Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 12: Miara układu wektorów

Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech $\displaystyle u=(1,0,1),\ v=(-1,2,0),\ w=(-2,-1,2)$.

$\displaystyle w\perp u$. Dobrze

$\displaystyle w\perp v$. Dobrze

$\displaystyle w=v\times u$. Źle

$\displaystyle \parallel w\parallel =3$. Dobrze

Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech $\displaystyle u=(3,2,1),\ v=(-2,1,-1),\ w=(7,0,3)$.

$\displaystyle (u\times v)\perp w$. Dobrze

$\displaystyle G(v,u,w)>0$. Źle

$\displaystyle u,v,w$ są liniowo niezależne. Źle

$\displaystyle lin\{u\times v\}=lin\{u\times w\}$. Dobrze

W przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ ze standardowym iloczynem skalarnym dane są wektory $\displaystyle v=(1,2)$ i $\displaystyle w=(1,-1)$.

Pole trójkąta o wierzchołkach $\displaystyle (0,0),\ (1,2),\ (1,-1)$ wynosi $\displaystyle {\frac {3}{2}}$. Dobrze

$\displaystyle G(v,w)=9$. Dobrze

Dla dowolnego wektora $\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{2}\ G(v,w,u)=0$. Dobrze

Dla dowolnego wektora $\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{2}\ G(v,u)>0$. Źle

Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech $\displaystyle u=(2,1,0),\ v=(1,0,-1),\ w=(-1,2,1),\ z=(3,5,-1)$ i niech $\displaystyle U=lin\{u,v\}$.

$\displaystyle d(z,U)=6$. Źle

$\displaystyle z-w\in U$. Dobrze

$\displaystyle u,v,w$ są ortogonalne. Źle

$\displaystyle G(u,v,w)=6G(u,v)$. Dobrze

Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle u = (\frac {1}{3},\frac {2}{3},\frac {-2}{3}),\ v = (\frac {2}{3},\frac {1}{3},\frac {2}{3}),\ w=(\frac {-2}{3},\frac {2}{3},\frac {1}{3})} .

$\displaystyle u,v,w$ tworzą bazę ortonormalną przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Dobrze

$\displaystyle G(u,v,w)=1$. Dobrze

$\displaystyle d(w,lin\{u,v\})={\frac {1}{3}}$. Źle

$\displaystyle w=u\times v$. Źle

Niech $\displaystyle V$ będzie wektorową przestrzenią euklidesową i niech $\displaystyle v_{1},...,v_{k}\in V$.

Jeżeli $\displaystyle v_{1},...,v_{k}$ są ortogonalne, to $\displaystyle G(v_{1},...,v_{k})=\parallel v_{1}\parallel ^{2}...\parallel v_{k}\parallel ^{2}$. Dobrze

Jeżeli $\displaystyle v_{1},...,v_{k}$ są ortonormalne, to $\displaystyle G(v_{1},...,v_{k})=1$. Dobrze

Jeżeli $\displaystyle G(v_{1},...,v_{k})=1$, to $\displaystyle v_{1},...,v_{k}$ są ortonormalne. Źle

Jeżeli $\displaystyle G(v_{1},...,v_{k})\neq 0$, to $\displaystyle v_{1},...,v_{k}$ są ortogonalne. Źle