Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 5: Macierze

Dane są macierze

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rr}2&-1\\-1&1\end{array}}\right]$ oraz $\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rr}1&1\\1&2\end{array}}\right]$

$\displaystyle A^{*}=A$. Dobrze

$\displaystyle B=A^{-1}$. Dobrze

$\displaystyle A+B$ jest odwracalna. Dobrze

$\displaystyle B^{*}=(A^{*})^{-1}$. Dobrze

Niech

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&1\\2&-1&1\\\end{array}}\right],\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rrr}3&-1&0\\2&2&1\\\end{array}}\right]$ oraz $\displaystyle C=\left[{\begin{array}{rr}2&1\\-1&0\\1&1\end{array}}\right],\displaystyle D=\left[{\begin{array}{rrr}5&-1&2\\6&0&3\\\end{array}}\right],$

$\displaystyle 2A+B=D.$ Dobrze

$\displaystyle AB^{*}=BA^{*}$. Źle

$\displaystyle A^{*}=C$. Źle

rk $\displaystyle A=3$. Źle

Dane są macierze

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}3&-2&1\\2&-1&0\\0&1&-1\end{array}}\right]$ oraz $\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rrr}1&2&2\\-1&-3&-3\\1&2&1\\\end{array}}\right]$

rk $\displaystyle A=3$. Dobrze

$\displaystyle B=A^{-1}$. Źle

$\displaystyle B^{*}=A^{-1}$. Dobrze

$\displaystyle A^{*}=B^{-1}$. Dobrze

Niech

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rr}{\textbf {i}}&1\\0&-{\textbf {i}}\\\end{array}}\right]$

$\displaystyle A^{2}=I$. Źle

$\displaystyle A^{4}=I$. Dobrze

$\displaystyle A^{3}=A^{-1}$. Dobrze

$\displaystyle A^{3}=A^{*}$. Źle

Niech $\displaystyle A,B\in M(n,n;\mathbb {R} )$.

Jeśli $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są odwracalne, to $\displaystyle A+B$ jest odwracalna. Źle

Jeśli $\displaystyle A$ jest odwracalna, to $\displaystyle A^{*}$ jest odwracalna. Dobrze

Jeśli $\displaystyle B$ jest odwrotna do $\displaystyle A$, to $\displaystyle B^{*}$ jest odwrotna do $\displaystyle A^{*}$. Dobrze

Jeśli rk $\displaystyle A=n$, to $\displaystyle A$ jest odwracalna. Dobrze

Niech

$\displaystyle A_{11}=\left[{\begin{array}{rr}1&0\\0&0\\\end{array}}\right]\displaystyle A_{12}=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\0&0\\\end{array}}\right]\displaystyle A_{21}=\left[{\begin{array}{rr}0&0\\1&0\\\end{array}}\right]\displaystyle A_{22}=\left[{\begin{array}{rr}0&0\\0&1\\\end{array}}\right]$

Macierze $\displaystyle A_{11},\ A_{12},\ A_{21},\ A_{22}$ tworzą układ liniowo niezależny w $\displaystyle M(2,2;\mathbb {R} )$. Dobrze

Macierze $\displaystyle A_{11},\ A_{12},\ A_{21},\ A_{22}$ generują $\displaystyle M(2,2;\mathbb {R} )$. Dobrze

$\displaystyle \dim M(2,2;\mathbb {R} )=2$. Źle

$\displaystyle (\{A_{11},\ A_{12},\ A_{21},\ A_{22}\},\cdot$) jest grupą ($\displaystyle \cdot$ oznacza mnożenie macierzy). Źle