Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej

Z Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 1
Wersja z dnia 10:38, 12 sie 2006 autorstwa Gracja (dyskusja | edycje)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

{stre}{Streszczenie} {wsk}{Wskazówka} {rozw}{Rozwiązanie} {textt}{} {thm}{Twierdzenie}[section] {stw}[thm]{Stwierdzenie} {lem}[thm]{Lemat} {uwa}[thm]{Uwaga} {exa}[thm]{Example} {dfn}[thm]{Definicja} {wn}[thm]{Wniosek} {prz}[thm]{Przykład} {zadan}[thm]{Zadanie}

{} {}

Pochodna funkcji jednej zmiennej. Ćwiczenia

Zadania

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Obliczyć pochodną funkcji (o ile istnieje)

a) , , , , ,

b) , , , , , ,

c) , , , ,

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle d)\ f(x)=\begincases &e^{-\frac {1}{x^2}}, \ \ \text{ dla }x>0 \\ &0, \ \ \text{ dla }x\leq 0. \endcases }

{black}

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Dla jakich wartości parametrów funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle f(x)=\begincases &x^2+3x-4, \ \ \text{ dla }x\leq 1 \\ &ax+b, \text{ dla }x>1 \endcases }

ma pochodną na całym zbiorze liczb rzeczywistych.

{black}

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Znaleźć

a) równanie prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie ,

b) równanie prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie

c) kąt pod jakim przecinają się funkcje i w punkcie .

{black}

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Zbadać monotoniczność funkcji

a) ,

b) ,

c) ,

d) .

{black}

Ćwiczenie [Uzupelnij]

a) Wykazać, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

b) Wykazać, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

c) Wykazać, że jeśli wielomian stopnia ma (licząc z krotnościami) pierwiastków rzeczywistych, to jego pochodna ma (licząc z krotnościami) pierwiastków rzeczywistych.

{black}

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Wykazać, że funkcja dana wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^k } g(4^k x), \ }

gdzie , jest ciągła w każdym punkcie, ale nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie osi rzeczywistej.

{black}

Wskazówki

Wskazówka
Wskazówka
Wskazówka
Wskazówka
Wskazówka
Wskazówka

Rozwiązania i odpowiedzi

Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rozwiązanie