Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 7: Wyznacznik
Odwzorowania wieloliniowe
Niech
będzie -wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem o charakterystyce różnej od 2. Niech dane będzie odwzorowanie . Mówimy, że odwzorowanie jest k-liniowe, jeśli dla każdego oraz dla dowolnie ustalonych wektorów odwzorowanie
jest liniowe. Na przykład, odwzorowanie jest -liniowe.
Zbiór wszystkich odwzorowań -liniowych oznaczmy przez . W naturalny sposób (tak jak w Przykładzie 7. Wykładu I) zbiór ten
jest wyposażony w strukturę przestrzeni wektorowej.
Mówimy, że odwzorowanie
jest antysymetryczne, jeśli dla każdej permutacji ciągu zachodzi wzór
gdzie oznacza znak permutacji . Podobnie definiuje się odwzorowanie symetryczne. Mianowicie, jest symetryczne, jeśli dla każdej permutacji zachodzi równość.
Wyżej wspomniane mnożenie liczb rzeczywistych jest k-liniowe symetryczne.
W niniejszym wykładzie odwzorowania antysymetryczne będą odgrywać główną rolę. Zacznijmy od następującego lematu.
Lemat 1.1
Dla odwzorowania
-liniowego następujace warunki są równoważne.- jest antysymetryczne,
- dla dowolnych wektorów takich, że dwa spośród są jednakowe.
- Jeśli są liniowo zależne, to .
Dowód
Załóżmy 1. Niech wektory
będą jednakowe w ciągu wektorów . Niech oznacza permutację, która zamienia na . Znak tej permutacji jest równy . Po zastosowaniu tej permutacji ciąg wektorów nie ulega zmianie. Wobec tego . Z drugiej strony
Dodajmy do obu stron tej równości . Dostajemy równość
Wynika stąd, że , bo ciało ma charakterystykę różną od 2.
Odwrotnie, jeśli
spełnia warunek 2), to dla każdych wektorów i dla każdych , mamy
Stąd, że spełnia warunek 2. oraz z -liniowości odwzorowania dostajemy
Ponieważ każda permutacja jest złóżeniem pewnej liczby transpozycji i znak permutacji jest równy , więc jest antysymetryczne.
Załóżmy, że spełniony jest warunek 2. Jeśli ciąg
jest liniowo zależny, to pewien wektor z tego ciągu jest kombinacją liniową pozostałych wektorów. Korzystając z -liniowości i z warunku 2. dostajemy natychmiast, że . Na koniec, załóżmy 3). Jeśli, któreś wektory w ciągu są równe, to ciąg jest liniowo zależny , a zatem . Dowód lematu jest zakończony.
Jest oczywiste, że suma odwzorowań
-liniowych antysymetrycznych jest odwzorowaniem -liniowym antysymetrycznym i odwzorowanie -liniowe antysymetryczne pomnożone przez skalar jest też antysymetryczne. A zatem ogół odwzorowań antysymetrycznych stanowi podprzestrzeń przestrzeni . Oznaczmy tę podprzestrzeń przez . Elementy przestrzeni nazywamy też -formami na przestrzeni . Choć teoria -form jest ważna i interesująca, na potrzeby naszego wykładu zajmiemy się tylko szczególnymi przypadkami, tzn. szczególnymi przypadkami . Po pierwsze, znamy już przestrzeń 1-form. Przestrzenią tą jest przestrzeń dualna , 1-formami odwzorowania liniowe określone na i o wartościach w ciele .Zajmiemy się teraz
-formami, gdzie .Niech Lematu 1.1 otrzymujemy następujące równości
będzie bazą przestrzeni wektorowej i . Niech . Każdy z tych wektorów przedstawimy jako kombinację liniową wektorów bazy. A zatem dla każdego . Korzystając z
Ponieważ ciąg różnowartościowy jest permutacją ciągu
, więc dostajemy
gdzie oznacza zbiór wszystkich permutacji ciągu . Ostatecznie, dla każdego , zachodzi wzór
(1.1)
Skalar
nie zależy od . A zatem przestrzeń jest 1-wymiarowa i każda -forma jest wyznaczona jednoznacznie przez zdefiniowanie dla dowolnie wybranej bazy .
Wyznacznik macierzy. Podstawowe własnosci
W przypadku, gdy
mamy bazę kanoniczną tej przestrzeni. Każda -forma na może być zadana na bazie kanonicznej.Rozważmy teraz przestrzeń
. Przypomnijmy, że jest to przestrzeń wszystkich macierzy kwadratowych o wymiarach na i o wyrazach w ciele . Niech . Niech oznaczają kolumny macierzy. Kolumny są wektorami przestrzeni . Macierz możemy traktować jako ciąg kolumn . Na podstawie wyżej przeprowadzonych rozważań, możemy stwierdzić prawdziwość następującego twierdzeniaTwierdzenie 2.1
Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie
-liniowe antysymetryczne
takie, że , gdzie jest bazą kanoniczną przestrzeni .
Odwzorowanie
nazywa się wyznacznikiem i oznacza symbolem .Symbol
oznacza wartość odwzorowania na ciągu kolumn macierzy .Podkreślamy, że wyznacznik macierzy definiuje się tylko dla macierzy kwadratowych. Na podstawie formuły (1.1) otrzymujemy natychmiast następujący wzór na wyznacznik macierzy
(2.2)
Przykład 2.2
Niech dana będzie baza
przestrzeni wektorowej . Niech będzie macierzą przejścia od bazy do bazy . Widać od razu, że .Dowiedziemy teraz kilku podstawowych własności wyznacznika.
Twierdzenie 2.3
Dla dowolnych macierzy
zachodzi wzór(2.3)
Dowód
(2.4)
Niech oznaczają kolumny macierzy zaś - kolumny macierzy . Na podstawie formuły (2.4 ) mamy wzór
(2.5)
Otrzymujemy następujące równości
Korzystając z definicji wyznacznika, łatwo widać, że wyznacznik macierzy jednostkowej jest równy . A zatem, jeśli jest macierzą odwracalną, to
Oznacza to, że macierz odwracalna ma wyznacznik różny on zera, a wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością wyznacznika macierzy danej. Mamy więc wzór
(2.6)
dla macierzy odwracalnej . Macierz, której wyznacznik jest różny od zera nazywa się macierzą nieosobliwą.
Załóżmy teraz, że macierz Lematu 1.1). Oznacza to, że, jeśli potraktujemy jako odwzorowanie liniowe z do , to jest izomorfizmem. A zatem macierz jest odwracalna. Mamy więc
ma niezerowy wyznacznik. Wtedy kolumny macierzy , jako wektory przestrzeni są liniowo niezależne (na podstawie (Twierdzenie 2.4
Macierz
jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.Twierdzenie 2.5
Jeżeli
, to .Dowód
Oznaczmy przez
macierz dualną do . A zatem . Mamy
Dla każdej permutacji weźmy . Jeśli , to . Zatem iloczyn jest równy iloczynowi (po ewentualnym spermutowaniu czynników). Ponieważ odwzorowanie jest bijekcją i dla każdej permutacji zachodzi równość , zatem

Z powyższego twierdzenia dostajemy następujący wzór na wyznacznik macierzy
(2.7)
Wyznacznik jest -liniową antysymetryczną funkcją wierszy.
Zauważmy teraz, że jeśli w macierzy Lematu 1.1. Jeśli zamienimy miejscami dwie kolumny (lub dwa wiersze), to wyznacznik zmieni swój znak. Jeśli pewną kolumnę macierzy pomnożymy przez skalar , to dla otrzymanej w ten sposób macierzy mamy wzór . W szczególności, wymienione właśnie operacje na macierzach są takie, że, po ich zastosowaniu do danej macierzy, wyznacznik macierzy się nie zmieni lub łatwo kontrolujemy ewentualne zmiany wyznacznika tej macierzy. Mówimy, że są to operacje elementarne (lub dopuszczalne ze względu na wyznacznik). Oczywiście sensowne jest mnożenie wierszy lub kolumn przez skalary różne od .
do pewnej kolumny (lub pewnego wiersza) dodamy kombinację liniową pozostałych kolumn (lub pozostałych wierszy), to wyznacznik macierzy się nie zmieni. Wynika to z wieloliniowości wyznacznika i z warunku 2.Udowodnimy teraz pewną pożyteczną rachunkową własność wyznacznika.
Twierdzenie 2.6
Niech
, , zaś oznacza zerową macierz z . Zachodzi wzór(2.8)
Dowód
Dla ustalonych macierzy
i rozważmy następujące odwzorowanie
Odwzorowanie , jako odwzorowanie rzędów macierzy jest -liniowe i antysymetryczne. A zatem, na podstawie rozważań z początku tego wykładu, wiemy, że
gdzie jest macierzą jednostkową. Pokażemy, że . Ustalmy macierz i rozważmy odwzorowanie
Traktując to odwzorowanie jako odwzorowanie kolumn macierzy , widzimy, że odwzorowanie to jest -liniowe antysymetryczne. A zatem, tak jak wyżej, dostajemy
Wystarczy teraz udowodnić, że
gdzie w odpowiednim miejscu oznacza macierz jednostkową odpowiedniego wymiaru. Ostatni wzór zostawiamy jako ćwiczenie.

W szczególności, zachodzi wzór
(2.9)
gdzie
.Udowodnimy teraz twierdzenie o tzw. rozwinięciu Laplace'a względem
-tej kolumny.Twierdzenie 2.7
Niech
. Dla każdego ustalonego wskaźnika ( ) zachodzi wzór
(2.10)
gdzie oznacza wyznacznik macierzy otrzymanej z
macierzy powstałej z macierzy przez wykreślenie -tego wiersza i -tej kolumny, pomnożony przez .
Dowód
Niech
będą kolumnami macierzy . Macierz traktujemy jako ciąg kolumn, tzn. . Jeśli jest bazą kanoniczną przestrzeni , to
Zatem, pamiętając o tym, że wyznacznik jest -liniową antysymetryczną funkcją kolumn, dostajemy
Wystarczy zauważyć, że
W tym celu przesuńmy -tą kolumnę macierzy w lewo na pierwsze miejsce. Wykonujemy
transpozycji. W tak otrzymanej macierzy przesuńmy -ty wiersz na pierwsze miejsce. W tym celu dokonujemy transpozycji. Po tych operacjach dostajemy macierz postaci
gdzie jest macierzą otrzymaną z macierzy przez wykreślenie -tego wiersza i -tej kolumny.
Korzystając ze wzoru (2.9) otrzymujemy

Na podstawie Twierdzenia 2.5 otrzymujemy wzory na rozwinięcie Laplace'a względem -tego wiersza.
Twierdzenie 2.8
Niech
. Dla każdego ustalonego wskaźnika ( ) zachodzi wzór
(2.11)