Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej
9. Pochodna funkcji jednej zmiennej
Ćwiczenie 9.1.
Obliczyć pochodną funkcji (o ile istnieje)
a)
, , , , ,b)
, , , , , ,c)
, , , ,d)
Ćwiczenie 9.2.
Dla jakich wartości parametrów
funkcjaĆwiczenie 9.3.
Znaleźć
a) równanie prostej stycznej do wykresu funkcji
w punkcie ,b) równanie prostej stycznej do wykresu funkcji
w punkciec) kąt pod jakim przecinają się funkcje
i w punkcie .Ćwiczenie 9.4.
Zbadać monotoniczność funkcji
a)
,b)
,c)
d) , .Ćwiczenie 9.5.
a) Wykazać, że równanie
ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.b) Wykazać, że równanie
ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.c) Wykazać, że jeśli wielomian
stopnia ma (licząc z krotnościami) pierwiastków rzeczywistych, to jego pochodna ma (licząc z krotnościami) pierwiastków rzeczywistych.Ćwiczenie 9.6.
Wykazać, że funkcja dana wzorem
gdzie
, jest ciągła w każdym punkcie, ale nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie osi rzeczywistej.Tak więc funkcja
na pewno nie ma pochodnej w żadnym punkcie zbioru
Zwróćmy uwagę na fakt, że zbiór
jest gęsty na odcinku , tzn. .Teraz weźmy dowolny punkt
. Wykażemy, że nie ma pochodnej w punkcie . Zwróćmy uwagę, że funkcja jest parzysta, bo jest funkcją parzystą. Możemy więc założyć bez straty ogólności, że . Zauważmy również, że dla dowolnej liczby naturalnej istnieje liczba całkowita taka, że
Zdefiniujmy następujący ciąg
. Oczywiście , gdy . Oznaczmy przez -tą resztę naszego szereguZauważmy, że
jest funkcją okresową o okresie . Z tego wynika, że dla . Ponadto dla każdego mamyRaz jeszcze wykorzystując równość
dla , wnioskujemy, żeRozważmy teraz następujący iloraz różnicowy
Widzimy, więc że powyższy iloraz różnicowy nie ma skończonej granicy przy
, czyli funkcja nie ma pochodnej w punkcie .