Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 11: Reguła de l'Hospitala. Równość asymptotyczna
11. Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna.
Ćwiczenie 11.1.
Wyznaczyć granice
Należy sprawdzić, czy wolno zastosować
regułę de l'Hospitala, to znaczy czy odpowiednie funkcje są
różniczkowalne w odpowiednim sąsiedztwie, czy ułamek jest symbolem
nieoznaczonym lub
i czy istnieje
granica ilorazu pochodnych. Jeśli wszystkie założenia są
spełnione, stosujemy regułę de l'Hospitala.
W kwadratowych nawiasach wpisujemy, jaki
symbol pojawia się w danym wyrażeniu. Przypominamy, że bardzo ważne jest upewnić się, czy odpowiedni iloraz spełnia założenia reguły de l'Hospitala, to znaczy czy odpowiednie funkcje są
różniczkowalne w odpowiednim sąsiedztwie, czy ułamek jest symbolem nieoznaczonym lub
i czy istnieje granica ilorazu pochodnych. Literka
pod znakiem równości oznacza, że stosujemy regułę de l'Hospitala i wobec tego równość jest prawdziwa tylko pod założeniem, że granica po jej prawej stronie istnieje. Jeśli granica ta nie istnieje, nie ma równości!
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Ćwiczenie 11.2.
Wyznaczyć granice
Z jakim symbolem nieoznaczonym mamy tu do
czynienia? Jak inaczej zapisać wyrażenie, którego granicę liczymy,
aby móc skorzystać z reguły de l'Hospitala? Warto tu sobie
przypomnieć zasadę poznaną jeszcze w szkole podstawowej i ją
trochę odwrócić: Jeśli mnożymy przez pewną liczbę niezerową, to
dzielimy przez... (przez co?). Ponadto warto przypomnieć sobie
wartość granicy .
Mamy tu do czynienia z symbolem
nieoznaczonym . Iloczyny zamieniamy na ilorazy
zgodnie z regułą: Jeśli mnożymy przez liczbę niezerową, to
dzielimy przez jej odwrotność. Można to oczywiście zrobić na dwa
sposoby (biorąc odwrotność pierwszego lub drugiego czynnika), ale
na ogół jedna z opcji jest korzystniejsza. Ogólna zasada jest
taka, by po zróżniczkowaniu wyrażenie się upraszczało, a nie
komplikowało.
b)
c)
bo
Ćwiczenie 11.3.
Wyznaczyć granice
Z jakim symbolem nieoznaczonym mamy tu do czynienia? Jak inaczej zapisać różnicę, by pojawił się iloraz albo iloczyn? Możliwych jest kilka dróg. Można coś wyjąć przed nawias. Można też zapisać odjemną i odjemnik w postaci ułamków i sprowadzić do wspólnego mianownika. W podpunkcie c) warto poprzekształcać wyrażenie, którego granicę mamy policzyć. Jeśli wymnożymy okrągły nawias przez czynnik za nim, jeden z trzech składników, jakie teraz otrzymamy, będzie symbolem oznaczonym (który?), natomiast z pozostałych dwóch można wyjąć wspólny czynnik przed nawias (jaki?).
Mamy tu do czynienia z symbolem
nieoznaczonym .
bo
b)
c) Przekształćmy najpierw wyrażenie pod granicą
Policzmy
A ponieważ , więc
d)
bo
e)
f)
Ćwiczenie 11.4.
Wyznaczyć granice
Z jakimi symbolami nieoznaczonymi mamy tu
do czynienia? Przypomnijmy sobie, że wyrażenie typu
można przedstawić w postaci
. Dlaczego? Jak wygląda
? Zauważmy, że
wystarczy teraz policzyć granicę
i tu mogą się przydać
wskazówki do dwóch pierwszych zadań w tym module.
W tym zadaniu pojawiają się symbole
nieoznaczone typu wykładniczego: .
Przypominamy, że wyrażenie typu
można przedstawić w postaci
. Tej
postaci będziemy używać, licząc odpowiednie granice.
a) Ponieważ (porównaj rozwiązanie ćwiczenia 11.3. a)), mamy
b) Wobec zależności
(wykorzystujemy tu znaną zależność ), otrzymujemy
c) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że
i stąd wnioskujemy, że
d) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że
i stąd otrzymujemy
e) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że
i stąd otrzymujemy
f) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że
i stąd otrzymujemy
g) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że
i stąd otrzymujemy
h) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że
i stąd otrzymujemy
i) Zauważmy najpierw, że
a stąd . Korzystając z reguły de
l'Hospitala, wyliczamy, że
i stąd otrzymujemy
j) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że
i stąd otrzymujemy
k) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że
i stąd otrzymujemy
l) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że
i stąd otrzymujemy
Ćwiczenie 11.5.
Zbadać, czy do następujących granic można stosować regułę de l'Hospitala. Policzyć te granice.
a) Czy ułamek otrzymany po zróżniczkowaniu licznika i mianownika jest prostszy od ułamka początkowego? Czy kontynuowanie odpowiedniego różniczkowania doprowadzi w rezultacie do prostszych granic do policzenia? By policzyć tę granicę, warto sobie przypomnieć zasadę dzielenia potęg o tych samych podstawach. Proszę również pokazać, że tu założenia reguły de l'Hospitala są spełnione, czyli że iloraz pochodnych ma granicę.
b) Z jakim symbolem nieoznaczonym mamy tu do czynienia? Ile wynosi granica ? Czy pochodna mianownika wyrażenia, którego granicę mamy policzyć, jest niezerowa? By policzyć granicę, wystarczy wydzielić licznik i mianownik przez pewne wyrażenie.
c) Czy pochodna mianownika wyrażenia, którego granicę mamy policzyć, jest niezerowa? Czy szukana granica w ogóle istnieje? Warto policzyć wartość ułamka dla pewnych ciągów zbieżnych do nieskończoności.
a) W tym przypadku można formalnie korzystać z
reguły de l'Hospitala, bo mamy symbol nieoznaczony
i granica iloczynu pochodnych
istnieje, co pokażemy za chwilę. Jednakże iloczyn pochodnych jest
bardziej skomplikowany niż iloczyn funkcji i ewentualne dalsze
postępowanie tylko to potęguje
i dlatego znacznie wygodniej jest nie korzystać z reguły:
Zauważmy jeszcze, że
(czyli rzeczywiście istnieje granica iloczynu pochodnych) i tak dalej...
b) Mamy . Z twierdzenia o granicy iloczynu funkcji ograniczonej przez funkcję zbieżną do zera
, zatem w badanej w tym punkcie granicy
mamy symbol nieoznaczony
. Jednakże nie można badać granicy ilorazu pochodnych
w nieskończoności, ponieważ mianownik tego ułamka zeruje się w punktach
dla dowolnego
naturalnego (w szczególności granica tego ilorazu nie istnieje). Natomiast
ponieważ .
c) Ponownie mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym , gdyż
Jednakże nie można badać granicy ilorazu pochodnych
bo jej mianownik zeruje się w punktach , dla
dowolnego
. Z drugiej strony badana granica nie
istnieje z definicji Heinego, bo jeśli
to
Ćwiczenie 11.6.
Wyznaczyć asymptoty funkcji
Jak sprawdzić, czy dana funkcja ma asymptotę prawo- lub
lewostronną pionową ? Jak sprawdzić, czy dana funkcja ma
asymptotę poziomą w plus lub minus nieskończoności? Jak wyznaczyć
i
, jeśli
jest asymptotą ukośną danej funkcji w
plus lub minus nieskończoności?
a) Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych,
zatem musimy poszukać tylko ewentualnych asymptot ukośnych. Liczymy granice
Zatem funkcja ma asymptotę poziomą
w
i asymptotę ukośną
w
.
b) Dziedziną funkcji jest zbiór
. Liczymy granice (przy czym zauważmy, że
)
Zatem funkcja ma asymptotę poziomą
w obu
nieskończonościach i lewostronną asymptotę pionową
.
c) Dziedziną funkcji jest zbiór
. Liczymy granice
Zatem funkcja ma tylko jedną asymptotę: pionową prawostronną
.
d) Dziedziną funkcji jest zbiór
. Liczymy granice
Pozostała do policzenia granica
bo:
Zatem funkcja ma jedną lewostronną asymptotę pionową
i asymptotę ukośną o równaniu
w obu nieskończonościach.
e) Dziedziną funkcji jest zbiór
. Liczymy granice
Zatem funkcja ma tylko asymptotę ukośną
w obu
nieskończonościach.
f) Dziedziną funkcji jest zbiór
. Do policzenia zatem mamy tylko granice w nieskończonościach.
bo
Zatem ma asymptotę poziomą
w obu nieskończonościach.
g) Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych, zatem wystarczy zbadać granice w nieskończonościach.
Zatem funkcja ma tylko jedną asymptotę ukośną
w plus
nieskończoności.
h) Dziedziną funkcji jest suma przedziałów
. Musimy więc tylko, policzyć granicę w zerze.
Zatem ma obustronną asymptotę pionową
.