj.

${\frac {f}{g}}={\frac {\frac {1}{g}}{\frac {1}{f}}}$,

gdyż iloraz ${\frac {\frac {1}{g}}{\frac {1}{f}}}$ jest symbolem typu ${\frac {0}{0}}$, gdy ${\frac {f}{g}}$ jest symbolem nieoznaczonym typu ${\frac {\infty }{\infty }}$.

Przykład 11.4.

Dla dowolnej liczby naturalnej $n$ istnieje granica

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{\exp x}}=0$.

Niech $n=1$. Iloraz ${\frac {x}{\exp x}}$ spełnia założenia reguły de l'Hospitala, gdyż obie funkcje są różniczkowalne w $\mathbb {R}$, iloraz ${\frac {x}{\exp x}}$ stanowi symbol nieoznaczony ${\frac {\infty }{\infty }}$ przy $x\to \infty$ i istnieje granica ilorazu pochodnych

$\lim _{x\to \infty }{\frac {(x)'}{(\exp x)'}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{\exp x}}=0$. Stąd istnieje $\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{\exp x}}=0$. Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej $k\geq 1$ prawdziwa jest implikacja ${\bigg [}\exists \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{k}}{\exp x}}=0{\bigg ]}\implies {\bigg [}\exists \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{k+1}}{\exp x}}=0{\bigg ]}$.

Skoro istnieje $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{k}}{\exp x}}=0$, to istnieje granica ilorazu pochodnych funkcji $x\mapsto x^{k+1}$ i $x\mapsto \exp x$, gdyż

${\frac {(x^{k+1})'}{(\exp x)'}}=(k+1){\frac {x^{k}}{\exp x}}\to 0$ gdy $x\to \infty$.

Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{k+1}}{\exp x}}=0$. Na mocy zasady indukcji matematycznej granica $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{\exp x}}=0$ istnieje dla dowolnej liczby naturalnej $n$.

Wniosek 11.5.

Jeśli $w$ jest dowolnym wielomianem, to $\lim _{x\to \infty }{\frac {w(x)}{\exp x}}=0$. Innymi słowy: funkcja wykładnicza $\exp$ zmierza do nieskończoności szybciej niż jakikolwiek wielomian.

Dowód 11.5.

Każdy wielomian jest sumą skończonej liczby jednomianów $w(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$. Skoro iloraz dowolnego jednomianu i funkcji wykładniczej zmierza do zera, to na podstawie twierdzenia o granicy sumy wnioskujemy, że suma ilorazów

$a_{0}{\frac {1}{\exp x}}+a_{1}{\frac {x}{\exp x}}+\dots +a_{n}{\frac {x^{n}}{\exp x}}$

także zmierza do zera, gdy $x\to \infty$.

Plik:Am1w11.0005.svg

Rysunek do dowodu 11.6.

Wniosek 11.6.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ istnieje $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{a}}{\exp x}}=0$.

Dowód 11.6.

Dla dowolnej liczby $a\in \mathbb {R}$ potrafimy znaleźć liczbę naturalną $n$ większą od $|a|$. Wówczas dla $x>1$ mamy

$0\leq {\frac {x^{a}}{\exp x}}\leq {\frac {x^{n}}{\exp x}}$.

Skoro ${\frac {x^{n}}{\exp x}}\to 0$, gdy $x\to \infty$, to na podstawie twierdzenia o trzech ciągach istnieje $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{a}}{\exp x}}=0$.

W poprzednim module rozważaliśmy funkcję

$f(t)=\left\{{\begin{aligned}&\exp(-t^{-1}),&{\text{ dla }}t>0\\&0,&{\text{ dla }}t\leq 0\end{aligned}}\right.$.

i pozostawiliśmy bez dowodu stwierdzenie, że

Uwaga 11.7.

Funkcja $f$ ma w punkcie $t=0$ pochodne dowolnie wysokiego rzędu równe zeru.

Dowód 11.7.

Dla $h<0$ iloraz różnicowy ${\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}={\frac {0-0}{h}}=0$. Z kolei dla $h>0$ mamy

${\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}={\frac {\exp(-h^{-1})-0}{h}}={\frac {h^{-1}}{\exp(h^{-1})}}={\frac {x}{\exp x}}$,gdzie $x=h^{-1}$.

Zauważmy, że $x\to \infty$, gdy $h\to 0^{+}$. Ponieważ istnieje granica $\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{\exp x}}=0$, więc istnieje również granica $\lim _{h\to 0+}{\frac {h^{-1}}{\exp(h^{-1})}}=0$. Stąd istnieje $f'(0)=0$. Dla $x\neq 0$ wyznaczamy pochodną, korzystając z twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji i dostajemy (po uwzględnieniu istnienia pochodnej w zerze)

$f'(t)=\left\{{\begin{aligned}&t^{-2}\exp(-t^{-1}),&{\text{ dla }}t>0\\&0,&{\text{ dla }}t\leq 0\end{aligned}}\right.$.

Rozważmy następnie iloraz różnicowy ${\dfrac {f'(0+h)-f'(0)}{h}}$. Dla $h<0$ mamy ${\frac {f'(0+h)-f'(0)}{h}}={\frac {0-0}{h}}=0$, natomiast gdy $h>0$ zachodzi równość

${\dfrac {f'(0+h)-f'(0)}{h}}={\dfrac {h^{-2}\exp(-h^{-1})-0}{h}}={\frac {h^{-3}}{\exp(h^{-1})}}={\frac {x^{3}}{\exp x}}$ gdzie $x=h^{-1}$. Podobnie jak poprzednio, ponieważ istnieje granica $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}}{\exp x}}=0$, więc istnieje również granica $\lim _{h\to 0+}{\frac {h^{-3}}{\exp(h^{-1})}}=0$.

Stąd istnieje $f''(0)=0$. Wobec tego, że dla $t<0$ mamy $f''(t)=0$, a dla dodatnich $t>0$ - na mocy twierdzeń o pochodnej iloczynu oraz złożenia funkcji - zachodzi równość

${\begin{aligned}f''(t)&={\big (}t^{-2}\exp(-t^{-1}){\big )}'\\&=(t^{-2})'\exp(-t^{-1})+t^{-2}{\big (}\exp(-t^{-1}){\big )}'\\&=-2t^{-3}\exp(-t^{-1})+t^{-2}(t^{-2})\exp(-t^{-1})\\&=(-2t^{-3}+t^{-4})\exp(-t^{-1}).\end{aligned}}$

Wobec tego druga pochodna $f''$ istnieje w każdym punkcie $t$ i wyraża się wzorem

$f''(t)=\left\{{\begin{aligned}&(t^{-4}-2t^{-3})\exp(-t^{-1}),&{\text{ dla }}t>0\\&0,&{\text{ dla }}t\leq 0.\end{aligned}}\right.$. Kontynuując rozumowanie spostrzegamy, że dla dowolnej liczby naturalnej $k$ pochodna rzędu $k$ funkcji $f$ wyraża się wzorem $f^{(k)}(t)=\left\{{\begin{aligned}&v(t^{-1})\exp(-t^{-1}),&{\text{ dla }}t>0\\&0,&{\text{ dla }}t\leq 0,\end{aligned}}\right.$. gdzie $x\mapsto v(x)$ jest pewnym wielomianem zmiennej $x$ (podstawiamy $x=t^{-1}$). Wobec tego iloraz różnicowy w zerze pochodnej rzędu $k$ funkcji $f$ jest postaci ${\frac {f^{(k)}(0+h)-f^{(k)}(0)}{h}}=\left\{{\begin{aligned}&0,&{\text{ dla }}h<0,\\&{\frac {w(t^{-1})}{\exp(t^{-1})}},&{\text{ dla }}h>0,\end{aligned}}\right.$. gdzie $w:x\mapsto w(x)$ jest także pewnym wielomianem. Po podstawieniu za $t^{-1}=x$, wobec istnienia

granicy $\lim _{x\to \infty }{\frac {w(x)}{\exp x}}=0$ wnioskujemy o istnieniu granicy $\lim _{t\to 0+}{\frac {w(t^{-1})}{\exp(t^{-1})}}=0$. W oczywisty sposób istnieje także granica ilorazu różnicowego przy $h\to 0^{-}$, więc istnieje $f^{(k+1)}(0)=0$. Na mocy zasady indukcji matematycznej istnieje więc $f^{(n)}(0)=0$ dla dowolnej liczby naturalnej $n$.

Porównajmy zachowanie w sąsiedztwie zera oraz nieskończoności funkcji logarytmicznej i funkcji $x\mapsto x^{a}$, gdy $a>0$. Wykażemy, że

Uwaga 11.8.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>0$ istnieją granice

$\lim _{x\to 0+}x^{a}\ln x=0\ {\text{ oraz }}\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x^{a}}}=0$.

Dowód 11.8.

Obie funkcje $x\mapsto \ln x$ oraz $x\mapsto x^{-a}$ są różniczkowalne w prawostronnym sąsiedztwie zera i istnieją granice $\lim _{x\to 0+}\ln x=-\infty$ oraz $\lim _{x\to 0+}x^{-a}=\infty$. Ponadto iloraz pochodnych tych funkcji

${\frac {(\ln x)'}{(x^{-a})'}}={\frac {x^{-1}}{-ax^{-a-1}}}=-a^{-1}x^{a}$

zmierza do zera, gdy $x\to 0+$ dla dowolnej liczby $a>0$. Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje

$\lim _{x\to 0+}x^{a}\ln x=0$.

Z kolei przy $x\to \infty$ mamy $\ln x\to \infty$, $x^{a}\to \infty$ dla $a>0$. Iloraz pochodnych tych funkcji

${\frac {(\ln x)'}{(x^{a})'}}={\frac {x^{-1}}{ax^{a-1}}}={\frac {1}{ax^{a}}}$ zmierza do zera przy $x\to \infty$ dla dowolnej liczby $a>0$. Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje także $\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x^{a}}}=0$.

Uwagę można podsumować krótko stwierdzeniem, że funkcja logarytmiczna zmierza do nieskończoności wolniej niż jakakolwiek potęga zmiennej $x$ o dodatnim wykładniku. W sąsiedztwie zera z kolei funkcja logarytmiczna zmierza tak wolno do minus nieskończoności, że pomnożenie jej przez jakąkolwiek potęgę zmiennej $x$ o dodatnim wykładniku stanowi wyrażenie zbieżne do zera.

Reguła de l'Hospitala pozwala łatwo wykazać istnienie szeregu ważnych granic.

Twierdzenie 11.9.

Istnieją granice

a) $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$,

b) $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$,

c) $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$,

d) $\lim _{x\to \infty }{\big (}1+{\frac {a}{x}}{\big )}^{x}=\exp a$, dla dowolnej liczby $a\in \mathbb {R}$.

Dowód 11.9.

a) Funkcje $f(x)=\sin x$ i $g(x)=x$ są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument $x$ zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych ${\frac {(\sin x)'}{(x)'}}={\frac {\cos x}{1}}\to 1$, gdy $x\to 0$. Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$.

b) Funkcje $f(x)=1-\cos x$ i $g(x)=x^{2}$ są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument $x$ zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych ${\frac {(1-\cos x)'}{(x^{2})'}}={\frac {\sin x}{2x}}={\frac {1}{2}}{\frac {\sin x}{x}}\to {\frac {1}{2}}$ na mocy punktu a). Stąd istnieje także $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$.

c) Podobnie jak w obu poprzednich punktach $f(x)=\ln(1+x)$ i $g(x)=x$ są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument $x$ zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych ${\frac {(\ln(1+x))'}{(x)'}}={\frac {1}{x+1}}\to 1$, gdy $x\to 0$. Stąd istnieje $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$.

d) Wyrażenie ${\big (}1+{\frac {a}{x}}{\big )}^{x}$ stanowi przy $x\to \infty$ symbol nieoznaczony typu $1^{\infty }$. Przekształćmy je

${\big (}1+{\frac {a}{x}}{\big )}^{x}=\exp {\bigg (}x\ln {\big (}1+{\frac {a}{x}}{\big )}{\bigg )}$.

Zauważmy, że wykładnik

$x\ln {\big (}1+{\frac {a}{x}}{\big )}=a\cdot {\frac {\ln {\big (}1+{\frac {a}{x}}{\big )}}{\frac {a}{x}}}\to a\cdot 1,{\text{ gdy }}x\to \infty$, gdyż na mocy poprzedniego punktu iloraz ${\frac {\ln(1+t)}{t}}$ zmierza do jedynki, gdy $t={\frac {a}{x}}$ zmierza do zera. Stąd wobec ciągłości funkcji wykładniczej istnieje granica $\lim _{x\to \infty }\exp {\bigg (}x\ln {\big (}1+{\frac {a}{x}}{\big )}{\bigg )}=\exp a$.

Zwróćmy uwagę, że z faktu istnienia granicy ciągu $a_{n}=(1+{\frac {1}{n}})^{n}$, nie można wyciągnąć bezpośrednio wniosku o istnieniu granicy funkcji $f(x)={\big (}1+{\frac {a}{x}}{\big )}^{x}$ przy $x\to \infty$, stąd dowód punktu d) uwagi jest konieczny, aby stwierdzić, że granica ta istnieje.

Równość asymptotyczna

Niech $a\in {\bar {\mathbb {R} }}$. Zauważmy, że istnienie skończonej granicy ilorazu $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=C$ oznacza, że w pewnym sąsiedztwie punktu $a$ funkcje $f$ oraz $Cg$ są w przybliżeniu równe, gdyż zgodnie z definicją granicy funkcji w punkcie $a\in \mathbb {R}$ dla dowolnej liczby $\epsilon >0$ istnieje

$\delta >0$ taka, że

${\big |}{\frac {f(x)}{g(x)}}-C{\big |}<\epsilon$ o ile $x\in (a-\delta ,a+\delta )$,

co jest równoważne nierówności

$C-\epsilon <{\frac {f(x)}{g(x)}}<C+\epsilon$,

czy też

$(C-\epsilon )g(x)<f(x)<(C+\epsilon )g(x)$

w pobliżu punktu $a$. Podobnie, gdy $a=\infty$, istnienie skończonej granicy $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=C$ oznacza, że dla dużych wartości argumentu $x$ obie funkcje $f$ oraz $Cg$ są w przybliżeniu równe w tym sensie, że dla $\epsilon >0$ potrafimy wskazać taką liczbę $M$, że na prawo od niej, tj. w przedziale $(M,+\infty )$ iloraz ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ różni się od stałej $C$ o nie więcej niż $\epsilon$. Innymi słowy dla $x>M$ mamy nierówność $(C-\epsilon )g(x)<f(x)<(C+\epsilon )g(x)$.

Niech $f,g$ będą funkcjami określonymi w prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu $a$ (tj. w przedziale postaci $(a,a+h)$ lub $(a-h,a)$, dla pewnego $h>0$, gdy $a$ jest liczbą skończoną, bądź też w przedziale postaci $(M,\infty )$, $(-\infty ,M)$, gdy $a=\infty$ lub $a=-\infty$).

Definicja 11.10.

Mówimy, że funkcja $f$ jest rzędu $o(g(x))$ w punkcie $a$, jeśli istnieje granica (prawo- lub lewostronna) ilorazu ${\dfrac {f(x)}{g(x)}}$ w punkcie $a$ i jest równa zeru.

Jeśli iloraz ${\big |}{\dfrac {f(x)}{g(x)}}{\big |}$ jest ograniczony w pewnym prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu $a$, to mówimy, że funkcja $f$ jest rzędu $O(g(x))$ w punkcie $a$.

Symbole $o(g(x))$ oraz $O(g(x))$ nazywamy symbolami Landaua. Czytamy je o małe oraz O duże od $g(x)$.

Zauważmy, że jeśli $f(x)=o(g(x))$ w punkcie $a$, to $f(x)=O(g(x))$ w tym punkcie, ale nie na odwrót.

Uwaga 11.11.

Z twierdzenia o granicy sumy i granicy ilorazu dwóch funkcji wynikają natychmiast wzory stanowiące arytmetykę symboli $o$ małe i $O$ duże.

${\begin{aligned}&o+o=o\ \ &\ &o\cdot o=o\\&o+O=O\ \ &\ &o\cdot O=o\\&O+O=O\ \ &\ &O\cdot O=O.\end{aligned}}$

Często spotyka się symbole $o$ małe i $O$ duże w następujących przypadkach:

$f(x)=g(x)+o(x^{n}),\ x\to a$

co oznacza, że iloraz ${\dfrac {f(x)-g(x)}{x^{n}}}$ zmierza do zera przy $x\to a$

lub

$f(x)=g(x)+O(x^{n}),\ x\to a$,

gdy iloraz ${\big |}{\dfrac {f(x)-g(x)}{x^{n}}}{\big |}$ jest ograniczony przy $x\to a$.

W szczególności zapis

$f(x)=g(x)+o(1)$

oznacza po prostu, że

$\lim _{x\to a}{\big (}f(x)-g(x){\big )}=0$,

zaś

$f(x)=g(x)+O(1)$

piszemy, gdy różnica

$|f(x)-g(x)|$

jest ograniczona przy $x\to a$.

Definicja 11.12.

Jeśli istnieją stałe $a,b$ takie, że $f(x)=ax+b+o(1)$, przy $x\to \infty$ (lub $x\to -\infty$), to prostą o równaniu $y=ax+b$ nazywamy asymptotą ukośną funkcji $f$ przy $x$ zmierzających do $\infty$ (lub $-\infty$). W szczególnym przypadku, gdy $a=0$ mówimy, że funkcja $f$ ma asymptotę poziomą o równaniu $y=b$.

Przypomnijmy także, że jeśli w pewnym punkcie $a\in \mathbb {R}$ istnieje granica nieskończona $\lim _{x\to a+}f(x)$ (lub $\lim _{x\to a-}f(x)$), to mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $a$ asymptotę pionową prawostronną (odpowiednio: asymptotę pionową lewostronną) $x=a$. Jeśli prosta $x=a$ jest zarówno prawo- i lewostronną asymptotą pionową funkcji $f$ (czyli obie granice jednostronne $\lim _{x\to a+}f(x)$ oraz $\lim _{x\to a-}f(x)$ istnieją i są nieskończone), to mówimy krótko, że funkcja $f$ ma asymptotę pionową $x=a$.

Uwaga 11.13.

Jeśli funkcja $f$ ma asymptotę ukośną $y=ax+b$ w nieskończoności (odpowiednio: ma asymptotę ukośną $y=\alpha x+\beta$ w minus nieskończoności), to $a=\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}{\text{ oraz }}b=\lim _{x\to \infty }(f(x)-ax)$

i odpowiednio:

$\alpha =\lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}{\text{ oraz }}\beta =\lim _{x\to -\infty }(f(x)-\alpha x)$

Dowód 11.13.

Jeśli $f(x)=ax+b+o(1)$, to ${\frac {f(x)}{x}}-a-{\frac {b}{x}}\to 0$, gdy $x\to \infty$. Stąd ${\frac {f(x)}{x}}\to a$.

Skoro $f(x)-ax=b+o(1)$, to $f(x)-ax\to b$, przy $x\to \infty$. W przypadku asymptoty ukośnej w minus nieskończoności rozumowanie jest identyczne.

<flash>file=am1w11.0010.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(a)

<flash>file=am1w11.0020.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(b)

Przykład 11.14.

a) Funkcja $f(x)=\exp x$ ma asymptotę poziomą $y=0$ przy $x\to -\infty$, czyli $\exp x=0+o(1)$, gdy $x\to -\infty$. Nie ma asymptoty przy $x\to \infty$.

b) Funkcja $f(x)=\mathrm {arctg} \,x$ ma przy $x\to -\infty$ asymptotę poziomą $y=-{\frac {\pi }{2}}$, a przy $x\to \infty$ asymptotę poziomą $y={\frac {\pi }{2}}$. Możemy to też zapisać w postaci $\mathrm {arctg} \,x={\frac {\pi }{2}}+o(1)$ przy $x\to \infty$ oraz $\mathrm {arctg} \,x=-{\frac {\pi }{2}}+o(1)$ przy $x\to -\infty$.

c) Funkcja $f(x)={\sqrt {4x^{2}-1}}$ ma przy $x\to \infty$ asymptotę ukośną $y=2x$, a przy $x\to -\infty$ asymptotę ukośną $y=-2x$, czyli ${\sqrt {4x^{2}-1}}=2x+o(1)$ przy $x\to \infty$ oraz

${\sqrt {4x^{2}-1}}=-2x+o(1)$ przy $x\to -\infty$.

<flash>file=am1w11.0030.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(c)

<flash>file=am1w11.0040.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(d)

d) Funkcja $f(x)={\frac {\sin x}{x}}$ ma przy $x\to \infty$ oraz przy $x\to -\infty$ asymptotę poziomą $y=0$, czyli ${\frac {\sin x}{x}}=0+o(1)$ przy $|x|\to \infty$.

e) Zauważmy także, że $\sinh x={\frac {1}{2}}\exp x+o(1)$ przy $x\to \infty$ oraz $\sinh x=-{\frac {1}{2}}\exp(-x)+o(1)$ przy $x\to -\infty$.

<flash>file=am1w11.0050.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(e)

<flash>file=am1w11.0060.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 11.14.(f)

f) Podobnie $\cosh x={\frac {1}{2}}\exp x+o(1)$ przy $x\to \infty$ oraz $\cosh x={\frac {1}{2}}\exp(-x)+o(1)$ przy $x\to -\infty$.

Z powyższych przykładów wynika, że

Uwaga 11.15.

Funkcja $f$ może mieć mieć asymptotę ukośną (lub poziomą) w plus nieskończoności daną innym równaniem niż asymptota ukośna w minus nieskończoności. Może też na przykład mieć wyłącznie asymptotę w minus nieskończoności i nie mieć asymptoty w plus nieskończoności. Stąd istnieje konieczność wyznaczenia granicy ilorazu ${\frac {f(x)}{x}}$ osobno przy $x\to \infty$ i

$x\to -\infty$.

Przykład 11.16.

Wykazaliśmy już, że ${\frac {\sin x}{x}}=1+o(1)$, co można też zapisać $\sin x=x+o(x)$, przy $x\to 0$. Można też wykazać, że

${\begin{aligned}\sin x&=1-{\frac {x^{3}}{3!}}+o(x^{3})\\&=1-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+o(x^{5})\\&=1-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+o(x^{5})\\&=1-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+o(x^{7})\end{aligned}}$

Ogólnie z twierdzenia Taylora (które wykazaliśmy w poprzednim module) wynika, że

Uwaga 11.17.

Jeśli $f$ jest funkcją $(n+1)$ razy różniczkowalną w otoczeniu punktu $a$, to ${\begin{aligned}f(a+h)&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}h^{k}+o(h^{n})\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}h^{k}+O(h^{n+1}),{\text{ przy }}h\to 0.\end{aligned}}$

Uwagi o efektywnym stosowaniu reguły de l'Hospitala

Zwróciliśmy już uwagę na fakt, że reguła de l'Hospitala -- podobnie jak każde twierdzenie -- wymaga przed zastosowaniem tezy sprawdzenia, czy spełnione są założenia twierdzenia. Jednak nawet w przypadku, gdy są spełnione założenia, nie ma gwarancji, czy rachunki w oparciu o wzór z tezy prowadzą krótką drogą do celu, jakim jest stwierdzenie czy istnieje oraz ile wynosi granica ilorazu dwóch funkcji.

Rozważmy następujący

Przykład 11.18.

Sprawdźmy, czy istnieje granica

$\lim _{t\to 1}{\frac {8t-{\sqrt {63+t}}}{4t-{\sqrt[{3}]{63+t}}}}$. Zauważamy, że iloraz funkcji $f(t)=8t-{\sqrt {63+t}}$ oraz $g(t)=4-{\sqrt[{3}]{63+t}}$ stanowi w punkcie $t=1$ symbol nieoznaczony ${\frac {0}{0}}$. Obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu, więc pozostaje zbadanie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych ${\frac {f'(t)}{g'(t)}}$ w punkcie $t=1$. Próba wyznaczenia ilorazu pochodnych prowadzi do otrzymania ułamków piętrowych, które nie zachęcają do dalszych przekształceń. Zauważmy jednak, że podstawienie $u:={\sqrt[{6}]{63+t}}$ sprowadza zadanie do zbadania, czy istnieje granica

${\frac {8t-{\sqrt {63+t}}}{4t-{\sqrt[{3}]{63+t}}}}={\frac {8(u^{6}-63)-u^{3}}{4(u^{6}-63)-u^{2}}}$

ilorazu dwóch wielomianów $F(u)=8(u^{6}-63)-u^{3}$ oraz $G(u)=4(u^{6}-63)-u^{2}$ w punkcie $u=2$, ponieważ $u(t)={\sqrt[{6}]{63+t}}\to 2$, gdy $t\to 1$. Iloraz ${\frac {F(u)}{G(u)}}$ stanowi symbol nieoznaczony ${\frac {0}{0}}$ w punkcie $u=2$. Sprawdzenie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych tych wielomianów jest bardzo proste

${\frac {F'(u)}{G'(u)}}={\frac {48u^{5}-3u^{2}}{24u^{5}-2u}}={\frac {48u^{4}-3u}{24u^{4}-2}}\to {\frac {381}{191}}$ gdy $u\to 2$.

Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje granica $\lim _{t\to 1}{\frac {8t-{\sqrt {63+t}}}{4t-{\sqrt[{3}]{63+t}}}}$ i jest równa ${\dfrac {381}{191}}$.

Przykład 11.19.

Zbadajmy, czy funkcja $f(x)=(x+2)\exp {\big (}{\frac {x+1}{x-1}}{\big )}$ ma asymptotę ukośną. Stwierdzamy, że iloraz ${\frac {f(x)}{x}}\to e$, gdy $x\to \infty$. Następnie stajemy przed zadaniem wyznaczenia granicy różnicy $f(x)-ex$ przy $x\to \infty$. Wyrażenie to stanowi symbol nieoznaczony typu $\infty -\infty$. Przekształćmy je:

${\begin{aligned}f(x)-ex&=(x+2)\exp {\big (}{\frac {x+1}{x-1}}{\big )}-ex\\&=x{\bigg (}{\big (}1+{\frac {2}{x}}{\big )}\exp {\big (}{\frac {x+1}{x-1}}{\big )}-e{\bigg )}\\&={\frac {{\big (}1+{\frac {2}{x}}{\big )}\exp {\big (}{\frac {x+1}{x-1}}{\big )}-e}{\frac {1}{x}}}.\end{aligned}}$

Ułamek o liczniku ${\big (}1+{\frac {2}{x}}{\big )}\exp {\big (}{\frac {x+1}{x-1}}{\big )}-e$ oraz mianowniku ${\frac {1}{x}}$ stanowi symbol nieoznaczony typu ${\frac {0}{0}}$ przy $x\to \infty$. Licznik i mianownik są funkcjami różniczkowalnymi w sąsiedztwie nieskończoności, tj. w przedziale typu $(M,\infty )$, dla pewnego $M$. Jednak już próba policzenia i uproszczenia pochodnej licznika jest dość nieprzyjemnym zadaniem. Zauważmy jednak, że podstawienie za ${\frac {x+1}{x-1}}=:u$ nowej zmiennej, znacznie uprości rachunki. Mamy bowiem

${\begin{aligned}f(x)-ex&=x{\bigg (}{\big (}1+{\frac {2}{x}}{\big )}\exp {\big (}{\frac {x+1}{x-1}}{\big )}-e{\bigg )}\\&={\frac {u+1}{u-1}}{\bigg [}{\big (}1+2{\frac {u-1}{u+1}}{\big )}\exp u-e{\bigg ]}\\&={\frac {(3u-1)\exp u-(u+1)e}{u-1}}.\end{aligned}}$ Stwierdzenie, czy istnieje granica ilorazu ${\frac {(3u-1)\exp u-(u+1)e}{u-1}}$ przy $u\to 1$ (ponieważ $u(x)={\frac {x+1}{x-1}}\to 1$, gdy $x\to \infty$) jest prostym zadaniem. Iloraz funkcji $F(u)=(3u-1)\exp u-(u+1)e$ oraz $G(u)=u-1$ stanowi symbol nieoznaczony typu ${\frac {0}{0}}$ w punkcie $u=1$; obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu. Wyznaczamy iloraz pochodnych i potrzebną granicę ${\frac {F'(u)}{G'(u)}}={\frac {3\exp u+(3u-1)\exp u-e}{1}}\to 4e$, gdy $u\to 1$. Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje granica ilorazu $\lim _{u\to 1}{\frac {F(u)}{G(u)}}$ i jest równa $4e$. Stąd ostatecznie wnioskujemy, że prosta $y=ex+4e$ jest asymptotą ukośną funkcji $f$ przy $x\to \infty$. Podobne obliczenia pozwalają stwierdzić, że ta sama prosta jest także asymptotą funkcji $f$ przy $x\to -\infty$.