Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 3: Odległość i ciągi

3. Odległość i ciągi

Ćwiczenie 3.1.

Wykazać, że funkcje $d_{\infty }$ i $d_{1}$ zdefiniowane na $\displaystyle \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {R} ^{N}$ jako

${\begin{aligned}d_{\infty }(x,y)&\ {\stackrel {df}{=}}\ &\max _{i=1,\ldots ,N}|x_{i}-y_{i}|\qquad {\text{dla}}\quad x,y\in \mathbb {R} ^{N},\\d_{1}(x,y)&\ {\stackrel {df}{=}}\ &\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-y_{i}|\qquad {\text{dla}}\quad x,y\in \mathbb {R} ^{N}\end{aligned}}$

są metrykami (patrz przykład 3.5. i przykład 3.6.).

Wskazówka

Wszystkie trzy warunki definicji metryki są łatwe do sprawdzenia. W nierówności trójkąta należy wykorzystać nierówność dla wartości bezwzględnej w $\displaystyle \mathbb {R}$ (to znaczy nierówność trójkąta dla metryki euklidesowej w $\displaystyle \mathbb {R}$).

Rozwiązanie

Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla $d_{\infty }$:
Dla $x,y\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

${\begin{aligned}d_{\infty }(x,y)=0&\Longleftrightarrow \max _{i=1,\ldots ,N}|x_{i}-y_{i}|=0\Longleftrightarrow |x_{1}-y_{1}|=\ldots =|x_{N}-y_{N}|=0\\&\Longleftrightarrow {\big [}x_{1}=y_{1},\ldots ,x_{N}=y_{N}{\big ]}\Longleftrightarrow x=y.\end{aligned}}$

Wobec tego, że $|a-b|=|b-a|$, dla $x,y\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

$d_{\infty }(x,y)=\max _{i=1,\ldots ,N}|x_{i}-y_{i}|=\max _{i=1,\ldots ,N}|y_{i}-x_{i}|=d_{\infty }(x,y)$

zatem spełniony jest warunek symetrii.
Wobec tego, że $|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$, dla $x,y,z\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

${\begin{aligned}d_{\infty }(x,z)&=\max _{i=1,\ldots ,N}|x_{i}-z_{i}|=\max _{i=1,\ldots ,N}|x_{i}-y_{i}+y_{i}-z_{i}|\leq \max _{i=1,\ldots ,N}{\big (}|x_{i}-y_{i}|+|y_{i}-z_{i}|{\big )}\\&\leq \max _{i=1,\ldots ,N}|x_{i}-y_{i}|+\max _{i=1,\ldots ,N}|y_{i}-z_{i}|=d_{\infty }(x,y)+d_{\infty }(y,z),\end{aligned}}$

zatem pokazaliśmy warunek trójkąta. Wykazaliśmy zatem że $d_{\infty }$ jest metryką w $\displaystyle \mathbb {R} ^{N}.$

Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla $d_{1}$:
Dla $x,y\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

${\begin{aligned}d_{1}(x,y)=0&\Longleftrightarrow \sum _{i=1}^{N}|x_{i}-y_{i}|=0\ \Longleftrightarrow |x_{1}-y_{1}|=\ldots =|x_{N}-y_{N}|=0\\&\Longleftrightarrow {\big [}x_{1}=y_{1},\ \ldots ,\ x_{N}=y_{N}{\big ]}\ \Longleftrightarrow x=y.\end{aligned}}$

Dla $x,y\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

$d_{1}(x,y)=\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-y_{i}|=\sum _{i=1}^{N}|y_{i}-x_{i}|=d_{1}(x,y)$,

zatem spełniony jest warunek symetrii.
Dla $x,y,z\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

${\begin{aligned}d_{1}(x,z)&=\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-z_{i}|=\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-y_{i}+y_{i}-z_{i}|\leq \sum _{i=1}^{N}{\big (}|x_{i}-y_{i}|+|y_{i}-z_{i}|{\big )}\\&=\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-y_{i}|+\sum _{i=1}^{N}|y_{i}-z_{i}|=d_{1}(x,y)+d_{1}(y,z),\end{aligned}}$

zatem pokazaliśmy warunek trójkąta. Wykazaliśmy zatem, że $d_{1}$ jest metryką w $\displaystyle \mathbb {R} ^{N}.$

Plik:AM1.M03.C.R01.mp4

Odległość punktu od zbioru

Ćwiczenie 3.2.

Dla danej metryki $d$ w $\mathbb {R} ^{N}$ można zdefiniować odległość punktu $x$ od zbioru niepustego $A$ jako infimum wszystkich odległości między $x$ a punktami zbioru $A$, czyli

$\mathrm {dist} \,(x,A)=\inf _{z\in A}d(x,z).$

Dany jest zbiór $A=[0,1]\times [0,1]\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ oraz dwa punkty $x=(2,3)$ oraz $y=(3,-2).$ Wyznaczyć
(a) odległość punktów $x$ i $y$;
(b) $\displaystyle \mathrm {dist} \,(x,A)$;

(c) kolejno w metrykach: euklidesowej $d_{2}$; taksówkowej $d_{1}$; maksimowej $d_{\infty }.$

Wskazówka

Należy wykonać rysunek zbioru $A$ oraz wszystkich zadanych punktów w układzie współrzędnych. Przy liczeniu odległości punktów oraz odległości punktu od zbioru należy skorzystać z definicji poszczególnych metryk oraz rysunku.

Rozwiązanie

(1) Metryka euklidesowa $d_{2}$.

Plik:AM1.M03.C.R02.svg

Odległość euklidesowa

(a) Odległość punktów $x$ i $y$

${\begin{array}{lll}d_{2}(x,y)&=&d_{2}{\big (}(2,3),(3,-2){\big )}\\&=&{\sqrt {(2-3)^{2}+(3+2)^{2}}}={\sqrt {26}}.\end{array}}$

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana w punkcie $z=(1,1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest większa, niż do $z$), zatem

$\mathrm {dist} \,(x,A)=d_{2}{\big (}(2,3),(1,1){\big )}={\sqrt {(2-1)^{2}+(3-1)^{2}}}={\sqrt {5}}.$

(2) Metryka taksówkowa $d_{1}$

(a) Odległość punktów $x$ i $y$

$d_{1}(x,y)=d_{1}{\big (}(2,3),(3,-2){\big )}=|2-3|+|3+2|=6.$

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana w punkcie $z=(1,1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest większa, niż do $z$), zatem

$\mathrm {dist} \,(x,A)=d_{1}{\big (}(2,3),(1,1){\big )}=|2-1|+|3-1|=3.$

(3) Metryka maksimowa $d_{\infty }$

(a) Odległość punktów $x$ i $y$

$d_{\infty }(x,y)=d_{\infty }{\big (}(2,3),(3,-2){\big )}=\max {\big \{}|2-3|,|3+2|{\big \}}=5.$

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana na przykład w punkcie $z=(0,1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest niemniejsza, niż do $z$), zatem

$\mathrm {dist} \,(x,A)=d_{2}{\big (}(2,3),(0,1){\big )}=\max {\big \{}|2-0|,|3-1|{\big \}}=2.$

<flash>file=AM1.M03.C.R03.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Odległość taksówkowa

<flash>file=AM1.M03.C.R04.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Odległość maksimowa

Ćwiczenie 3.3.

Udowodnić, że dla każdego ciągu $\displaystyle \{x_{n}\}\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ istnieje co najwyżej jedna granica, to znaczy:

${\bigg [}\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g_{1}\in \mathbb {R} ^{N}\quad {\text{i}}\quad \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g_{2}\in \mathbb {R} ^{N}{\bigg ]}\ \Longrightarrow g_{1}=g_{2}.$

Wskazówka

Przeprowadzić dowód niewprost. Dobrać $\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}d(g_{1},g_{2})$ w definicji granicy ciągu.

Rozwiązanie

Plik:AM1.M03.C.R05.svg

Ilustracja do dowodu twierdzenia z ćwiczenia 3.3, gdy $N=1$

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

$\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g_{1},\quad \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g_{2}\quad {\text{oraz}}\quad g_{1}\neq g_{2}.$

Niech $\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}d(g_{1},g_{2}).$ Wówczas $\displaystyle \varepsilon >0$ (gdyż założyliśmy, że $g_{1}\neq g_{2}$). Z definicji granicy ciągu wynika, że

${\begin{aligned}\exists N_{1}\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N_{1}:&&d(x_{n},g_{1})<\varepsilon ,\\\exists N_{2}\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N_{2}:&&d(x_{n},g_{2})<\varepsilon .\end{aligned}}$

Niech $N=\max\{N_{1},N_{2}\}.$ Wówczas dla wyrazu $x_{N}$ mamy:

$d(g_{1},g_{2})\leq d(g_{1},x_{N})+d(x_{N},g_{2})<\varepsilon +\varepsilon \ =2\varepsilon$

sprzeczność. Zatem $g_{1}=g_{2}.$

<flash>file=AM1.M03.C.R06.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ilustracja do dowodu twierdzenia z ćwiczenia 3.3, gdy $N=2$

Ćwiczenie 3.4.

Udowodnić, że jeśli ciąg $\displaystyle \{x_{n}\}\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ jest zbieżny, to jest ograniczony.

Wskazówka

Zastosować definicję granicy z ustalonym $\displaystyle \varepsilon >0$ (na przykład $\displaystyle \varepsilon =1$) i zauważyć, że od pewnego miejsca ciąg jest ograniczony.

Rozwiązanie

Załóżmy, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g.$ Ustalmy $\displaystyle \varepsilon =1.$ Z definicji granicy ciągu mamy

$\exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:d(x_{n},g)<1$

(to znaczy wszystkie wyrazy ciągu począwszy od $N$-tego leża w kuli jednostkowej, a więc tworzą zbiór ograniczony). Niech teraz

$R=\max {\big \{}d(x_{1},g),\ d(x_{2},g),\ \ldots ,\ d(x_{N},g){\big \}}+1.$

Wówczas $d(x_{n},g)<R$ dla dowolnego $n\in \mathbb {N} ,$ czyli

$\forall n\in \mathbb {N} :x_{n}\in K(g,R),$

<flash>file=AM1.M03.C.R07.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ilustracja do dowodu twierdzenia z ćwiczenia 3.4.

a to oznacza, że ciąg $\displaystyle \{x_{n}\}$ jest ograniczony.

Ćwiczenie 3.5.

(1) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów otwartych w $\displaystyle \mathbb {R}$ takich, że ich przecięcie nie jest zbiorem otwartym.
(2) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów domkniętych w $\displaystyle \mathbb {R}$ takich, że ich suma nie jest zbiorem domkniętym.

Wskazówka

(1) Rozważyć zstępującą rodzinę przedziałów otwartych (to znaczy rodzinę zbiorów otwartych, z których każdy następny jest zawarty w poprzednim).
(2) Rozważyć wstępującą rodzinę przedziałów domkniętych (to znaczy rodzinę zbiorów domkniętych, z których każdy następny zawiera poprzedni).

Rozwiązanie

(1) Rozważmy przedziały otwarte $\displaystyle U_{n}={\big (}-{\frac {1}{n}},1+{\frac {1}{n}}{\bigg )}$ dla $n\in \mathbb {N} .$ Wówczas

$\bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}=[0,1],$

oraz przedział $\displaystyle [0,1]$ nie jest zbiorem otwartym.

(2) Rozważmy przedziały domknięte $\displaystyle F_{n}={\big [}{\frac {1}{n}},2-{\frac {1}{n}}{\bigg ]}.$ Wówczas

$\bigcup _{n=1}^{\infty }F_{n}=(0,2),$

oraz przedział $\displaystyle (0,2)$ nie jest zbiorem domkniętym.

Ćwiczenie 3.6.

Zbadać, czy ciąg $\displaystyle \{x_{n}\}\subseteq \mathbb {(} {R}^{2},d_{2})$ gdzie $x_{n}={\bigg \{}{\frac {2+n}{n}},n{\bigg \}},$ spełnia warunek Cauchy'ego.

Wskazówka

Zbadać odległość dwóch kolejnych wyrazów ciągu $x_{n}$ i $x_{n+1}$ dla dowolnego $n\in \mathbb {N} .$

Rozwiązanie

Zauważmy, że

$d_{2}(x_{n},x_{n+1})={\sqrt {\underbrace {{\bigg (}{\frac {2+n+1}{n+1}}-{\frac {2+n}{n}}{\bigg )}^{2}} _{\geq 0}+(\underbrace {n+1-n} _{=1})^{2}}}\geq 1,$

a zatem ciąg ten nie spełnia warunku Cauchy'ego, gdyż dla dowolnie dużego $n\in \mathbb {N}$ odległości między kolejnymi wyrazami ciągu są stale większe od $1.$