Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 2: Funkcje elementarne

Funkcje elementarne

Ćwiczenie 2.1.

Dana jest funkcja afiniczna $\displaystyle f(x)=-x+2$. Wyznaczyć:
a) odwrotność tej funkcji,
b) funkcję odwrotną do $\displaystyle f$,
c) złożenie $\displaystyle f^{2}=f\circ f$, $\displaystyle f^{3}=f\circ f\circ f$, $\displaystyle f^{4}=f\circ f\circ f\circ f$, $\displaystyle f^{9}=f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ f$.
d) Czy istnieje malejąca funkcja afiniczna $\displaystyle g$ taka, że $\displaystyle (g\circ g)(x)=4x+3$?

Wskazówka

a) Co to jest odwrotność?
b) Wystarczy wyznaczyć $\displaystyle y$ z równania $\displaystyle x=f(y)$.
c) Skorzystać z definicji złożenia. Składanie funkcji jest łączne.
d) Niech $\displaystyle g(x)=ax+b$. Jakie warunki muszą spełniać współczynniki $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$, aby $\displaystyle (g\circ g)(x)=4x+3$?

Rozwiązanie

a) Odwrotnością funkcji $\displaystyle f$ jest funkcja $\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{-x+2}}.$
b) Wyznaczamy $\displaystyle y$ z równania $\displaystyle x=-y+2$. Stąd $\displaystyle g(x)=-x+2$ jest funkcją odwrotną do $\displaystyle f$. A więc funkcją odwrotną do $\displaystyle f$ jest $\displaystyle f$.
c) Funkcją odwrotną do $\displaystyle f$ jest $\displaystyle f$, więc $\displaystyle f\circ f=\mathrm {id} \,$, gdzie $\displaystyle \mathrm {id} \,:x\mapsto x$ oznacza odwzorowanie identycznościowe. Wobec tego $\displaystyle f^{3}=(f\circ f)\circ f=\mathrm {id} \,\circ f=f$. Podobnie $\displaystyle f^{4}=(f\circ f)\circ (f\circ f)=\mathrm {id} \,\circ \mathrm {id} \,=\mathrm {id} \,$. Spostrzegamy, że:

$\displaystyle f^{n}=\left\{{\begin{array}{ll}f,&{\text{ jeśli }}n{\text{ jest liczbą nieparzystą}},\\\mathrm {id} \,&{\text{ jeśli }}n{\text{ jest liczbą parzystą}},\end{array}}\right.$

wobec tego $\displaystyle f^{9}=f.$
d) Jeśli $\displaystyle g(x)=ax+b$, to $\displaystyle (g\circ g)(x)=a(ax+b)+b=a^{2}x+ab+b$. Jeśli $\displaystyle (g\circ g)(x)=4x+3$, to współczynniki $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ muszą spełniać układ równań:

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}a^{2}=4\\(a+1)b=3,\end{array}}\right.$

który spełniają dwie pary liczb $\displaystyle (a,b)\in \{(-2,-3),\ (2,1)\}$. Funkcja $\displaystyle g_{1}(x)=-2x-3$ jest malejąca, a $\displaystyle g_{2}(x)=2x+1$ jest rosnącą funkcją afiniczną.

Ćwiczenie 2.2.

Dana jest homografia $\displaystyle f(x)={\frac {x+1}{x-1}}$. Wyznaczyć:
a) odwrotność tej homografii,
b) homografię odwrotną,
c) złożenie $\displaystyle f^{2}=f\circ f$, $\displaystyle f^{3}=f\circ f\circ f$, $\displaystyle f^{4}=f\circ f\circ f\circ f$ oraz $\displaystyle f^{11}=f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ f$.
d) Czy istnieje homografia $\displaystyle g:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ taka, że $\displaystyle g\circ g=f$?

Wskazówka

a), b) c) Zastosować wskazówki do ćwiczenia 2.1.
d) Niech $\displaystyle g(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$. Zauważyć, że można przyjąć, że $\displaystyle c=1$ (dlaczego?). Jakie równania muszą spełniać współczynniki $\displaystyle a,\ b,\ d$, aby $\displaystyle g\circ g=f$?

Rozwiązanie

a) Odwrotnością danej homografii jest $\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{f(x)}}={\frac {x-1}{x+1}}$.
b) Homografię odwrotną do $\displaystyle f$ otrzymamy, wyznaczając $\displaystyle x$ z równania $\displaystyle y={\frac {x+1}{x-1}}$. Stąd $\displaystyle x={\frac {y+1}{y-1}}$, czyli homografią odwrotną do $\displaystyle f$ jest ta sama funkcja.
c) Skoro $\displaystyle f^{-1}=f$, więc - podobnie jak w ćwiczeniu 2.1. - złożenie $\displaystyle f\circ f=\mathrm {id} \,$, $\displaystyle f^{4}=(f\circ f)\circ (f\circ f)=\mathrm {id} \,\circ \mathrm {id} \,=\mathrm {id} \,$. Spostrzegamy, że:

$\displaystyle f^{n}=\left\{{\begin{array}{ll}f,&{\text{ jeśli }}n{\text{ jest liczbą nieparzystą}},\\\mathrm {id} \,&{\text{ jeśli }}n{\text{jest liczbą parzystą,}}\end{array}}\right.$

wobec tego $\displaystyle f^{3}=f$, $\displaystyle f^{11}=f$.
d) Niech $\displaystyle g(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$. Współczynnik $\displaystyle c\neq 0$, gdyż w przeciwnym przypadku funkcja $\displaystyle g$ byłaby afiniczna i złożenie $\displaystyle g\circ g$ byłoby funkcją afiniczną, co nie jest możliwe. Skoro $\displaystyle c\neq 0$ możemy podzielić licznik i mianownik rozważanego ułamka przez stałą $\displaystyle c$ i przyjąć, że $\displaystyle c=1$ to znaczy: $\displaystyle g(x)={\frac {ax+b}{x+d}}$. Wobec tego

$\displaystyle {\begin{aligned}(g\circ g)(x)=&g(g(x))={\frac {ag(x)+b}{g(x)+d}}\\=&{\frac {a{\frac {ax+b}{x+d}}+b}{{\frac {ax+b}{x+d}}+d}}={\frac {a(ax+b)+b(x+d)}{ax+b+d(x+d)}}={\frac {(a^{2}+b)x+(ab+bd)}{(a+d)x+(b+d^{2})}}.\end{aligned}}$

Równość $\displaystyle g\circ g=f$ zachodziłaby, gdyby odpowiednie współczynniki homografii $\displaystyle g\circ g$ oraz $\displaystyle f$ były równe,

$\displaystyle 0\neq a^{2}+b=b(a+d)=a+d=-(b+d^{2}).$

Ale jest to niemożliwe, gdyż z równości $\displaystyle b(a+d)=a+d$ wynika, że $\displaystyle b=1$, co pociąga za sobą w konsekwencji nierówność: $\displaystyle 1\leq a^{2}+1=a^{2}+b=-(b+d^{2})=-(1+d^{2})\leq -1$, która jest fałszywa. Nie ma więc takiej homografii $\displaystyle g:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$, aby $\displaystyle g\circ g=f$.

Ćwiczenie 2.3.

Wyrazić w prostszej postaci:
a) $\displaystyle \arcsin(\cos x)$, $\displaystyle \arccos(\sin x)$,
b) $\displaystyle \sin(\arccos x)$, $\displaystyle \cos(\arcsin x)$,
c) $\displaystyle \mathrm {arctg} \,(\mathrm {ctg} \,x)$, $\displaystyle \mathrm {arc\,ctg} \,(\mathrm {tg} \,x)$,
d) $\displaystyle \mathrm {tg} \,(\mathrm {arc\,ctg} \,x)$, $\displaystyle \mathrm {ctg} \,(\mathrm {arctg} \,x)$,
e) $\displaystyle \sinh({\rm {arcosh\,}}x)$, $\displaystyle \cosh({\rm {arsinh\,}}x)$.

Wskazówka

a) Skorzystać ze związku: $\displaystyle \arccos x=\arcsin(-x)+{\frac {\pi }{2}}$.
b) Skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

Rozwiązanie

a) Zauważmy, że funkcja $\displaystyle x\mapsto \arcsin(\cos x)$ jest określona w każdym punkcie zbioru liczb rzeczywistych i jest okresowa o okresie $\displaystyle 2\pi$. Wystarczy więc wyznaczyć jej wartości w jakimkolwiek przedziale postaci $\displaystyle [a-\pi ,a+\pi ]$. Funkcja cosinus jest parzysta, stąd złożenie $\displaystyle x\mapsto \arcsin(\cos x)$ jest funkcją parzystą. Wystarczy więc rozważyć wyrażenie $\displaystyle \arcsin(\cos x)$ w zbiorze $\displaystyle 0\leq x\leq \pi$. Jeśli $\displaystyle 0\leq x\leq \pi$, to różnica $\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-x\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$. Korzystając ze wzoru redukcyjnego: $\displaystyle \cos x=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$, otrzymujemy

$\displaystyle \arcsin(\cos x)=\arcsin \left(\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\right)={\frac {\pi }{2}}-x,$ dla $\displaystyle 0\leq x\leq \pi$. Wobec parzystości rozważanej funkcji mamy dla $\displaystyle -\pi \leq x\leq \pi$ równość $\displaystyle \arcsin(\cos x)={\frac {\pi }{2}}-|x|.$

Rysunek do ćwiczenia 2.3.(a)

Rysunek do ćwiczenia 2.3.(a)

Funkcja $\displaystyle x\mapsto \arccos(\sin x)$ ma okres $\displaystyle 2\pi$ i jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Podobnie jak w poprzednim przykładzie określimy więc jej wartość w przedziale $\displaystyle [-\pi ,\pi ]$. Dzięki okresowości wystarczy to, aby określić jej wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej $\displaystyle x$. Zauważmy, że funkcja $\displaystyle y\mapsto f(y)=\arccos y-{\frac {\pi }{2}}$ jest nieparzysta, więc $\displaystyle f(-y)=-f(y)$, stąd

$\displaystyle \arccos(-y)=\pi -\arccos y,$ dla $|y|\leq {\frac {\pi }{2}}.$

Rozumując jak poprzednio, na mocy wzoru redukcyjnego równość: $\displaystyle \sin x=\cos {\bigg (}{\frac {\pi }{2}}-x{\bigg )}$. Stąd

$\displaystyle \arccos(\sin x))=\arccos {\bigg (}\cos {\bigg (}{\frac {\pi }{2}}-x{\bigg )}{\bigg )}={\frac {\pi }{2}}-x,$

dla $\displaystyle x\in {\bigg [}0,{\frac {\pi }{2}}{\bigg ]}$. Natomiast dla $\displaystyle x\in {\bigg [}{\frac {\pi }{2}},\pi {\bigg ]}$ mamy równość

$\displaystyle \arccos(\sin x)=-{\bigg (}{\frac {\pi }{2}}-x{\bigg )}=x-{\frac {\pi }{2}}.$

Stąd dla $\displaystyle {\bigg |}x-{\frac {\pi }{2}}{\bigg |}\leq {\frac {\pi }{2}}$ mamy

$\displaystyle \arccos(\sin x))={\bigg |}x-{\frac {\pi }{2}}{\bigg |}.$

Korzystając teraz z nieparzystości funkcji $\displaystyle y\mapsto \arccos y-{\frac {\pi }{2}}$ dla $\displaystyle x\in [-\pi ,0]$, otrzymamy $\displaystyle \arccos(\sin x)=\pi -{\bigg |}x+{\frac {\pi }{2}}{\bigg |}.$ Stąd ostatecznie dla $\displaystyle x\in [-\pi ,\pi ]$ mamy

$\displaystyle \arccos(\sin x)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {3\pi }{2}}+x,&{\text{ dla }}&-\pi \leq x\leq -{\frac {\pi }{2}}\\&{\frac {\pi }{2}}-x,&{\text{ dla }}&-{\frac {\pi }{2}}\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}\\&x-{\frac {\pi }{2}},&{\text{ dla }}&+{\frac {\pi }{2}}\leq x\leq \pi .\end{aligned}}\right.$

b) Niech $\displaystyle y=\arccos x$. Zatem $\displaystyle \sin y\geq 0$. Z jedynki trygonometrycznej: $\displaystyle \sin ^{2}y=1-\cos ^{2}y=1-x^{2}$. Stąd $\displaystyle \sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ dla $\displaystyle -1\leq x\leq 1$.

Podobnie dostajemy równość: $\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ dla $\displaystyle -1\leq x\leq 1$.
c) Funkcja $\displaystyle x\mapsto \mathrm {arctg} \,(\mathrm {ctg} \,x)$ jest nieparzysta, gdyż jest złożeniem dwóch funkcji nieparzystych: $\displaystyle x\mapsto \mathrm {ctg} \,x$ oraz $\displaystyle u\mapsto \mathrm {arctg} \,u$. Jest okresowa o okresie $\displaystyle \pi$ wystarczy więc rozważyć ją np. na przedziale $\displaystyle 0<x<\pi$. Ze wzoru redukcyjnego mamy $\displaystyle \mathrm {ctg} \,x=\mathrm {tg} \,\left({\frac {\pi }{2}}-x\right),$ stąd

$\displaystyle \mathrm {arctg} \,(\mathrm {ctg} \,x)=\mathrm {arctg} \,\left(\mathrm {tg} \,\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\right)={\frac {\pi }{2}}-x,$

dla $\displaystyle 0<x<\pi$.

Podobnie $\displaystyle x\mapsto \mathrm {arc\,ctg} \,(\mathrm {tg} \,x)$ jest nieparzysta, okresowa o okresie $\displaystyle \pi$. Wystarczy więc rozważyć ją np. w przedziale $\displaystyle {\bigg (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\bigg )}$, gdzie zachodzi równość:

$\displaystyle \mathrm {arc\,ctg} \,(\mathrm {tg} \,x)=\mathrm {arc\,ctg} \,(\mathrm {ctg} \,({\frac {\pi }{2}}-x))={\frac {\pi }{2}}-x.$

d) Pamiętając, że $\displaystyle \mathrm {tg} \,u={\frac {1}{\mathrm {ctg} \,u}}$, otrzymamy $\displaystyle \mathrm {tg} \,(\mathrm {arc\,ctg} \,x)={\frac {1}{\mathrm {ctg} \,(\mathrm {arc\,ctg} \,x)}}={\frac {1}{x}}$, dla $\displaystyle x\neq 0$.

Podobnie: $\displaystyle \mathrm {ctg} \,(\mathrm {arctg} \,x)={\frac {1}{\mathrm {tg} \,(\mathrm {arctg} \,x)}}={\frac {1}{x}}$, dla $\displaystyle x\neq 0$.
e) Z jedynki hiperbolicznej $\displaystyle \sinh(u)={\sqrt {\cosh ^{2}u-1}}$ dla $\displaystyle u\geq 0$. Po podstawieniu $\displaystyle u:={\rm {arcosh\,}}x$, dostajemy $\displaystyle \sinh({\rm {arcosh\,}}x)={\sqrt {x^{2}-1}}$, dla $\displaystyle x\geq 1$.

Z kolei $\displaystyle \cosh ^{2}v=1+\sinh ^{2}v$. Funkcja $\displaystyle x\mapsto \cosh({\rm {arsinh\,}}x)$ jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych i jest parzysta. Mamy równość:

$\displaystyle \cosh({\rm {arsinh\,}}x)={\sqrt {1+\sinh ^{2}({\rm {arsinh\,}}x)}}={\sqrt {1+x^{2}}},$

prawdziwą dla wszystkich liczb rzeczywistych $\displaystyle x$.

Ćwiczenie 2.4.

Wykazać, że dla dowolnych liczb $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ zachodzą równości:
a) $\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y,$
b) $\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y.$

Wskazówka

a) Warto przekształcić wpierw prawą stronę równości, skorzystać z definicji funkcji $\displaystyle \sinh$ oraz $\displaystyle \cosh$, wykonać mnożenie i zredukować wyrazy podobne.
b) Należy postąpić podobnie jak w punkcie a) zadania.

Rozwiązanie

a) Z definicji funkcji $\displaystyle \sinh$ i $\displaystyle \cosh$ mamy:

$\displaystyle {\begin{aligned}4(\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y)&=(e^{x}+e^{-x})(e^{y}+e^{-y})(e^{x}-e^{-x})(e^{y}-e^{-y})\\&=e^{x+y}+e^{x-y}+e^{-x+y}+e^{-x-y}+e^{x+y}-e^{x-y}-e^{-x+y}+e^{-x-y}\\&=2(e^{x+y}+e^{-(x+y)})\\&=4\cosh(x+y),\end{aligned}}$

stąd $\displaystyle \cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y=\cosh(x+y).$

b) Dokonując podobnych przekształceń jak w punkcie a), otrzymujemy:

$\displaystyle {\begin{aligned}4(\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y)&=(e^{x}-e^{-x})(e^{y}+e^{-y})(e^{x}+e^{-x})(e^{y}-e^{-y})\\&=e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}+e^{x+y}-e^{x-y}+^{-x+y}-e^{-x-y}\\&=2(e^{x+y}-e^{-(x+y)})\\&=4\sinh(x+y),\end{aligned}}$

stąd $\displaystyle \sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y=\sinh(x+y).$

Ćwiczenie 2.5.

a) Niech $\displaystyle T_{n}(x):=\cos(n\arccos x)$ dla $\displaystyle n=0,1,2,...$. Wykaż, że $\displaystyle T_{0}(x)=1$, $\displaystyle T_{1}(x)=x$ oraz

$\displaystyle T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x),$

dla $\displaystyle n\geq 0$.
b) Wykazać, że funkcja $\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)$ jest wielomianem zmiennej $\displaystyle x$, dla $\displaystyle n=0,1,2,3,...$.

Wskazówka

a) Przekształcić $\displaystyle T_{n+2}$ oraz $\displaystyle T_{n+1}$, wykorzystując wzory wyrażające sinus i cosinus sumy $\displaystyle x+y$, analogiczne do tych, które zostały wykazane w ćwiczeniu 2.4., a mianowicie:

$\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x+y)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\\sin(x+y)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y.\end{aligned}}$

b) Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem. Wykorzystać formułę z punktu a) zadania.

Rozwiązanie

a) Niech $\displaystyle y:=\arccos x$. Stosując znane wzory na cosinus i sinus sumy $\displaystyle x+y$ oraz jedynkę trygonometryczną, otrzymamy

$\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+2}(x)&=\cos(ny+2y)\\&=\cos(ny)\cos(2y)-\sin(ny)\sin(2y)\\&=\cos(ny)(2\cos ^{2}y-1)-\sin(ny)2\sin y\cos y\\&=T_{n}(x)(2x^{2}-1)-2x\sin(n\arccos x)\sin(\arccos x),\end{aligned}}$

gdyż $\displaystyle \cos y=\cos(\arccos x)=x$ oraz $\displaystyle \cos ny=\cos(n\arccos x)=T_{n}(x).$ Przekształćmy także

$\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=\cos(ny+y)\\&=\cos(ny)\cos(y)-\sin(ny)\sin(y)\\&=T_{n}(x)x-\sin(n\arccos x)\sin(\arccos x).\end{aligned}}$

Stąd $\displaystyle \sin(n\arccos x)\sin(\arccos x)=xT_{n}(x)-T_{n+1}(x)$. Wobec tego

$\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+2}(x)&=T_{n}(x)(2x^{2}-1)-2x\sin(n\arccos x)\sin(\arccos x)\\&=T_{n}(x)(2x^{2}-1)-2x(xT_{n}(x)-T_{n+1}(x))\\&=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x).\end{aligned}}$

b) Formuła wykazana w punkcie b) pozwala wyznaczyć $\displaystyle T_{n+2}$ dla $\displaystyle n=0,1,2,...$. Iloczyn i suma wielomianów jest wielomianem. Funkcje $\displaystyle T_{0}(x)=1$ oraz $\displaystyle T_{1}(x)=x$ są wielomianami zmiennej $\displaystyle x$, więc każda kolejna funkcja

$\displaystyle {\begin{aligned}T_{2}(x)&=2xT_{1}(x)-T_{0}(x)=2x^{2}-1,T_{3}(x)&=2xT_{2}(x)-T_{1}(x)=4x^{3}-3x,T_{4}(x)&=2xT_{3}(x)-T_{2}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1,T_{5}(x)&=2xT_{4}(x)-T_{3}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x,...\end{aligned}}$

jest również wielomianem zmiennej $\displaystyle x$.

Ćwiczenie 2.6.

a) Niech $\displaystyle U_{n}(x):=\cosh(n{\rm {arcosh\,}}x)$ dla $\displaystyle n=0,1,2,...$. Wykaż, że $\displaystyle U_{0}(x)=1$, $\displaystyle U_{1}(x)=x$ oraz

$\displaystyle U_{n+2}(x)=2xU_{n+1}(x)-U_{n}(x),\quad$
dla $\displaystyle n\geq 0$.

b) Wykazać, że funkcja $\displaystyle U_{n}(x)=\cosh(n{\rm {arcosh\,}}x)$ jest wielomianem zmiennej $\displaystyle x$, dla $\displaystyle n=0,1,2,3,...$.
c) Wykazać, że dla dowolnej liczby $\displaystyle n=0,1,2,3,...$ istnieje wielomian $\displaystyle W_{n}$ taki, że $\displaystyle U_{n}$ oraz $\displaystyle T_{n}$ są restrykcjami - odpowiednio do przedziałów $\displaystyle [1,\infty )$ oraz $\displaystyle [-1,1]$ - wielomianu $\displaystyle W_{n}$.

Wskazówka

a) Warto uprościć $\displaystyle U_{n+2}$ oraz $\displaystyle U_{n+1}$, wykorzystując wzory wykazane w ćwiczeniu 2.4.
b) Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem. Wykorzystać formułę z punktu a) zadania.
c) Porównać formuły z punktów b) w ćwiczeniu 2.5. i ćwiczeniu 2.6. Wyznaczyć dziedziny funkcji $\displaystyle T_{n}$ oraz $\displaystyle U_{n}$.

Rozwiązanie

Niech $\displaystyle y:={\rm {arcosh\,}}x$. Postępując podobnie jak w ćwiczeniu 2.5. tzn. stosując wykazane w ćwiczeniu 2.4. wzory na cosinus hiperboliczny i sinus hiperboliczny sumy $\displaystyle x+y$ oraz jedynkę hiperboliczną, otrzymamy

$\displaystyle {\begin{aligned}U_{n+2}(x)&=\cosh(ny+2y)\\&=\cosh(ny)\cosh(2y)+\sinh(ny)\sinh(2y)\\&=\cosh(ny)(2\cosh ^{2}y-1)+\sinh(ny)2\sinh y\cosh y\\&=U_{n}(x)(2x^{2}-1)+2x\sinh(n{\rm {arcosh\,}}x)\sinh({\rm {arcosh\,}}x),\end{aligned}}$

gdyż $\displaystyle \cosh y=\cosh({\rm {arcosh\,}}x)=x$ oraz $\displaystyle \cosh(ny)=\cosh(n{\rm {arcosh\,}}x)=U_{n}(x).$ Przekształćmy także

$\displaystyle {\begin{aligned}U_{n+1}(x)&=\cosh(ny+y)\\&=\cosh(ny)\cosh(y)+\sinh(ny)\sinh(y)\\&=U_{n}(x)x+\sinh(n{\rm {arcosh\,}}x)\sinh({\rm {arcosh\,}}x).\end{aligned}}$

Stąd $\displaystyle \sinh(n{\rm {arcosh\,}}x)\sinh({\rm {arcosh\,}}x)=-xU_{n}(x)+U_{n+1}(x)$. Wobec tego

$\displaystyle {\begin{aligned}U_{n+2}(x)&=U_{n}(x)(2x^{2}-1)+2x\sinh(n{\rm {arcosh\,}}x)\sinh({\rm {arcosh\,}}x)\\&=U_{n}(x)(2x^{2}-1)+2x(-xU_{n}(x)+U_{n+1}(x))\\&=2xU_{n+1}(x)-U_{n}(x).\end{aligned}}$

b) Zauważmy, że formuła wykazana w punkcie b) pozwala wyznaczyć $\displaystyle U_{n+2}$ dla $\displaystyle n=0,1,2,...$. Iloczyn i suma wielomianów jest wielomianem. Ponadto funkcje $\displaystyle U_{0}(x)=1$ oraz $\displaystyle U_{1}(x)=x$ są wielomianami zmiennej $\displaystyle x$, więc każda kolejna funkcja

$\displaystyle {\begin{aligned}U_{2}(x)&=2xU_{1}(x)-U_{0}(x)=2x^{2}-1,\\U_{3}(x)&=2xU_{2}(x)-U_{1}(x)=4x^{3}-3x,\\U_{4}(x)&=2xU_{3}(x)-U_{2}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1,\\U_{5}(x)&=2xU_{4}(x)-U_{3}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x,\ \ ...\end{aligned}}$

jest również wielomianem zmiennej $\displaystyle x$.
c) Formuły pozwalające wyznaczyć $\displaystyle T_{n+2}$ oraz $\displaystyle U_{n+2}$ są identyczne:

$\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+2}(x)&=2xT_{n+1}(x)-T_{n},\ \ T_{0}(x)=1,\ \ T_{1}(x)=x,\\U_{n+2}(x)&=2xU_{n+1}(x)-U_{n},\ \ U_{0}(x)=1,\ \ U_{1}(x)=x.\end{aligned}}$

Wielomiany $\displaystyle T_{n}$ oraz $\displaystyle U_{n}$ są więc zacieśnieniem -- odpowiednio do przedziałów $\displaystyle [-1,1]$ oraz $\displaystyle [1,\infty )$ - tego samego wielomianu
$\displaystyle W_{n}$, $\displaystyle n=0,1,2,...$. Zwróćmy uwagę na fakt, że dziedziną każdej z funkcji $\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)$ jest przedział $\displaystyle [-1,1]$ a dziedziną funkcji $\displaystyle U_{n}(x)=\cosh(n{\rm {arcosh\,}}x)$ - przedział $\displaystyle [1,+\infty )$. Stąd formalnie równość funkcji $\displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)$ ma sens w części wspólnej obu dziedzin, tj. w punkcie $\displaystyle x=1$.