Analiza matematyczna 1/Test 10: Wzór Taylora. Ekstrema

Funkcja $x\mapsto (5-x){\sqrt[{3}]{x^{2}}}$

ma dokładnie dwa punkty krytyczne Dobrze

nie ma ekstremum w punkcie $0$ Źle

ma minimum w punkcie 2. Źle

Funkcja $x\rightarrow x+\ln(\sin {x})$

ma punkty krytyczne postaci ${\frac {\pi }{4}}+k\pi$, gdzie $k\in {\mathbb {Z} }$ Źle

ma tylko minima Źle

nie ma punktów krytycznych w przedziale $({\frac {5\pi }{2}},3\pi )$. Źle

Niech $f(x)=x^{m}(1-x)^{n}$ dla pewnych liczb naturalnych $m,n$. Wtedy

funkcja $f$ ma dokładnie trzy punkty krytyczne Źle

funkcja $f$ ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale $(0,1)$ Dobrze

funkcja $f$ może mieć dwa minima. Dobrze

Liczba ${\frac {\pi }{2}}$ jest największą wartością funkcji

$x\mapsto x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}$ w przedziale $[0,1]$ Dobrze

$x\mapsto \mathrm {arctg} \,x+\mathrm {arc\,ctg} \,x$ w przedziale $[1,+\infty )$ Dobrze

$x\mapsto (1-x)\arccos {x}$ w przedziale $[0,1]$. Dobrze

Z prostokątnego arkusza blachy o wymiarach $a\times b$ wycięto w każdym rogu kwadrat o boku $x$. Z pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o wysokości $x$. Wartość $x$ została tak dobrana, że pojemność pudełka jest maksymalna. Wtedy

jeśli $a=3$ i $b=8$, to pojemność ta wynosi ${\frac {200}{27}}$ Dobrze

jeśli $a=b$, to $x={\frac {a}{6}}$ Dobrze

jeśli $a$ i $b$ są całkowite, to $x$ jest wymierne. Źle

Przykładem funkcji różniczkowalnej dwukrotnie, która nie jest klasy $C^{2}$ jest funkcja

$x\mapsto \left\{{\begin{array}{ll}x^{4}\cos {\frac {1}{x}},&{\rm {gdy}}\;x\neq 0\\0,&{\rm {gdy}}\;x=0\end{array}}\right.$. Dobrze

$x\mapsto \left\{{\begin{array}{ll}-x^{3},&{\rm {gdy}}\;x\geq 0\\x^{3},&{\rm {gdy}}\;x<0\end{array}}\right.$. Źle

$x\mapsto \left\{{\begin{array}{ll}x\sinh x,&{\rm {gdy}}\;x\geq 0\\-x\sinh x,&{\rm {gdy}}\;x<0\end{array}}\right.$.. Dobrze