Tekst źródłowy strony Analiza matematyczna 1/Test 10: Wzór Taylora. Ekstrema

<quiz>
Funkcja <math>x\mapsto (5-x)\sqrt[3]{x^2}</math>

<rightoption>ma dokładnie dwa punkty krytyczne</rightoption>

<wrongoption>nie ma ekstremum w punkcie <math>0</math></wrongoption>

<wrongoption>ma minimum w punkcie 2.</wrongoption>
</quiz>


<quiz>
Funkcja <math>x\rightarrow x+\ln(\sin{x})</math>

<wrongoption>ma punkty krytyczne postaci <math>\frac{\pi}{4}+ k\pi</math>, gdzie <math>k\in
\Bbb Z</math></wrongoption>

<wrongoption>ma tylko minima</wrongoption>

<wrongoption>nie ma punktów krytycznych w przedziale <math>(\frac{5\pi}2,3\pi)</math>.</wrongoption>
</quiz>


<quiz>
Niech <math>f(x)= x^m(1-x)^n</math> dla pewnych
liczb naturalnych <math>m, n</math>. Wtedy

<wrongoption>funkcja <math>f</math> ma dokładnie trzy punkty krytyczne</wrongoption>

<rightoption>funkcja <math>f</math> ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale
<math>(0,1)</math></rightoption>

<rightoption>funkcja <math>f</math> może mieć dwa minima.</rightoption>
</quiz>


<quiz>
Liczba <math>\frac \pi2</math> jest największą
wartością funkcji

<rightoption><math>x\mapsto x\arcsin x +\sqrt{1-x^2}</math> w przedziale <math>[0,1]</math></rightoption>

<rightoption><math>x\mapsto \mathrm{arctg}\, x+ \mathrm{arc\,ctg}\, x</math> w przedziale <math>[1,+\infty)</math></rightoption>

<rightoption><math>x\mapsto (1-x)\arccos{x}</math> w przedziale <math>[0,1]</math>.</rightoption>
</quiz>


<quiz>
Z prostokątnego arkusza blachy o
wymiarach <math>a \times b</math> wycięto w każdym rogu kwadrat o boku <math>x</math>. Z
pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o
wysokości <math>x</math>. Wartość <math>x</math> została tak dobrana, że pojemność
pudełka jest maksymalna. Wtedy

<rightoption>jeśli <math>a=3</math> i <math>b=8</math>, to pojemność ta wynosi <math>\frac{200}{27}</math></rightoption>

<rightoption>jeśli <math>a=b</math>, to <math>x=\frac{a}6</math></rightoption>

<wrongoption>jeśli <math>a</math> i <math>b</math> są całkowite, to <math>x</math> jest wymierne.</wrongoption>
</quiz>


<quiz>
Przykładem funkcji różniczkowalnej
dwukrotnie, która nie jest klasy <math>C^2</math> jest funkcja

<rightoption><math>x\mapsto
\left\{\begin{array} {ll}x^4\cos \frac1x, & {\rm gdy} \; x\neq 0\\
0,& {\rm gdy } \; x=0\end{array} \right.</math>.</rightoption>

<wrongoption><math>x\mapsto
\left\{\begin{array} {ll}-x^3, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
x^3,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>.</wrongoption>

<rightoption><math>x\mapsto
\left\{\begin{array} {ll}x\sinh x, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
-x\sinh x,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>..</rightoption>
</quiz>