Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 12: Miara układu wektorów

Macierz Grama. Wyznacznik Grama

Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy sam iloczyn skalarny (oznaczony w tym rozdziale przez $g$) jako odwzorowanie dwuliniowe symetryczne jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową. Tą forma kwadratową jest kwadrat normy

$g(v,v)=\Vert v\Vert ^{2}.$

Niech teraz $v_{1},...,v_{k}$ będzie dowolnym ciągiem wektorów przestrzeni $V$. Definiujemy macierz

$\left[{\begin{array}{lcccr}\ g(v_{1},v_{1})\ .\ .\ .\ g(v_{1},v_{k})\\\ g(v_{2},v_{1})\ .\ .\ .\ g(v_{2},v_{k})\\\ ..................................\\\ g(v_{k},v_{1})\ .\ .\ .\ g(v_{k},v_{k})\end{array}}\right].$      (1.1)

Macierz tę nazywamy macierzą Grama ciągu wektorów $v_{1},...,v_{k}$. Wyznacznik tej macierzy nazywamy wyznacznikiem Grama tego ciągu.

Plik:Ag12 1a.mp4 Macierz i wyznacznik Grama

Zauważmy od razu, że wyznacznik Grama nie zależy od kolejności wektorów $v_{1},...,v_{k}$. Istotnie, przestawieniu dwu wektorów w ciągu $v_{1},...,v_{k}$ odpowiada jednoczesne przestawienie dwu kolumn i dwu wierszy w macierzy Grama. A zatem możemy mówić o wyznaczniku Grama układu wektorów. Wyznacznik Grama układu $v_{1},...,v_{k}$ oznaczać będziemy przez ${\rm {G}}(v_{1},...,v_{k})$.

Jeżeli $V$ jest skończenie wymiarowa, to macierz odwzorowania dwuliniowego $g$ przy dowolnej bazie ortonormalnej jest macierzą jednostkową. W szczególności, wyznacznik tej macierzy jest dodatni. Ze wzoru (0.3) z Wykładu XI wynika, że wyznacznik macierzy $g$ przy jakiejkolwiek bazie jest dodatni.

Twierdzenie 1.1

Wyznacznik Grama dowolnego układu wektorów jest zawsze większy lub równy zeru. Jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy układ wektorów jest liniowo zależny.

Dowód

Oznaczmy przez $U$ przestrzeń rozpiętą na danych wektorach $v_{1},...,v_{k}$. Przestrzeń ta jest wyposażona w iloczyn skalarny $g$ (dokładniej mówiąc, zawężenie $g$ do $U\times U$).

Jeśli wektory $v_{1},...,v_{k}$ są liniowo zależne, to pewien wektor $v_{j}$ jest kombinacją liniową wektorów pozostałych. Wtedy $j$-ta kolumna macierzy Grama jest kombinacją liniową pozostałych kolumn. Oznacza to, że wyznacznik tej macierzy jest równy zeru.

Załóżmy teraz, że wektory $v_{1},...,v_{n}$ są liniowo niezależne. Stanowią więc bazę przestrzeni $U$. Macierz Grama tego układu, jest macierzą $g$ przy bazie $v_{1},...,v_{n}$ przestrzeni $U$. A zatem, na podstawie uwagi, którą zrobiliśmy bezpośrednio przed twierdzeniem, wyznacznik tej macierzy jest dodatni (w

szczególności niezerowy).

Przykład 1.2

Niech dane będą dwa wektory $v$ i $u$. Mamy macierz Grama

$\left[{\begin{array}{lr}\ g(v,v)\ g(v,u)\\\ g(u,v)\ g(u,u)\end{array}}\right].$

Fakt, że wyznacznik tej macierzy jest nieujemny jest nierównością Schwarza.

Niech $e_{1},...,e_{n}$ będzie bazą ortonormalną przestrzeni $V$ i niech $v_{1},...,v_{n}$ będzie dowolnym układem wektorów przestrzeni $V$. Tak jak zdefiniowaliśmy macierz przejścia od jednej bazy do drugiej, tak samo możemy zdefiniować macierz przejścia od bazy $e_{1},...,e_{n}$ do układu $v_{1},...,v_{n}$. Mianowicie, definiujemy macierz $P=[v_{ij}]$ wzorami

$\displaystyle v_{j}=\sum _{i=1}^{n}v_{ij}e_{i}.$      (1.2)

Macierz $P$ jest macierzą współrzędnych wektorów $v_{1},...,v_{n}$ w bazie $e_{1},...e_{n}$. Zupełnie tak samo jak wzór (0.3) z Wykładu XI otrzymujemy wzór następujący

$\left[{\begin{array}{lcccr}\ g(v_{1},v_{1})\ .\ .\ .\ g(v_{1},v_{k})\\\ ..................................\\\ g(v_{k},v_{1})\ .\ .\ .\ g(v_{k},v_{k})\end{array}}\right]=P^{*}P,$      (1.3)

gdzie $P$ jest macierzą zdefiniowaną formułą (1.2).

Otrzymaliśmy więc

Twierdzenie 1.3

Wyznacznik Grama układu wektorów $v_{1},...,v_{n}$ jest równy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle ({\rm det} P)^2} , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle P} jest macierzą utworzoną ze współrzędnych wektorów Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v_1,...,v_n} w bazie ortonormalnej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle e_1,...,e_n} .

Miara układu wektorów

Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle V} będzie skończenie wymiarową euklidesową przestrzenią wektorową. Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle U} będzie dowolną jej podprzestrzenią. Mamy wtedy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle V=U\oplus U^{\perp}} . Niech $v\in V$ będzie dowolnym wektorem. Wektor ten rozkłada się jednoznacznie na sumę $v=u+u'$, gdzie $u\in U$ i $u'\in U^{\perp }$. Zdefiniujmy liczbę

$d(v,U)=\Vert u'\Vert .$      (2.4)

Niech teraz $V$ będzie dowolną (niekoniecznie skończenie wymiarową) euklidesową przestrzenią wektorową i $v_{1},...,v_{n}$ dowolnym ciągiem wektorów.

Zdefiniujemy liczbę ${\rm {vol}}(v_{1},...,v_{n})$ , którą nazywać będziemy miarą układu $v_{1},...,v_{n}$ (lub $n$-wymiarową objętością). Definicja będzie indukcyjna.

Definicja 2.1

Jeżeli $n=1$, to miarą wektora $v_{1}$ jest jego długość $\Vert v_{1}\Vert$. Jeżeli określona już jest miara układów $n$-elementowych, to miarą układu $v_{1},...,v_{n},v$ jest liczba zdefiniowana wzorem

${\rm {vol}}(v_{1},...,v_{n},v)=d(v,{\rm {lin}}\{v_{1},...,v_{n}\}){\rm {vol}}(v_{1},...,v_{n}).$

Plik:Ag12 2a.mp4

Miara układu wektorów (objętość)

Definicja ta jest zgodna z naszą intuicją i wiadomościami wyniesionymi ze szkoły.

Miara układu dwóch wektorów jest polem równoległoboku wyznaczonego przez te wektory. Miara układu trzech liniowo niezależnych wektorów jest objętością równoległościanu utworzonego przez te wektory.

Z definicji miary układu wektorów łatwo wynika, że ${\rm {vol}}(v_{1},...,v_{n})=0$, jeśli wektory $v_{1},...,v_{n}$ są liniowo zależne.

Udowodnimy teraz twierdzenie

Twierdzenie 2.2

Dla każdego układu wektorów $v_{1},...,v_{n}$ zachodzi równość

${\rm {vol}}(v_{1},...,v_{n})={\sqrt {{\rm {G}}(v_{1},...,v_{n})}}.$      (2.5)

Dowód

Dowód jest indukcyjny ze względu na $n$.

Dla $n=1$ twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że jest prawdziwe dla pewnego $n$.

Niech dany będzie układ wektorów $v_{1},...,v_{n},v$. Jeśli układ ten jest liniowo zależny, to po obydwu stronach (2.5) mamy zero. Możemy więc założyć, że dany układ wektorów jest liniowo niezależny.

W $(n+1)$-wymiarowej przestrzeni $V'={\rm {lin}}\{v_{1},...,v_{n},v\}$ weźmy $n$-wymiarową podprzestrzeń $U={\rm {lin}}\{v_{1},...,v_{n}\}$. Oznaczmy przez $d$ liczbę $d=d(v,U)$. Niech $v=u+u'$, gdzie $u\in U$ i $u'\in U^{\perp }$, zaś $U^{\perp }$ jest dopełnieniem ortogonalnym do $U$ w $V'$. W szczególności $g(u,u')=0$. Ponieważ $v_{1},...,v_{n}$ jest bazą $U$, wektor $u$ możemy zapisać jako

$\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}.$

Zachodzą następujące równości

${\begin{aligned}d^{2}=\Vert u'\Vert ^{2}&=g(u',u')=g(u',u+u')=g(u',v)=g(v-u,v)\\&=g(v,v)-g(u,v)=\Vert v\Vert ^{2}-g\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},v\right)=\Vert v\Vert ^{2}-\sum _{i=1}^{n}x_{i}g(v_{i},v).\end{aligned}}$

A zatem mamy równość

$\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}g(v_{i},v)+(-1)(\Vert v\Vert ^{2}-d^{2})=0.$      (2.6)

Oczywiście $g(u,v_{j})=g(v,v_{j})$ dla każdego $j=1,...n$. Stąd

$\displaystyle g\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},v_{j}\right)=g(v,v_{j})$

dla $j=1,...,n$. Zatem

$\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}g(v_{i},v_{j})+(-1)g(v,v_{j})=0.$      (2.7)

Przyjmijmy $x_{n+1}=-1$. Łącząc (2.6) i (2.7) otrzymujemy układ $n+1$ równości

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\ \sum _{i}^{n}x_{i}g(v_{i},v_{j})+x_{n+1}g(v,v_{j})=0,\ \ j=1,...,n\\\ \sum _{i}^{n}x_{i}g(v_{i},v)+x_{n+1}(\Vert v\Vert ^{2}-d^{2})=0.\end{array}}\right.$      (2.8)

Potraktujmy ten układ jako jednorodny układ $n+1$ równań liniowych z $n+1$ niewiadomymi $x_{1},...,x_{n+1}$. Wiemy, że układ ten ma niezerowe rozwiązanie $(x_{1},...,x_{n},-1)$. A zatem wyznacznik macierzy współczynników tego układu jest równy $0$. Macierz współczynników tego układu jest następująca

$\left[{\begin{array}{lccccr}\ g(v_{1},v_{1})\ .\ .\ .\ g(v_{n},v_{1})\ \ \ \ \ \ g(v,v_{1})\\\ .......................................................\\\ g(v_{1},v_{n})\ .\ .\ .\ \ g(v_{n},v_{n})\ \ \ \ \ g(v,v_{n})\\\ g(v_{1},v)\ \ .\ .\ .\ \ \ g(v_{n},v)\ \ \ \ \ g(v,v)-d^{2}\end{array}}\right]$      (2.9)

Korzystając teraz z liniowości wyznacznika ze względu na ostatnią kolumnę otrzymujemy równość wyznaczników następujących macierzy

$\left[{\begin{array}{lccccr}\ g(v_{1},v_{1})\ .\ .\ .\ g(v_{n},v_{1})\ g(v,v_{1})\\\ ...............................................\\\ g(v_{1},v_{n})\ .\ .\ .\ g(v_{n},v_{n})\ g(v,v_{n})\\\ g(v_{1},v)\ .\ .\ .\ \ g(v_{n},v)\ \ \ \ g(v,v)\end{array}}\right],$      (2.10)

$\left[{\begin{array}{lccccl}\ g(v_{1},v_{1})\ .\ .\ .\ g(v_{n},v_{1})\ \ \ \ 0\\\ ...............................................\\\ g(v_{1},v_{n})\ .\ .\ .\ g(v_{n},v_{n})\ \ \ \ 0\\\ g(v_{1},v)\ .\ .\ .\ \ g(v_{n},v)\ \ \ \ \ \ d^{2}\end{array}}\right],$      (2.11)

Wyznacznik pierwszej macierzy jest równy ${\rm {G}}(v_{1},...,v_{n},v)$, zaś wyznacznik drugiej macierzy jest równy $d^{2}{\rm {G}}(v_{1},...,v_{n})$. Dowód twierdzenia jest zakończony.

Z powyższego twierdzenia wynika natychmiast następujący

Wniosek 2.3

Miara układu wektorów nie zależy od uporządkowania wektorów tworzących układ.

Ponadto udowodniliśmy następujący wzór

Twierdzenie 2.4

Dla dowolnych wektorów $v_{1},...v_{n},v$ zachodzi wzór

${\rm {G}}(v_{1},...,v_{n},v)=d^{2}G(v_{1},...,v_{n}),$      (2.12)

gdzie liczba $d=d(v,U)$ zdefiniowana jest formułą (2.4) i $U={\rm {lin}}\{v_{1},...,v_{n}\}$.

Miara dowolnego ortonormalnego układu wektorów jest równa 1. Wynika to łatwo zarówno z definicji jak i z formuły (2.5). Innymi słowy, objętość kostki rozpiętej na układzie ortonormalnym jest równa 1.

Niech $f$ będzie endomorfizmem przestrzeni euklidesowej $V$. Załóżmy, że $V$ jest skończenie wymiarowa. Ustalmy pewną bazę ortonormalną $e_{1},...,e_{n}$. Miara układu wektorów $(e_{1},...,e_{n})$ jest równa 1. Jeśli $f$ jest endomorfizmem przestrzeni $V$, to $f$ przeprowadza daną bazę w układ $f(e_{1}),...,f(e_{n})$. Kolumny macierzy $A$ odwzorowania $f$ przy bazie $e_{1},...,e_{n}$ są współrzędnymi wektorów $f(e_{1}),...,f(e_{n})$ w bazie $e_{1},...,e_{n}$. A zatem, na podstawie Twierdzenia 1.2 i Twierdzenia 2.2, otrzymujemy

Wniosek 2.5

Miara wektorów $f(e_{1}),...,f(e_{n})$ jest równa mierze bazy $e_{1},...,e_{n}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\rm {det}}f=\pm 1$.

O endomorfizmie $f$ mówimy, że zachowuje objętość, jeśli jego wyznacznik jest równy $\pm 1$. Oczywiście izometrie maja tę własność, ale odwzorowań zachowujących objętość jest o wiele więcej. Każdy automorfizm pomnożony przez odpowiedni skalar jest odwzorowaniem zachowującym objętość. Endomorfizm, którego wyznacznik jest równy 1 nazywa się endomorfizmem unimodularnym.

Ogół macierzy kwadratowych o wymiarach $n$ na $n$, których wyznacznik równy jest 1 jest podgrupą grupy $GL(n;{\mathbb {R} })$. Grupę tę oznacza się $SL(n;\mathbb {R} )$ i nazywa się grupą specjalną. Elementy tej grupy nazywa się macierzami unimodularnymi.