Analiza matematyczna 1/Test 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji $\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {{\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x-1}}}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x-1}}}}$ w przedziale $\displaystyle (1,+\infty )$ jest równa

$\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-{\frac {x}{{\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}}}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle f'(x)={\frac {{\sqrt {x-1}}-{\sqrt {x+1}}}{{\sqrt {x-1}}+{\sqrt {x+1}}}}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}-1}}}}$. Dobrze

Styczna do wykresu funkcji $\displaystyle \displaystyle f(x)=x\sin x$ w punkcie $\displaystyle ({\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})$ ma równanie

$\displaystyle \displaystyle y=x$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle y=(-{\frac {\pi }{2}}+1)x+{\frac {\pi ^{2}}{4}}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle y=x+{\frac {\pi }{2}}$. Źle

Funkcja

$\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3}\sin({\frac {1}{x}}),\ \ {\text{dla}}\ \ x\neq 0,\\0,\ \ {\text{dla}}\ \ x=0,\end{cases}}$

jest ciągła Dobrze

ma pochodną w punkcie $\displaystyle x=0$ Dobrze

ma ciągłą pochodną w punkcie $\displaystyle x=0$. Dobrze

Równanie $\displaystyle \displaystyle x^{e}=ke^{x}$

nie ma rozwiązań dla $\displaystyle k\in (0,1)$ Źle

nie ma rozwiązań dla $\displaystyle k>1$ Dobrze

ma dwa rozwiązania dla $\displaystyle k=1$. Źle

Pochodna funkcji $\displaystyle \displaystyle f(x)=x^{e^{x}}$ jest równa

$\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^{x}x^{e^{x}-1}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^{x}x^{e^{x}}\ln x$ Źle

$\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^{x}x^{e^{x}-1}{\frac {x\ln x+1}{x}}$. Źle

Niech $\displaystyle x_{0}\in (a,b)$ i niech $\displaystyle f$ będzie funkcją ciągłą w przedziale $\displaystyle (a,b)$ taką, że istnieje granica

$\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {f(x_{0}+t)-f(x_{0}-t)}{t}}=A.$

Wtedy

istnieje pochodna funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_{0}$ i $\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=A$ Źle

jeśli istnieje pochodna funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_{0}$, to $\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=A$ Źle

jeśli istnieje pochodna funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_{0}$, to $\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})={\frac {A}{2}}$. Dobrze