Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 6: Szeregi liczbowe

6. Szeregi liczbowe

Ćwiczenie 6.1.

Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1) $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {5+(-1)^{n}}{\sqrt {n}}},$

(2) $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {1}{n}}\sin {\frac {1}{n^{2}}}.$

Wskazówka

(1) Zastosować kryterium porównawcze (patrz twierdzenie 6.9.).
(2) Zastosować kryterium porównawcze. Wykorzystać nierówność $\displaystyle \sin x\leq x.$

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że

$\forall n\in \mathbb {N} :{\frac {5+(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}\geq {\frac {4}{\sqrt {n}}}.$

Ponieważ szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4}{\sqrt {n}}}=4\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}$ jest rozbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}$; patrz przykład 6.15.) zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) wnioskujemy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {5+(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}$ jest rozbieżny.

(2) Rozważmy następujący szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}},$ o którym wiemy, że jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\displaystyle \alpha =2$; patrz przykład 6.15.). Ponieważ zachodzi nierówność liczbowa

$\forall x>0:\sin x\leq x,$

(patrz lemat 5.7.) więc dla dowolnego $n\in \mathbb {N}$ mamy

$0\leq \cos {\frac {1}{n}}\cdot \sin {\frac {1}{n^{2}}}\leq \sin {\frac {1}{n^{2}}}=\sin {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n^{2}}}.$

Zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) wnioskujemy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {1}{n}}\sin {\frac {1}{n^{2}}}$ jest zbieżny.

Ćwiczenie 6.2.

Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1) $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n}}},$

(2) $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {1}{n}}.$

Wskazówka

(1) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
(2) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.

Rozwiązanie

(1) Ponieważ

$\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n}}}=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}=1,$

zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.

(2) Ponieważ

$\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }\cos {\frac {1}{n}}=1,$

zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.

Ćwiczenie 6.3.

Obliczyć sumy następujących szeregów liczbowych:
(1) $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}},$

(2) $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}+2^{n}}{6^{n}}},$

(3) $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)(2n+1)}}.$

Wskazówka

(1) Zauważyć, że $\displaystyle {\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}$ i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.
(2) Zauważyć, że szereg ten jest sumą pewnych dwóch szeregów.
(3) Zauważyć, że $\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n+1}}{\bigg )}$ i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.

Rozwiązanie

(1) Ponieważ

$\forall n\in \mathbb {N} :{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}},$

zatem $N$-ta suma częściowa szeregu ma postać

$S_{N}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}={\bigg (}1-{\frac {1}{2}}{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}{\bigg )}+$ ${\bigg (}{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}{\bigg )}+\ldots +{\bigg (}{\frac {1}{N-1}}-{\frac {1}{N}}{\bigg )}=1-{\frac {1}{N}}.$

Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=\lim _{N\rightarrow +\infty }S_{N}=\lim _{N\rightarrow +\infty }{\bigg (}1-{\frac {1}{N}}{\bigg )}=1.$

(2) Zauważmy, że

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}+2^{n}}{6^{n}}}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}}{6^{n}}}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{6^{n}}}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}},$

zatem nasz szereg jest sumą dwóch szeregów geometrycznych, których sumy potrafimy policzyć:

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}+2^{n}}{6^{n}}}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}+{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {1}{3}}}}=1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}.$

(3) Ponieważ

$\forall n\in \mathbb {N} :{\frac {1}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n+1}}{\bigg )},$

zatem $N$-ta suma częściowa szeregu ma postać

$S_{N}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{2}}{\bigg [}{\bigg (}1-{\frac {1}{3}}{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}{\bigg )}+$ ${\bigg (}{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}{\bigg )}+\ldots +{\bigg (}{\frac {1}{2N-1}}-{\frac {1}{2N+1}}{\bigg )}{\bigg ]}={\frac {1}{2}}{\bigg [}1-{\frac {1}{2N+1}}{\bigg ]}.$

Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=\lim _{N\rightarrow +\infty }S_{N}=\lim _{N\rightarrow +\infty }{\frac {1}{2}}{\bigg (}1-{\frac {1}{2N+1}}{\bigg )}={\frac {1}{2}}.$

Ćwiczenie 6.4.

Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1) $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\ln n}},$

(2) $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(\ln(\ln n))^{\ln n}}}.$

Wskazówka

(1) Pokazać, że $\displaystyle \ln n\leq n$ (na przykład wykorzystując nierówność Bernoullego; patrz uwaga 2.16.) i skorzystać z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.).
(2) Zastosować kryterium porównawcze (patrz twierdzenie 6.9.), porównując z szeregiem $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

Rozwiązanie

(1) Z nierówności Bernoullego (patrz uwaga 2.16.) mamy $\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx$ dla każdego $x\geq -1$ oraz $n\in \mathbb {N} .$ Wstawiając $x=1,$ dostajemy

$1+n\leq 2^{n}<e^{n},$

gdzie w drugiej nierówności wykorzystano monotoniczność funkcji potęgowej. Logarytmując obie strony (logarytmem o podstawie $e$) i korzystając z faktu, że funkcja logarytm o podstawie większej od $1$ jest rosnąca, dostajemy

$\ln(1+n)\leq \ln e^{n}=n\ln e=n.$

Z monotoniczności funkcji logarytm mamy ponadto

$\ln n<\ln(1+n),$

zatem ostatecznie pokazaliśmy, że

$\forall n\in \mathbb {N} :\ln n\leq n,$

czyli także $\displaystyle {\frac {1}{\ln n}}\geq {\frac {1}{n}}.$ Ponieważ szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ jest rozbieżny, zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\ln n}}$ też jest rozbieżny.

(2) Porównajmy szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(\ln(\ln n))^{\ln n}}}$ z szeregiem $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}},$ o którym wiemy, że jest zbieżny. W tym celu rozwiążmy nierówność:

${\frac {1}{(\ln(\ln n))^{\ln n}}}\leq {\frac {1}{n^{2}}}.$

Przekształcamy ją równoważnie

$(\ln(\ln n))^{\ln n}\geq n^{2},$

następnie logarytmujemy obie strony

$(\ln n)(\ln(\ln(\ln n)))\geq 2\ln n$ $\ln(\ln(\ln n))\geq 2$ $\ln(\ln n)\geq e^{2},$ $\ln n\geq e^{e^{2}},$ $n\geq e^{e^{e^{2}}}.$

Zatem pokazaliśmy, że

$\forall n\geq e^{e^{e^{2}}}:{\frac {1}{(\ln(\ln n))^{\ln n}}}\leq {\frac {1}{n^{2}}}.$

Na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(\ln(\ln n))^{\ln n}}}$ jest więc zbieżny.

Ćwiczenie 6.5.

Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1) $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\displaystyle n^{1+{\frac {1}{n}}}}},$

(2) $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\displaystyle n{\bigg (}1+{\frac {1}{n}}{\bigg )}^{n}}}.$

Wskazówka

(1) Szereg ten jest postaci $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\displaystyle n\cdot a_{n}}},$ gdzie $\displaystyle \{a_{n}\}$ jest pewnym ciągiem. Co można powiedzieć o ciągu $\displaystyle \{a_{n}\}$?
(2) Patrz wskazówka do punktu (1).

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że szereg ten jest postaci $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\displaystyle n\cdot a_{n}}},$ gdzie

$a_{n}=n^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{n}},$

zatem ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}$ jest zbieżny oraz $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=1.$ Korzystając z definicji granicy ciągu, dla $\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}},$ mamy

$\exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq n:{\frac {1}{2}}\leq a_{n}\leq {\frac {3}{2}}.$

Zatem

$\forall n\geq N:{\frac {1}{\displaystyle n\cdot a_{n}}}\geq {\frac {1}{\displaystyle n\cdot {\frac {3}{2}}}}={\frac {2}{3n}}.$

Ponieważ szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{3n}}={\frac {2}{3}}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) dostajemy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\displaystyle n^{1+{\frac {1}{n}}}}}$ jest także rozbieżny.

(2) Zauważmy, że szereg ten jest postaci $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\displaystyle n\cdot a_{n}}},$ gdzie

$a_{n}={\bigg (}1+{\frac {1}{n}}{\bigg )}^{n},$

zatem ciąg $\displaystyle \{a_{n}\}$ jest zbieżny oraz $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=e.$ Korzystając z definicji granicy ciągu, wiemy, że

$\exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq n:a_{n}\leq 3.$

Zatem

$\forall n\geq N:{\frac {1}{\displaystyle n\cdot a_{n}}}\geq {\frac {1}{\displaystyle 3n}}.$

Ponieważ szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3n}}={\frac {1}{3}}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) dostajemy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\displaystyle n{\bigg (}1+{\frac {1}{n}}{\bigg )}^{n}}}$ jest także rozbieżny.

Ćwiczenie 6.6.

Niech $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ będzie szeregiem o wyrazach dodatnich.
(1) Udowodnić, że jeśli szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest zbieżny, to także szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{2}$ jest zbieżny.
(2) Pokazać, że nie zachodzi implikacja odwrotna w powyższym stwierdzeniu.

Wskazówka

(1) Należy skorzystać z warunku koniecznego zbieżności szeregów faktu, że

$\forall x\in (0,1):\ x^{2}<x$

oraz kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.).

(2) Kontrprzykładu szukaj wśród uogólnionych szeregów harmonicznych.

Rozwiązanie

(1) Ze zbieżności szeregu $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ wynika w szczególności, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0,$ a stąd w szczególności

$\exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:0<a_{n}<1.$

Ponieważ dla $x\in (0,1)$ mamy $x^{2}<x,$ zatem

$\forall n\geq N:a_{n}^{2}<a_{n}.$

Na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) dostajemy zatem, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{2}$ jest zbieżny.

(2) Rozważmy szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},$ gdzie $\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}$ dla $n\in \mathbb {N} .$ Wówczas szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{2}$ jest zbieżny, ale szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest rozbieżny.