Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 12: Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

12. Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej

Ćwiczenie 12.1.

Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 12.2.

Zbadać przebieg zmienności, naszkicować wykres i wyznaczyć zbiór wartości funkcji

Wskazówka
Rozwiązanie

a) Dziedziną funkcji jest zbiór . Już sama dziedzina wyklucza parzystość, nieparzystość i okresowość. Jedynym miejscem zerowym jest , a .







zatem ma obustronną asymptotę pionową i obustronną asymptotę ukośną .



Policzmy jeszcze .

Zbiorem wartości funkcji jest cały zbiór .

<flash>file=am1c12.0050.swf|width=375|height=375</flash> <flash>file=am1c12.0040.swf|width=375|height=173</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do ćwiczenia 12.2.(b)

b) Dziedziną funkcji jest zbiór , zatem na pewno nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ani okresowa. Jedynym miejscem zerowym jest .

i symetrycznie

zatem ma jedną asymptotę pionową lewostronną , asymptotę ukośną w i asymptotę ukośną w . Pochodne oczywiście zdefiniowane są w .

Policzmy .

Zbiorem wartości funkcji jest przedział .

<flash>file=am1c12.0070.swf|width=375|height=375</flash> <flash>file=am1c12.0060.swf|width=375|height=116</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do ćwiczenia 12.2.(c)

c) Dziedziną funkcji jest zbiór . Funkcja jest parzysta, zatem wystarczy ją zbadać w przedziale i odbić symetrycznie względem osi .

Zakładamy więc teraz, że . Wtedy funkcja przyjmuje postać . Miejsca zerowe to 1 i .




Zatem funkcja ma jedyną asymptotę pionową .



Zbiorem wartości funkcji jest przedział .

<flash>file=am1c12.0090.swf|width=375|height=375</flash> <flash>file=am1c12.0080.swf|width=375|height=165</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do ćwiczenia 12.2.(d)

d) Dziedziną funkcji jest zbiór , stąd widać, że funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ani okresowa. Miejscem zerowym jest punkt , a .

bo

Zatem funkcja ma lewostronną asymptotę pionową i obustronną asymptotę ukośną .


Zbiorem wartości funkcji jest suma przedziałów .

Plik:Am1c12.0100.svg
Rysunek do ćwiczenia 12.2.(e)
Plik:Am1c12.0110.svg
Rysunek do ćwiczenia 12.2.(e)

e) Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych i jest to funkcja parzysta, zatem możemy zawęzić badanie jej do przedziału .

Załóżmy teraz, że . Miejscem zerowym funkcji jest , .



zatem ma asymptotę poziomą . Pochodne



nie są określone w , pierwsza pochodna jest dodatnia w całym przedziale , druga ujemna.

Zbiorem wartości funkcji jest przedział .

Ćwiczenie 12.3.

a) Udowodnić, że jeśli są sprzężone, to znaczy , to dla dowolnych liczb dodatnich i zachodzi nierówność

b) Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich prawdziwa jest nierówność

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 12.4.

Udowodnić, że funkcja wypukła na przedziale spełnia nierówność Jensena:

dla dowolnej liczby naturalnej , dowolnych oraz dowolnych nieujemnych liczb spełniających warunek .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 12.5.

a) Udowodnić, że jeśli , oraz , to

b) Wykazać, że dla dowolnej liczby naturalnej , dowolnych liczb z przedziału takich, że oraz dla prawdziwa jest nierówność

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 12.6.

a) Udowodnić nierówność Holdera:

jeśli jest liczbą naturalną, są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i są dodatnie takie, że i .

b) Udowodnić nierówność Minkowskiego:

jeśli , i .

Wskazówka
Rozwiązanie