Analiza matematyczna 1/Test 10: Wzór Taylora. Ekstrema

Funkcja $\displaystyle x\mapsto (5-x){\sqrt[{3}]{x^{2}}}$

ma dokładnie dwa punkty krytyczne Dobrze

nie ma ekstremum w punkcie $\displaystyle 0$ Źle

ma minimum w punkcie 2. Źle

Funkcja $\displaystyle x\rightarrow x+\ln(\sin {x})$

ma punkty krytyczne postaci $\displaystyle {\frac {\pi }{4}}+k\pi$, gdzie $\displaystyle k\in {\mathbb {Z}}$ Źle

ma tylko minima Źle

nie ma punktów krytycznych w przedziale $\displaystyle ({\frac {5\pi }{2}},3\pi )$. Źle

Niech $\displaystyle f(x)=x^{m}(1-x)^{n}$ dla pewnych liczb naturalnych $\displaystyle m,n$. Wtedy

funkcja $\displaystyle f$ ma dokładnie trzy punkty krytyczne Źle

funkcja $\displaystyle f$ ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale $\displaystyle (0,1)$ Dobrze

funkcja $\displaystyle f$ może mieć dwa minima. Dobrze

Liczba $\displaystyle {\frac {\pi }{2}}$ jest największą wartością funkcji

$\displaystyle x\mapsto x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}$ w przedziale $\displaystyle [0,1]$ Dobrze

$\displaystyle x\mapsto \mathrm {arctg} \,x+\mathrm {arc\,ctg} \,x$ w przedziale $\displaystyle [1,+\infty )$ Dobrze

$\displaystyle x\mapsto (1-x)\arccos {x}$ w przedziale $\displaystyle [0,1]$. Dobrze

Z prostokątnego arkusza blachy o wymiarach $\displaystyle a\times b$ wycięto w każdym rogu kwadrat o boku $\displaystyle x$. Z pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o wysokości $\displaystyle x$. Wartość $\displaystyle x$ została tak dobrana, że pojemność pudełka jest maksymalna. Wtedy

jeśli $\displaystyle a=3$ i $\displaystyle b=8$, to pojemność ta wynosi $\displaystyle {\frac {200}{27}}$ Dobrze

jeśli $\displaystyle a=b$, to $\displaystyle x={\frac {a}{6}}$ Dobrze

jeśli $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$ są całkowite, to $\displaystyle x$ jest wymierne. Źle

Przykładem funkcji różniczkowalnej dwukrotnie, która nie jest klasy $\displaystyle C^{2}$ jest funkcja

$\displaystyle \displaystyle x\mapsto \left\{{\begin{array}{ll}x^{4}\cos {\frac {1}{x}},&{\rm {gdy}}\;x\neq 0\\0,&{\rm {gdy}}\;x=0\end{array}}\right.$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle x\mapsto \left\{{\begin{array}{ll}-x^{3},&{\rm {gdy}}\;x\geq 0\\x^{3},&{\rm {gdy}}\;x<0\end{array}}\right.$ Źle

$\displaystyle \displaystyle x\mapsto \left\{{\begin{array}{ll}x\sinh x,&{\rm {gdy}}\;x\geq 0\\-x\sinh x,&{\rm {gdy}}\;x<0\end{array}}\right.$. Dobrze