Uzupelnic z.am1.09.010| a) Mamy
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \aligned &(3x^4+7x^3-2x^2+x-10)'=12x^3+21x^2-4x+1, \\ &(\sqrt {x^2+x-1})'=\frac {2x+1}{2\sqrt {x^2+x-1}}, \\ &\left (\frac {2x^3+x+1}{x^2+2x+3}\right )'=\frac {(6x^2+1)(x^2+2x+3)-(2x^3+x+1)(2x+2)}{(x^2+2x+3)^2} \\ &=\frac {2x^4+8x^3+17x^2-2x+1}{(x^2+2x+3)^2}, \\ &(e^{1-x}\ln (x^2+1))'=-e^{1-x}\ln (x^2+1)+e^{1-x}\frac {2x}{x^2+1}=e^{1-x}\left (\frac {2x}{x^2+1}-\ln (x^2+1)\right ), \\ &(\sin^2(\cos \frac {1}{x^4+1}))'=2\sin (\cos \frac {1}{x^4+1})\cos (\cos \frac {1}{x^4+1})\sin (\frac {1}{x^4+1})\frac {4x^3}{(x^4+1)^2}. \endaligned }
b) Wykażemy, że
dla
. Niech
, wtedy
. Funkcją odwrotną
do
jest
. Korzystając z
twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej otrzymujemy
ponieważ
dla
.
Wykażemy, że
. Niech
, wtedy
. Funkcją odwrotną do
jest
. Korzystając z twierdzenia o pochodnej
funkcji odwrotnej otrzymujemy
ponieważ
.
Wykażemy, że
. Niech
, wtedy
. Funkcją odwrotną do
jest
. Korzystając z
twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej otrzymujemy
ponieważ
.
Wykażemy, że
dla
. Niech
, wtedy
. Funkcją odwrotną do
jest
. Korzystając z
twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej otrzymujemy
ponieważ
.
Wykażemy, że
dla
. Niech
, wtedy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x=\tgh y}
. Funkcją odwrotną do
jest Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f_5^{-1}(y)=\tgh y}
. Korzystając z twierdzenia o
pochodnej funkcji odwrotnej otrzymujemy
ponieważ Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \cosh^2 y=\frac {1}{1-\tgh ^2 y}=\frac {1}{1-x^2}}
.
Wykażemy, że
dla
. Niech
, wtedy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x=\ctgh y}
. Funkcją odwrotną do
jest
. Korzystając z
twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej otrzymujemy
ponieważ Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \sinh^2 y=\frac {1}{\ctgh ^2 y-1}=\frac {1}{x^2-1}}
.
c) Mamy
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \aligned &(x^x)'=(e^{x\ln x})'=e^{x\ln x}(1+\ln x)=x^x(1+\ln x) , \\ &(x^{\frac 1x})'=(e^{\frac {\ln x}{x}})'=e^{\frac {\ln x}{x}}\left (\frac {1-\ln x}{x^2}\right )=x^{\frac 1x} \left (\frac {1-\ln x}{x^2}\right ), \\ &((\sin x)^{\cos x})'=(e^{\cos x\ln (\sin x)})'=e^{\cos x\ln (\sin x)}\left (\frac {\cos^2 x}{\sin x}- \sin x\ln (\sin x)\right ) \\ &=(\sin x)^{\cos x}\left (\frac {\cos^2 x}{\sin x}- \sin x\ln (\sin x)\right ), \\ &((\ln x)^x)'=(e^{x\ln (\ln x)})'=e^{x\ln (\ln x)}\left (\ln (\ln x)+\frac {1}{\ln x}\right )=(\ln x)^x\left (\ln (\ln x)+\frac {1}{\ln x}\right ). \endaligned }
d) Zauważmy, że dla
pochodna
. Ponadto dla
mamy
Pozostaje nam wykazać istnienie pochodnej w punkcie
.
Obliczmy granice prawo i lewostronne ilorazu różnicowego. Mamy
oraz (podstawiając
)
Wynika z tego, że istnieje granica ilorazu różnicowego, czyli
funkcja ma pochodną
.
{}
