Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 1: Grupy i ciała

Grupy

Przez strukturę algebraiczną rozumie się zbiór składający się ze skończonej liczby zbiorów i ze skończonej liczby odwzorowań iloczynów kartezjańskich tych zbiorów w te zbiory. Odwzorowania te nazywa się działaniami.

Zaczniemy od rozważenia najprostszych struktur.

Niech $G$ będzie zbiorem niepustym. Działaniem wewnętrznym w zbiorze $G$ nazywamy odwzorowanie $d:G\times G\longrightarrow G$. Działanie $d$ jest łączne, jeśli dla każdych $a,b,c\in G$ zachodzi równość

$d(a,d(b,c))=d(d(a,b),c).$

Mówimy, że działanie $d$ jest przemienne, jeśli dla każdych elementów $a,b\in G$ zachodzi równość

$d(a,b)=d(b,a).$

Element $e\in G$ nazywa się elementem neutralnym ze względu na działanie $d$, jeśli dla każdego elementu $a\in G$ mamy

$a=d(e,a)=d(a,e).$

Łatwo widać, że jeśli istnieje element neutralny, to element taki jest jedyny w $G$. Istotnie, niech $e$ i $e'$ będą elementami neutralnymi ze względu na $d$. Zachodzą następujące równości

$e'=d(e,e')=e.$

Działania oznacza się najczęściej znakiem plus, tzn. $+$, lub znakiem kropki, która zwykle jest w zapisie pomijana. Oczywiście są też inne sposoby oznaczania działań, np. kółkiem, gwiazdką, etc. Działanie oznaczane znakiem $+$ nazywa się dodawaniem, działanie oznaczane kropką nazywa się mnożeniem. Jeśli działanie oznaczone jest plusem, to łączność oznacza, że dla każdych $a,b,c\in G$ mamy $a+(b+c)=(a+b)+c$. A zatem zapis $a+b+c$ ma sens. Podobnie dla działania zapisywanego multyplikatywnie, czyli kropką, łączność oznacza, że $a(bc)=(ab)c$ dla każdych $a,b,c\in G$, a zapis $abc$ ma sens. Oczywiście, łączność dodawania oznacza, że zapis $a_{1}+...+a_{n}$ ma sens dla dowolnego $n\in \mathbb {N}$, zaś w przypadku mnożenia, zapis $a_{1}\cdot ...\cdot a_{n}$ ma sens dla dowolnego $n\in \mathbb {N}$.

Jeśli działanie zapisywane jest w sposób addytywny, tzn. za pomocą znaku $+$, to element neutralny (o ile istnieje) nazywany jest zerem i oznaczany przez $0$. W przypadku zapisu multyplikatywnego, element neutralny nazywany jest często jedynką i oznaczany cyfrą $1$.

Załóżmy, że działanie $d$ w zbiorze $G$ ma element neutralny $e$. Załóżmy najpierw, że działanie to jest zapisywane addytywnie. Mówimy, że element $a\in G$ ma element przeciwny, jeśli istnieje element $a'\in G$ taki, że $a+a'=a'+a=e$. Jeśli działanie zapisywane jest multyplikatywnie, to mówimy, że element $a\in G$ ma element odwrotny w $G$, jeśli istnieje element $a'\in G$, taki że $aa'=a'a=e$.

Zauważmy, że jeśli działanie jest łączne, ma element neutralny i element $a\in G$ ma element odwrotny (przeciwny), to element taki jest jedyny. Mianowicie, jeśli $a'$ i $a''$ są elementami odwrotnymi do $a$, to (stosując zapis multyplikatywny) mamy następujące równości

$a'=a'e=a'(aa'')=(a'a)a''=ea''=a''.$

Jeżeli działanie zapisywane jest w sposób addytywny i element $a$ ma dokładnie jeden element przeciwny, to element ten oznaczamy przez $-a$. Ponadto, jeśli $b\in G$, to przyjmujemy oznaczenie

$b-a=b+(-a).$      (1.1)

Jeśli działanie zapisywane jest w sposób multyplikatywny i element $a$ ma dokładnie jeden element odwrotny, to oznaczamy go przez $a^{-1}$. Przyjmujemy także oznaczenie

$ab^{-1}={a \over b}\,.$

Definicja 1.1 [Grupa]

Mówimy, że zbiór niepusty $G$ z działaniem wewnętrznym jest grupą, jeśli działanie to jest łączne, ma element neutralny i każdy element $G$ ma element odwrotny (przeciwny).

Grupę nazywamy przemienną, lub abelową, jeśli jej działanie jest przemienne.

Załóżmy, że $G'$ jest niepustym podzbiorem grupy $G$. Mówimy, że $G'$ jest podgrupą grupy $G$, jeśli działanie grupy $G$ zawężone do $G'\times G'$ ma wartości w $G'$ oraz dla każdego elementu $a\in G'$ jego element odwrotny $a^{-1}$ również należy do $G'$.

Łatwo można sprawdzić, że podgrupa z zawężonym działaniem jest grupą.

Ciała

Rozważymy teraz zbiory wyposażone w dwa działania - dodawanie i mnożenie. Przyjmiemy następującą definicję.

Definicja 2.1 [Ciało]

Ciałem (dokładniej mówiąc - ciałem przemiennym) nazywamy zbiór $\mathbb {K}$ wyposażony w dwa działania wewnętrzne - dodawanie i mnożenie, które spełniają następujące warunki:

C1) $\mathbb {K}$ z dodawaniem jest grupą przemienną,

C2) mnożenie w $\mathbb {K}$ jest przemienne i zbiór $\mathbb {K} minus\{0\}$ z mnożeniem jest grupą,

C3) $a(b+c)=ab+ac$ dla każdych elementów $a,\,b,\,c\in \mathbb {K}$ (prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania).

Udowodnimy najbardziej podstawowe własności ciał.

Twierdzenie 2.2 [Własności Ciała]

W ciele zachodzą następujące warunki:

1. $1\neq 0$,
2. $0\cdot a=a\cdot 0=0,$
3. $(-1)\cdot a=-a,$
4. jeżeli $ab=0$, to $a=0$ lub $b=0$,
5. jeżeli $a\neq 0$ i $b\neq 0$, to $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$

dla każdych $a,\,b\in \mathbb {K}$.

Dowód

Wiemy, że zbiór $\mathbb {K} minus\{0\}$ jest grupą ze względu na mnożenie, a więc $1\in \mathbb {K} minus\{0\}$. Stąd mamy pierwszą własność.

Dla udowodnienia drugiej własności zauważmy, że

$0\cdot a+0\cdot a=(0+0)a=0\cdot a.$

Dodając do obydwu stron $-(0\cdot a)$ dostajemy żądaną równość. Korzystając z przemienności mnożenia w całym $\mathbb {K}$ dostajemy równość $a\cdot 0=0$ dla każdego $a\in \mathbb {K}$. Stąd i założonej łączności mnożenia w $\mathbb {K} minus\{0\}$ wynika już łączność mnożenia w całym zbiorze $\mathbb {K}$.

Korzystając z drugiej własności dostajemy teraz

$0=0\cdot a=(1+(-1))a=a+(-1)a.$

Ponieważ dodawanie w $\mathbb {K}$ jest przemienne, dostajemy równość $(-1)a+a=0$. Oznacza to, że $(-1)a$ jest elementem przeciwnym do $a$, co dowodzi trzeciej własności.

Dla dowodu czwartej własności przypuśćmy, że $a\neq 0$. Wtedy, wykorzystując już udowodnioną własność (2) dostajemy

$b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}0=0.$

Własność ta wynika też z aksjomatu C2), bo w aksjomacie tym implicite założono, że $\mathbb {K} minus\{0\}$ jest zamknięty ze względu na mnożenie.

Własność ostatnia wynika z następujących równości

$(b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}b=1.$

Konsekwencją trzeciej własności i wcześniejszej umowy (1.1) jest równość następująca:

$a(b-c)=ab-ac$

dla każdych $a,\,b,\,c\in \mathbb {K}$.

Wprowadzimy teraz pojęcie charakterystyki ciała.

Definicja 2.3 [Charakterystyka ciała]

Niech $\mathbb {K}$ będzie ciałem. Jeżeli istnieje liczba naturalna $n$ taka, że

$1+...+1=0,$

gdzie jedynka w powyższej sumie występuje $n$ razy, to najmniejszą taką liczbę $n$ nazywamy charakterystyką ciała. Jeśli taka liczba naturalna nie istnieje, mówimy, że charakterystyka ciała równa jest $0$.

Ponieważ $1\neq 0$, więc charakterystyka ciała, jeśli nie jest równa $0$, musi być większa lub równa $2$. Ciałem o charakterystyce 2 jest tzw. ciało zero-jedynkowe, które można wprowadzić tak. W zbiorze $\{0,\,1\}$ wprowadzamy działania

$0+0=0,\ \ \ 0+1=1+0=1,\ \ \ 1+1=0,$ $0\cdot 0=0,\ \ \ 0\cdot 1=1\cdot 0=0,\ \ \ 1\cdot 1=1.$

Łatwo widać, że spełnione są wszystkie warunki definiujące ciało i ciało to ma charakterystykę równą 2.

Ciałami są zbiór liczb wymiernych i zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłymi działaniami. Są to oczywiście ciała o charakterystyce $0$. Ciała te oznaczamy symbolami $\mathbb {Q}$ i $\mathbb {R}$ odpowiednio.

Ciało liczb zespolonych

Niech $\mathbb {C}$ będzie zbiorem $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ wyposażonym w dwa następujące działania:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc).$

Plik:Ag1 3a.mp4

Dodawanie liczb zespolonych

Sprawdzenie, że tak zdefiniowana struktura jest ciałem jest kwestią bezpośredniego rachunku. Elementem neutralnym ze względu na dodawanie (zerem w $\mathbb {C}$) jest element $(0,0)$, zaś elementem neutralnym ze względu na mnożenie jest element $(1,0)$. Elementem przeciwnym do elementu $(a,b)$ jest element $(-a,-b)$.

Plik:Ag1 3b.mp4 Element neutralny i elementy przeciwne w $(\mathbb {C} ,+)$

Plik:Ag1 3c.mp4 Element neutralny w $(\mathbb {C} ,\cdot )$

Elementem odwrotnym do niezerowego elementu $(a,b)$ jest element

$(a,b)^{-1}=\left({a \over {a^{2}+b^{2}}},-{b \over {a^{2}+b^{2}}}\right).$

Ciało liczb zespolonych ma charakterystykę 0.

Element $(0,1)$ oznaczamy przez $\mathbf {i}$. Liczbę rzeczywistą $a$ utożsamiamy z liczbą zespoloną $(a,0)$. Dokładniej mówiąc, odwzorowanie

$\mathbb {R} \ni a\longrightarrow (a,0)\in \mathbb {C}$

jest injekcją, czyli zbiór liczb rzeczywistych można uważać za podzbiór

$\{(a,0)|\ a\in \mathbb {R} \}$

zbioru liczb zespolonych. Co więcej, według powyższych formuł definiujących dodawanie i mnożenie w ciele liczb zespolonych, zwykłe dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych jest zawężeniem dodawania i mnożenia (odpowiednio) z ciała liczb zespolonych. Mówimy, że ciało $\mathbb {R}$ jest podciałem ciała $\mathbb {C}$.

Liczba zespolona $\mathbf {i} =(0,1)$ ma tę własność, że $\mathbf {i} ^{2}=-1$. W związku z tym, liczbę tę zapisywano jako ${\sqrt {-1}}$. Oznaczenie to używane było już w XVI wieku, jako formalny symbol, do obliczania pierwiastków wielomianów. Współczesna teoria i symbolika liczb zespolonych pochodzi z XIX wieku.

Plik:Ag1 3d.mp4

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Liczbę $\mathbf {i}$ nazywamy jednostką urojoną i zgodnie z przyjętymi wyżej definicjami i ustaleniami, każdą liczbę zespoloną $(a,b)$ możemy zapisać jako $a+b\mathbf {i}$. Liczbę rzeczywistą $a$ nazywamy częścią rzeczywistą (z łac. realis) liczby zespolonej $z=a+b\mathbf {i}$ i oznaczamy ją $\Re \,z$, zaś liczbę rzeczywistą $b$ nazywamy częścią urojoną ( z łac. imaginalis) liczby zespolonej $z$ i oznaczamy ją przez $\Im \,z$.

Liczby zespolone, jako elementy zbioru $\mathbb {R} ^{2}$, możemy identyfikować z punktami na płaszczyźnie wyposażonej w prostokątny układ współrzędnych. Dokładniej mówiąc, liczbę zespoloną $z=(a,b)$ przedstawiamy na płaszczyźnie jako punkt o współrzędnych $(a,b)$ lub jako wektor o początku w początku układu współrzędnych (w punkcie o współrzędnych $(0,0)$) i końcu w punkcie o współrzędnych $(a,b)$. Przyjmując tę geometryczną interpretację liczby zespolonej, zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy płaszczyzną liczb zespolonych. Dodawaniu liczb zespolonych odpowiada dodawanie wektorów zaczepionych w początku układu współrzędnych.

Dla liczby zespolonej wprowadzamy pojęcie modułu i argumentu. Modułem liczby zespolonej $z=a+b\mathbf {i}$ nazywamy liczbę rzeczywistą $|z|$ określoną wzorem

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Biorąc pod uwagę geometryczną interpretację liczb zespolonych, widzimy, że moduł liczby $z=a+b\mathbf {i}$ jest odległością punktu $(a,b)$ od początku układu współrzędnych lub długością wektora reprezentującego tę liczbę zespoloną. Moduł liczby zespolonej jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest równa zeru.

Argumentem różnej od zera liczby zespolonej $z=a+b\mathbf {i}$ nazywamy każdą liczbę rzeczywistą $\varphi$ spełniającą układ równań

${\begin{array}{l}\cos \varphi ={a \over {|z|}},\\\sin \varphi ={b \over {|z|}}.\end{array}}$

Umawiamy się, że dla liczby zespolonej $z=0$ argumentem jest każda liczba rzeczywista. Argumentem głównym liczby zespolonej $z\neq 0$ nazywamy ten argument, który leży w przedziale $[0,2\pi )$. Argument główny liczby zespolonej (niezerowej) oznaczmy przez $\arg z$.

Argument główny jest kątem nachylenia wektora $z$ do dodatniej półosi odciętych. Liczbę zespoloną $z=a+b\mathbf {i}$ różną od $0$ możemy teraz zapisać jako

$z=|z|(\cos \arg z+\mathbf {i} \sin \arg z).$

Każdą liczbę zespoloną możemy zapisać jako

$z=|z|(\cos \varphi +\mathbf {i} \sin \varphi )$

dla pewnego argumentu $\varphi$. Zapis ten nazywamy trygonometryczną postacią liczby zespolonej.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Można przeliczyć, stosując znane ze szkoły wzory trgonometryczne, że jeśli $z_{1}=|z_{1}|(\cos \varphi _{1}+\mathbf {i} \sin \varphi _{1})$ i $z_{2}=|z_{2}|(\cos \varphi _{2}+\mathbf {i} \sin \varphi _{2})$, to

$z_{1}z_{2}=|z_{1}||z_{2}|(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+\mathbf {i} \sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).$

Mnożenie liczb zespolonych

Potęgowanie liczb zespolonych

Jeśli przyjmiemy, że $z^{n}=z\cdot ...\cdot z$, gdzie $z$ powtarza się $n$ razy, to posługując się ostatnim wzorem na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, dostajemy natychmiast tzw. wzory de Moivre'a na $n$-tą potęgę liczby zespolonej

$[|z|(\cos \varphi +\mathbf {i} \sin \varphi )]^{n}=|z|^{n}(\cos n\varphi +\mathbf {i} \sin n\varphi ).$

Dla liczby zespolonej $z=a+b\mathbf {i}$ definiujemy tak zwaną liczbę sprzężoną ${\overline {z}}$ do liczby $z$. Mianowicie, definiujemy

${\overline {z}}=a-b\mathbf {i} .$

Jeśli $z=|z|(\cos \varphi +\mathbf {i} \sin \varphi )$, to

${\overline {z}}=|z|(\cos(-\varphi )+\mathbf {i} \sin(-\varphi )).$

Wobec tego liczba sprzężona ${\overline {z}}$ jest obrazem przez odbicie symetryczne względem osi odciętych liczby $z$, gdzie $z$ traktujemy jako punkt płaszczyzny lub wektor.

Plik:Ag1 3e.mp4

Moduł i sprzężenie liczby zespolonej

Na koniec tego wykładu przytoczymy, bez dowodu, bardzo ważną cechę ciała liczb zespolonych, której to cechy nie ma ciało liczb rzeczywistych. Najpierw wprowadźmy następującą definicję

Definicja 3.1 [Algebraiczna domkniętość]

Mówimy, że ciało $\mathbb {K}$ jest algebraicznie domknięte, jeśli każdy wielomian jednej zmiennej o współczynnikach z ciała $\mathbb {K}$ ma w ciele $\mathbb {K}$ miejsce zerowe.

Jak wiadomo, ciało liczb rzeczywistych nie ma takiej własności, bo np. wielomian $x^{2}+1$ nie ma miejsc zerowych w $\mathbb {R}$.

W przypadku liczb zespolonych zachodzi następujące twierdzenie, nazywane zasadniczym twierdzeniem algebry

Twierdzenie 3.2

Ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte.

Z twierdzenia tego wynika, że każdy wielomian o współczynnikach z ciała $\mathbb {C}$ jest rozkładalny na czynniki stopnia 1 o współczynnikach z ciała $\mathbb {K}$.