Analiza matematyczna 1/Test 12: Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej

Funkcja

$\displaystyle x\mapsto \ln {\frac {1}{x}}$ jest wklęsła Źle

$\displaystyle x\mapsto \cosh {x}$ jest wypukła Dobrze

$\displaystyle x\mapsto {\sqrt {1-x^{2}}}$ jest wypukła. Źle

Funkcja $\displaystyle f$ jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym przedziale $\displaystyle (0,+\infty )$. Wtedy:

Jeśli $\displaystyle f$ jest wypukła, to $\displaystyle f'$ jest rosnąca. Dobrze

Jeśli $\displaystyle f'$ jest malejąca, to $\displaystyle f$ jest wklęsła. Dobrze

Jeśli $\displaystyle f''(1)=0$, to $\displaystyle f$ ma w $\displaystyle 1$ punkt przegięcia. Źle

Funkcja $\displaystyle f(x)=x^{3}+12\mathrm {arctg} \,{x}$ jest

wypukła w przedziale $\displaystyle (1,+\infty )$ Dobrze

wklęsła w przedziale $\displaystyle (-\infty ,-1)$ Dobrze

wypukła w przedziale $\displaystyle (-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})$. Źle

Funkcja $\displaystyle x\mapsto x\arcsin(\cos {x})$ jest wypukła w przedziale

$\displaystyle ({\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}})$ Źle

$\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},0)$ Dobrze

$\displaystyle (5\pi ,6\pi )$. Dobrze

Jeśli funkcja $\displaystyle f$ jest wypukła w przedziale $\displaystyle (0,1)$, to

funkcja $\displaystyle f^{2}(x)=(f(x))^{2}$ też jest wypukła w tym przedziale Źle

funkcja $\displaystyle f^{3}(x)=(f(x))^{3}$ też jest wypukła w tym przedziale Źle

funkcja $\displaystyle (0,1)\ni x\mapsto xf(x)$ też jest wypukła w tym przedziale. Źle

Niech $\displaystyle x,y,z$ będą dowolnymi liczbami z przedziału $\displaystyle (0,1)$. Prawdziwa jest nierówność

$\displaystyle \displaystyle xyz\leq {\frac {(x+y+z)^{3}}{27}}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle e^{\frac {2x+y}{3}}\leq {\frac {2}{3}}(e^{x}+e^{y})$ Dobrze

$\displaystyle 2\displaystyle \mathrm {ctg} \,{\frac {2x+y+z}{4}}\leq \mathrm {ctg} \,x+{\frac {1}{2}}(\mathrm {ctg} \,y+\mathrm {ctg} \,z)$. Dobrze