Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 13: Przestrzenie afiniczne I

Niech $\displaystyle X=\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}\ ;\ 3x_{1}-x_{2}=5\}$, $\displaystyle V=\{(t,3t)\ ;\ t\in \mathbb {R} \}$ i niech

$\displaystyle \omega \colon X\times X\ni ((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))\to (y_{1}-x_{1},y_{2}-x_{2})\in \mathbb {R} ^{2},$ $\displaystyle \delta \colon X\times V\ni ((x_{1},x_{2}),(v_{1},v_{2}))\to (x_{1}+v_{1},x_{2}+v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}.$

$\displaystyle \omega (X\times X)\subset V$. Dobrze

$\displaystyle \delta (X\times V)\subset X$. Dobrze

$\displaystyle (X,V,\omega ,\delta )$ jest przestrzenią afiniczną. Dobrze

$\displaystyle \forall (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\in X\ y_{2}-x_{2}=3(y_{1}-x_{1})$. Dobrze

Niech $\displaystyle X=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ ;\ 2x_{1}-x_{3}=1,\ x_{1}+x_{2}=2\}$ i niech

$\displaystyle \omega \colon X\times X\ni ((x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2},y_{3}))\to (y_{1}-x_{1},y_{2}-x_{2},y_{3}-x_{3})\in \mathbb {R} ^{3},$ $\displaystyle \delta \colon X\times \mathbb {R} \ni ((x_{1},x_{2},x_{3}),t)\to (x_{1}+t,x_{2}-t,x_{3}+2t)\in \mathbb {R} ^{3}.$

$\displaystyle (X,\mathbb {R} ,\omega ,\delta )$ jest przestrzenią afiniczną. Dobrze

$\displaystyle (0,0,0)\in X$. Źle

$\displaystyle \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X\ \mathbf {x} +\mathbf {y} \in X$. Źle

$\displaystyle \forall \mathbf {x} \in X\ \forall \lambda \in \mathbb {R} \ \lambda \mathbf {x} \in X$. Źle

Niech $\displaystyle X=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ ;\ 2x_{1}+3x_{2}-3x_{3}=1,\ x_{1}+x_{2}-2x_{3}=-1\}$, $\displaystyle V=\{(3t,-t,t)\ ;\ t\in \mathbb {R} \}$ i niech

$\displaystyle \omega \colon X\times X\ni (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\to \mathbf {y} -\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3},$ $\displaystyle \delta \colon X\times V\ni (\mathbf {x} ,v)\to \mathbf {x} +v\in \mathbb {R} ^{3}.$

$\displaystyle X$ jest przestrzenią afiniczną o kierunku $\displaystyle V$. Dobrze

$\displaystyle \{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ ;\ x_{2}+x_{3}=1\}\subset X$. Źle

Każde trzy punkty $\displaystyle a,b,c\in X$ są afinicznie zależne. Dobrze

$\displaystyle \forall \mathbf {x} \in X\ \forall v\in Vminus\{\Theta \}$ punkty $\displaystyle \mathbf {x}$ oraz $\displaystyle \mathbf {x} +v$ są afinicznie niezależne. Dobrze

Niech $\displaystyle X$ będzie przestrzenią afiniczną o kierunku $\displaystyle V$ i niech $\displaystyle n\in \mathbb {N} _{1}$.

Jeżeli $\displaystyle \dim V=n$, to każdy $\displaystyle n$-elementowy zbiór punktów przestrzeni $\displaystyle X$ jest afinicznie niezależny. Źle

Jeżeli $\displaystyle \dim V=n$, to istnieje $\displaystyle (n+1)$-elementowy zbiór punktów przestrzeni $\displaystyle X$, który jest afinicznie niezależny. Dobrze

Jeśli $\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n}$ tworzą bazę $\displaystyle V$, to dla dowolnego $\displaystyle a\in A$ układ $\displaystyle (a;v_{1},v_{2},...,v_{n})$ jest układem bazowym przestrzeni $\displaystyle X$. Dobrze

Jeżeli $\displaystyle \dim V\geq 2$, to istnieją liniowo zależne wektory $\displaystyle v,w\in V$ oraz punkt $\displaystyle x\in X$ takie, że punkty $\displaystyle x,x+v,x+w$ tworzą zbiór afinicznie niezależny. Źle

Niech $\displaystyle X=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\ ;\ 4x_{1}+3x_{2}-x_{3}=3,\}$, $\displaystyle V=\{(\alpha ,\beta ,4\alpha +3\beta )\ ;\ \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}$ i niech

$\displaystyle \omega \colon X\times X\ni (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\to \mathbf {y} -\mathbf {x} \in V,$ $\displaystyle \delta \colon X\times V\ni (\mathbf {x} ,v)\to \mathbf {x} +v\in X.$

Układ $\displaystyle ((2,-1,2);(1,-1,1),(-3,3,-3))$ jest układem bazowym przestrzeni afinicznej $\displaystyle X$. Źle

Układ $\displaystyle ((2,-1,2);(-2,2,-2),(1,1,7))$ jest układem bazowym przestrzeni afinicznej $\displaystyle X$. Dobrze

Dla dowolnych $\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X\ \displaystyle \delta (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in lin\{(1,0,4),(0,1,3)\}$. Dobrze

Istnieją liczby $\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ takie, że $\displaystyle (2+\alpha ,-3+\beta ,1+4\alpha +3\beta )\in X$. Źle

Dana jest przestrzeń afiniczna $\displaystyle X$ o kierunku $\displaystyle V\neq \{\Theta \}$ oraz punkt $\displaystyle x_{0}\in X$.

Odwzorowanie $\displaystyle X\ni x\to {\overrightarrow {x_{0}x}}\in V$ jest bijekcją. Dobrze

Odwzorowanie $\displaystyle V\ni v\to x_{0}+v\in X$ jest bijekcją. Dobrze

Odwzorowanie $\displaystyle X\times X\ni (x,y)\to {\overrightarrow {xy}}\in V$ jest iniekcją. Źle

Odwzorowanie $\displaystyle X\times V\ni (x,v)\to x+v\in X$ jest iniekcją. Źle