Macierz Grama. Wyznacznik Grama
Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy sam iloczyn skalarny
(oznaczony w tym rozdziale przez
) jako odwzorowanie
dwuliniowe symetryczne jest odwzorowaniem dwuliniowym
skojarzonym z formą kwadratową. Tą forma kwadratową jest kwadrat
normy
Niech teraz
będzie dowolnym ciągiem wektorów przestrzeni
. Definiujemy macierz
(1.1)
Macierz tę nazywamy macierzą Grama ciągu wektorów
. Wyznacznik tej macierzy nazywamy wyznacznikiem Grama tego ciągu.
Zauważmy od razu, że wyznacznik Grama nie zależy od kolejności
wektorów
. Istotnie, przestawieniu dwu wektorów w
ciągu
odpowiada jednoczesne przestawienie dwu kolumn
i dwu wierszy w macierzy Grama. A zatem możemy mówić o wyznaczniku
Grama układu wektorów. Wyznacznik Grama układu
oznaczać będziemy przez
.
Jeżeli
jest skończenie wymiarowa, to
macierz odwzorowania dwuliniowego
przy dowolnej bazie
ortonormalnej jest macierzą jednostkową. W
szczególności, wyznacznik tej macierzy jest dodatni. Ze wzoru
(0.3) z Wykładu XI wynika, że wyznacznik macierzy
przy jakiejkolwiek bazie jest dodatni.
Twierdzenie 1.1
Wyznacznik Grama dowolnego układu wektorów jest zawsze większy lub
równy zeru. Jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy układ
wektorów jest liniowo zależny.
Dowód
Oznaczmy przez
przestrzeń rozpiętą na danych wektorach
. Przestrzeń ta jest wyposażona w iloczyn skalarny
(dokładniej mówiąc, zawężenie
do
).
Jeśli wektory
są liniowo zależne, to pewien wektor
jest kombinacją liniową wektorów pozostałych. Wtedy
-ta kolumna macierzy Grama jest kombinacją liniową pozostałych kolumn. Oznacza to, że wyznacznik tej macierzy jest równy zeru.
Załóżmy teraz, że wektory
są liniowo niezależne.
Stanowią więc bazę przestrzeni
. Macierz Grama tego układu,
jest macierzą
przy bazie
przestrzeni
. A zatem, na podstawie uwagi, którą zrobiliśmy bezpośrednio przed
twierdzeniem, wyznacznik tej macierzy jest dodatni (w
szczególności niezerowy).

Przykład 1.2
Niech dane będą dwa wektory
i
. Mamy macierz Grama
Fakt, że wyznacznik tej macierzy jest nieujemny jest nierównością Schwarza.
Niech
będzie bazą ortonormalną przestrzeni
i niech
będzie dowolnym układem wektorów przestrzeni
. Tak jak zdefiniowaliśmy macierz przejścia od jednej bazy do drugiej, tak samo możemy zdefiniować macierz przejścia od bazy
do układu
. Mianowicie, definiujemy macierz
wzorami
(1.2)
Macierz
jest macierzą współrzędnych wektorów
w bazie
. Zupełnie tak samo jak
wzór (0.3) z Wykładu XI otrzymujemy wzór następujący
(1.3)
gdzie
jest macierzą zdefiniowaną formułą (1.2).
Otrzymaliśmy więc
Twierdzenie 1.3
Wyznacznik Grama układu wektorów
jest równy
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle ({\rm det} P)^2}
, gdzie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle P}
jest macierzą utworzoną ze współrzędnych wektorów Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v_1,...,v_n}
w bazie ortonormalnej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle e_1,...,e_n}
.
Miara układu wektorów
Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle V}
będzie skończenie wymiarową euklidesową przestrzenią
wektorową. Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle U}
będzie dowolną jej podprzestrzenią. Mamy
wtedy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle V=U\oplus U^{\perp}}
. Niech
będzie dowolnym wektorem. Wektor ten rozkłada się jednoznacznie na sumę
, gdzie
i
. Zdefiniujmy liczbę
(2.4)
Niech teraz
będzie dowolną (niekoniecznie skończenie
wymiarową) euklidesową przestrzenią wektorową i
dowolnym ciągiem wektorów.
Zdefiniujemy liczbę
, którą nazywać będziemy miarą układu
(lub
-wymiarową objętością). Definicja będzie indukcyjna.
Definicja 2.1
Jeżeli
, to miarą wektora
jest jego długość
. Jeżeli określona już jest miara układów
-elementowych, to miarą układu
jest liczba zdefiniowana wzorem
Definicja ta jest zgodna z naszą intuicją i wiadomościami wyniesionymi ze szkoły.
Miara układu dwóch wektorów jest polem równoległoboku wyznaczonego przez te wektory. Miara układu trzech liniowo niezależnych wektorów jest objętością równoległościanu utworzonego przez te wektory.
Z definicji miary układu wektorów łatwo wynika, że
, jeśli wektory
są liniowo zależne.
Udowodnimy teraz twierdzenie
Twierdzenie 2.2
Dla każdego układu wektorów

zachodzi równość
(2.5)
Dowód
Dowód jest indukcyjny ze względu na
.
Dla
twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że jest prawdziwe
dla pewnego
.
Niech dany będzie układ wektorów
. Jeśli układ ten jest liniowo zależny, to po obydwu stronach (2.5) mamy zero. Możemy więc założyć, że dany układ wektorów jest liniowo niezależny.
W
-wymiarowej przestrzeni
weźmy
-wymiarową podprzestrzeń
. Oznaczmy przez
liczbę
. Niech
, gdzie
i
, zaś
jest dopełnieniem ortogonalnym do
w
. W szczególności
. Ponieważ
jest bazą
, wektor
możemy zapisać jako
Zachodzą następujące równości

A zatem mamy równość
(2.6)
Oczywiście
dla każdego
. Stąd
dla
. Zatem
(2.7)
Przyjmijmy
. Łącząc (2.6) i
(2.7) otrzymujemy układ
równości
(2.8)
Potraktujmy ten układ jako jednorodny układ
równań
liniowych z
niewiadomymi
. Wiemy, że układ ten ma niezerowe rozwiązanie
. A zatem
wyznacznik macierzy współczynników tego układu jest równy
.
Macierz współczynników tego układu jest następująca
(2.9)
Korzystając teraz z liniowości wyznacznika ze względu na ostatnią
kolumnę otrzymujemy równość wyznaczników następujących macierzy
(2.10)
(2.11)
Wyznacznik pierwszej macierzy jest równy
,
zaś wyznacznik drugiej macierzy jest równy
. Dowód twierdzenia jest zakończony.
Z powyższego twierdzenia wynika natychmiast następujący
Wniosek 2.3
Miara układu wektorów nie zależy od uporządkowania wektorów tworzących układ.
Ponadto udowodniliśmy następujący wzór
Twierdzenie 2.4
Dla dowolnych wektorów

zachodzi wzór
(2.12)
gdzie liczba
zdefiniowana jest formułą
(2.4) i
.
Miara dowolnego ortonormalnego układu wektorów jest równa 1. Wynika to łatwo zarówno z definicji jak i z formuły (2.5). Innymi słowy, objętość kostki rozpiętej na układzie ortonormalnym jest równa 1.
Niech
będzie endomorfizmem przestrzeni euklidesowej
. Załóżmy, że
jest skończenie wymiarowa. Ustalmy pewną bazę ortonormalną
. Miara układu wektorów
jest równa 1. Jeśli
jest endomorfizmem przestrzeni
, to
przeprowadza daną bazę w układ
. Kolumny macierzy
odwzorowania
przy bazie
są współrzędnymi wektorów
w bazie
. A zatem, na podstawie Twierdzenia 1.2 i Twierdzenia 2.2, otrzymujemy
Wniosek 2.5
O endomorfizmie
mówimy, że zachowuje objętość, jeśli jego
wyznacznik jest równy
. Oczywiście izometrie maja tę
własność, ale odwzorowań zachowujących objętość jest o wiele więcej. Każdy automorfizm pomnożony przez odpowiedni skalar jest odwzorowaniem zachowującym objętość. Endomorfizm, którego wyznacznik jest równy 1 nazywa się endomorfizmem unimodularnym.
Ogół macierzy kwadratowych o wymiarach
na
, których
wyznacznik równy jest 1 jest podgrupą grupy
. Grupę tę oznacza się
i nazywa się grupą specjalną. Elementy tej grupy nazywa się macierzami unimodularnymi.