Analiza matematyczna 1/Test 3: Odległość i ciągi

Odległość punktów $\displaystyle \displaystyle {\bigg (}{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\bigg )}$ i $\displaystyle \displaystyle {\bigg (}-{\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\bigg )}$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$

jest większa w metryce $\displaystyle d_{1}$ niż w metryce $\displaystyle d_{2}$ Dobrze

jest większa w metryce $\displaystyle d_{2}$ niż w metryce $\displaystyle d_{\infty }$ Dobrze

jest większa w metryce $\displaystyle d_{\infty }$ niż w metryce $\displaystyle d_{1}$ Źle

Ciąg $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}\}\subseteq (\mathbb {R} ^{2},d_{2})$ dany wzorem $\displaystyle \displaystyle a_{n}={\bigg (}(-1)^{n}{\frac {1}{n}},(-1)^{n}{\bigg )}$

jest ciągiem Cauchy'ego Źle

jest zbieżny w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ Źle

ma podciąg spełniający warunek Cauchy'ego Dobrze

Niech $\displaystyle A$ będzie kulą o środku w punkcie $\displaystyle \displaystyle (1,1)$ i promieniu $\displaystyle 1$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ z metryką taksówkową $\displaystyle d_{1}.$ kula ta zawiera się w kuli

o środku $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ i promieniu $\displaystyle 2$ w metryce taksówkowej $\displaystyle d_{1}$ Źle

o środku $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ i promieniu $\displaystyle 2$ w metryce euklidesowej $\displaystyle d_{2}$ Źle

o środku $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ i promieniu $\displaystyle 2$ w metryce maksimowej $\displaystyle d_{\infty }$ Dobrze

Ciąg $\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{4}},{\frac {1}{9}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{25}},{\frac {1}{36}},\ldots$ jest podciągiem ciągu

$\displaystyle \displaystyle {\bigg \{}{\frac {1}{n}}{\bigg \}}_{n\in \mathbb {N} }$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\bigg \{}{\frac {1}{n^{2}}}{\bigg \}}_{n\in \mathbb {N} }$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\bigg \{}{\frac {1}{2n}}{\bigg \}}_{n\in \mathbb {N} }$ Źle

Zbiór $\displaystyle \displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }{\bigg [}-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}{\bigg ]}$ jest równy

$\displaystyle \displaystyle \{0\}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \emptyset$ Źle

$\displaystyle \displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }{\bigg (}-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}{\bigg )}$ Dobrze

Niech $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}\}$ będzie ciągiem w $\displaystyle \displaystyle (\mathbb {R} ^{4},d_{2})$ takim, że $\displaystyle \displaystyle a_{n}={\bigg (}(-1)^{n},{\frac {1}{n}},(-1)^{n}{\frac {1}{n}},(-1)^{n+1}{\bigg )}.$ Wtedy

$\displaystyle a_{n}$ ma podciąg zbieżny do $\displaystyle \displaystyle (1,0,0,1)$ Źle

$\displaystyle a_{n}$ ma podciąg zbieżny do $\displaystyle \displaystyle (-1,0,0,1)$ Dobrze

$\displaystyle a_{n}$ jest rozbieżny Dobrze