Analiza matematyczna 1

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Zadaniem kursu „Analiza matematyczna 1” jest zapoznanie studentów z podstawowymi narzędziami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej w zakresie niezbędnym do zrozumienia treści wykładów kursowych. Kontynuacją tego kursu jest „Analiza matematyczna 2”.

Sylabus

Autorzy

• Rafał Czyż — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
• Leszek Gasiński — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Informatyki
• Marta Kosek — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
• Jerzy Szczepański — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
• Halszka Tutaj-Gasińska — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki

Wymagania wstępne

• Wymagana jest znajomość matematyki w zakresie szkoły średniej.

Zawartość

• Zbiory liczbowe i funkcje:
  • podzbiory zbioru liczb rzeczywistych
  • zbiór liczb zespolonych
  • przegląd funkcji elementarnych
• Ciągi wektorowe i liczbowe:
  • odległość w $\mathbb {R} ^{N}$
  • granica; punkt skupienia; granice dolna i górna
  • granice niewłaściwe
  • liczba e
• Szeregi liczbowe:
  • warunek konieczny
  • szereg geometryczny; szereg harmoniczny
  • kryteria zbieżności
• Granica i ciągłość funkcji:
  • definicje Cauchy'ego i Heinego
  • własność Darboux
  • twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą
  • granice niewłaściwe
• Pochodna:
  • interpretacja geometryczna i fizyczna
  • twierdzenia o pochodnych
  • symbole nieoznaczone; reguła de l'Hospitala
  • twierdzenie Rolle'a, twierdzenie Lagrange'a
  • monotoniczność
  • ekstrema
  • pochodne wyższych rzędów
  • wzór Taylora
  • wypukłość
  • badanie przebiegu zmienności funkcji
• Pierwotna (całka nieoznaczona):
  • metody całkowania
• Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej:
  • interpretacja geometryczna; funkcje całkowalne w sensie Riemanna
  • podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego (Newtona-Leibniza)
  • twierdzenie o zmianie zmiennych w całce Riemanna
  • długość krzywej
  • obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych

Literatura

1. W. Rudin, „Podstawy analizy matematycznej”, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982.
2. W. Rudnicki, „Wykłady z analizy matematycznej”, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2001.
3. G.M. Fichtenholz, „Rachunek różniczkowy i całkowy”, tom I, II i III. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
4. L. Drużkowski, „Analiza matematyczna dla fizyków. I. Podstawy”, Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1995.
5. L. Drużkowski, „Analiza matematyczna dla fizyków. II. Wybrane zagadnienia”, Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1997.
6. W. Krysicki, L. Włodarski, „Analiza matematyczna w zadaniach”, część I i II, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986.
7. J. Banaś, S. Wędrychowicz, „Zbiór zadań z analizy matematycznej”, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001.

Moduły

1. Zbiory liczbowe (ćwiczenia) (test)
2. Funkcje elementarne (ćwiczenia) (test)
3. Odległość i ciągi (ćwiczenia) (test)
4. Ciągi liczbowe (ćwiczenia) (test)
5. Obliczanie granic (ćwiczenia) (test)
6. Szeregi liczbowe (ćwiczenia) (test)
7. Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności (ćwiczenia) (test)
8. Granica i ciągłość funkcji (ćwiczenia) (test)
9. Pochodna funkcji jednej zmiennej (ćwiczenia) (test)
10. Wzór Taylora. Ekstrema (ćwiczenia) (test)
11. Reguła de l'Hospitala. Równość asymptotyczna (ćwiczenia) (test)
12. Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej (ćwiczenia) (test)
13. Całka nieoznaczona (ćwiczenia) (test)
14. Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej (ćwiczenia) (test)
15. Krzywe i bryły obrotowe (ćwiczenia) (test)