Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

9. Pochodna funkcji jednej zmiennej

Ćwiczenie 9.1.

Obliczyć pochodną funkcji (o ile istnieje)

a) , , , , ,

b) , , , , , ,

c) , , , ,

d)

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.2.

Dla jakich wartości parametrów funkcja

ma pochodną na całym zbiorze liczb rzeczywistych.
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.3.

Znaleźć

a) równanie prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie ,

b) równanie prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie

c) kąt pod jakim przecinają się funkcje i w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.4.

Zbadać monotoniczność funkcji

a) ,

b) ,

c) ,

d) .
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.5.

a) Wykazać, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

b) Wykazać, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

c) Wykazać, że jeśli wielomian stopnia ma (licząc z krotnościami) pierwiastków rzeczywistych, to jego pochodna ma (licząc z krotnościami) pierwiastków rzeczywistych.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 9.6.

Wykazać, że funkcja dana wzorem

gdzie , jest ciągła w każdym punkcie, ale nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie osi rzeczywistej.

Wskazówka
Rozwiązanie