Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m (Zastępowanie tekstu - "\endaligned" na "\end{align}")
m (Zastępowanie tekstu - "\aligned" na "\begin{align}")
Linia 42: Linia 42:
 
a) Mamy
 
a) Mamy
  
<math> \displaystyle \aligned &(3x^4+7x^3-2x^2+x-10)'=12x^3+21x^2-4x+1, \\
+
<math> \displaystyle \begin{align} &(3x^4+7x^3-2x^2+x-10)'=12x^3+21x^2-4x+1, \\
 
&(\sqrt {x^2+x-1})'=\frac {2x+1}{2\sqrt {x^2+x-1}}, \\
 
&(\sqrt {x^2+x-1})'=\frac {2x+1}{2\sqrt {x^2+x-1}}, \\
 
&\left (\frac {2x^3+x+1}{x^2+2x+3}\right )'=\frac
 
&\left (\frac {2x^3+x+1}{x^2+2x+3}\right )'=\frac
Linia 112: Linia 112:
 
c) Mamy
 
c) Mamy
  
<center><math> \displaystyle \aligned &(x^x)'=(e^{x\ln x})'=e^{x\ln x}(1+\ln x)=x^x(1+\ln x) , \\
+
<center><math> \displaystyle \begin{align} &(x^x)'=(e^{x\ln x})'=e^{x\ln x}(1+\ln x)=x^x(1+\ln x) , \\
 
&(x^{\frac 1x})'=(e^{\frac {\ln x}{x}})'=e^{\frac {\ln x}{x}}\left
 
&(x^{\frac 1x})'=(e^{\frac {\ln x}{x}})'=e^{\frac {\ln x}{x}}\left
 
(\frac {1-\ln x}{x^2}\right )=x^{\frac 1x}
 
(\frac {1-\ln x}{x^2}\right )=x^{\frac 1x}

Wersja z 12:41, 9 cze 2020

9. Pochodna funkcji jednej zmiennej

Ćwiczenie 9.1.

Obliczyć pochodną funkcji (o ile istnieje)

a) , , , , ,

b) , , , , , ,

c) , , , ,

d)

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.2.

Dla jakich wartości parametrów funkcja

ma pochodną na całym zbiorze liczb rzeczywistych.
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.3.

Znaleźć

a) równanie prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie ,

b) równanie prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie

c) kąt pod jakim przecinają się funkcje i w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.4.

Zbadać monotoniczność funkcji

a) ,

b) ,

c) ,

d) .
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.5.

a) Wykazać, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

b) Wykazać, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

c) Wykazać, że jeśli wielomian stopnia ma (licząc z krotnościami) pierwiastków rzeczywistych, to jego pochodna ma (licząc z krotnościami) pierwiastków rzeczywistych.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.6.

Wykazać, że funkcja dana wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^k } g(4^k x), \ }

gdzie , jest ciągła w każdym punkcie, ale nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie osi rzeczywistej.

Wskazówka
Rozwiązanie

Tak więc funkcja na pewno nie ma pochodnej w żadnym punkcie zbioru




Zwróćmy uwagę na fakt, że zbiór jest gęsty na odcinku , tzn. .

Teraz weźmy dowolny punkt . Wykażemy, że nie ma pochodnej w punkcie . Zwróćmy uwagę, że funkcja jest parzysta, bo jest funkcją parzystą. Możemy więc założyć bez straty ogólności, że . Zauważmy również, że dla dowolnej liczby naturalnej istnieje liczba całkowita taka, że




Zdefiniujmy następujący ciąg . Oczywiście , gdy . Oznaczmy przez -tą resztę naszego szeregu

Zauważmy, że jest funkcją okresową o okresie . Z tego wynika, że dla . Ponadto dla każdego mamy

Raz jeszcze wykorzystując równość dla , wnioskujemy, że

Rozważmy teraz następujący iloraz różnicowy

Widzimy, więc że powyższy iloraz różnicowy nie ma skończonej granicy przy , czyli funkcja nie ma pochodnej w punkcie .