Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 8: Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych

Niech $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to$ det $\displaystyle A(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R}$, gdzie

$\displaystyle A(x_{1},x_{2},x_{3}):=\left[{\begin{array}{rrr}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\1&-1&0\\1&2&3\end{array}}\right].$

$\displaystyle f$ jest odwzorowaniem liniowym. Dobrze

Jeśli $\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\in lin\{(1,-1,0),\ (1,2,3)\}$, to $\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0$. Dobrze

Jeśli $\displaystyle x_{3}=x_{1}+x_{2}$, to $\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0$. Dobrze

Jeśli $\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0$, to $\displaystyle x_{3}=x_{1}+x_{2}$. Dobrze

Dany jest układ równań

$\displaystyle (U)\left\{{\begin{array}{rrrl}5x-2y+z=0\\3x+y+5z=0\\9x-8y-7z=0.\end{array}}\right.$

Jedynym rozwiązaniem układu $\displaystyle (U)$ jest trójka $\displaystyle (0,0,0)$. Źle

Zbiór rozwiązań układu $\displaystyle (U)$ jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Dobrze

Jeśli trójka $\displaystyle (x,y,z)$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle (U)$, to $\displaystyle y=-3x-5z$. Dobrze

Dla dowolnego $\displaystyle x\in \mathbb {R}$ trójka $\displaystyle (x,2x,-x)$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle (U)$. Dobrze

Dany jest układ równań

$\displaystyle (U)\left\{{\begin{array}{rrrl}5x+2y-z=6\\3x-y+2z=7\\x-4y+5z=8.\end{array}}\right.$

Wyznacznik macierzy współczynników układu $\displaystyle (U)$ jest różny od zera. Źle

Jeśli $\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})$ jest rozwiązaniem $\displaystyle (U)$, to $\displaystyle (x_{0}-1,y_{0}-2,z_{0}-3)$ jest rozwiązaniem układu jednorodnego skojarzonego z $\displaystyle (U)$. Dobrze

Jeśli $\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})$ jest rozwiązaniem $\displaystyle (U)$, to $\displaystyle (x_{0}+1,y_{0}+2,z_{0}+3)$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle (U)$. Źle

Zbiór rozwiązań układu jednorodnego skojarzonego z $\displaystyle (U)$ jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Dobrze

Dany jest układ równań

$\displaystyle (U_{a})\left\{{\begin{array}{rrrl}2x-y=a\\-3x+y+az=1\\ax+y-3z=-7.\end{array}}\right.$

Jeśli $\displaystyle a\in \mathbb {R} minus\{1,-3\}$, to układ $\displaystyle (U_{a})$ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dobrze

Jeśli $\displaystyle a=1$, to układ $\displaystyle (U_{a})$ nie ma rozwiązań. Źle

Jeśli $\displaystyle a=-3$, to układ $\displaystyle (U_{a})$ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Źle

Istnieje takie $\displaystyle a\in \mathbb {R}$, że zbiór rozwiązań układu $\displaystyle (U_{a})$ jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Źle

Dany jest układ równań o współczynnikach rzeczywistych

$\displaystyle (U)\left\{{\begin{array}{rrrl}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\...........................................\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}.\end{array}}\right.$

Niech $\displaystyle A=[a_{ij}]_{i,j=1,2,...,n}$

Jeśli det $\displaystyle A\neq 0$ to dla dowolnego wektora $\displaystyle (b_{1},...,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ układ $\displaystyle (U)$ ma rozwiązanie. Dobrze

Jeśli det $\displaystyle A\neq 0$ to dla dowolnego wektora $\displaystyle (b_{1},...,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ układ $\displaystyle (U)$ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dobrze

Jeśli det $\displaystyle A=0$ to istnieje taki wektor $\displaystyle (b_{1},...,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$, że układ $\displaystyle (U)$ ma rozwiązanie. Dobrze

Jeśli det $\displaystyle A=0$ to istnieje taki wektor $\displaystyle (b_{1},...,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$, że układ $\displaystyle (U)$ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Źle

Niech $\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} \$ lub $\displaystyle \ \mathbb {C} ,\ n\in \mathbb {N} ,\ n\geq 2$ i niech $\displaystyle A,C\in M(n,n;\mathbb {K} ),B,D,X_{0},Y_{0}\in M(n,1;\mathbb {K} )$. Rozważamy układy równań

$\displaystyle (U_{1})\ AX=B\ \$ oraz $\displaystyle \ \ (U_{2})\ CX=D$

o niewiadomej $\displaystyle X\in M(n,1;\mathbb {K} )$.

Jeżeli $\displaystyle X_{0}$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle U_{1}$, $\displaystyle B$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle U_{2}$, to $\displaystyle X_{0}$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle (CA)X=D$. Dobrze

Jeżeli $\displaystyle X_{0}$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle U_{1}$, $\displaystyle B$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle U_{2}$, to $\displaystyle X_{0}$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle (AC)X=D$. Źle

Jeżeli $\displaystyle X_{0}$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle (CA)X=D$, to $\displaystyle AX_{0}$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle U_{2}$. Dobrze

Jeżeli $\displaystyle X_{0}$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle U_{1}$, $\displaystyle Y_{0}$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle U_{2}$, to $\displaystyle X_{0}+Y_{0}$ jest rozwiązaniem układu $\displaystyle (A+C)X=B+D$. Źle