Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 11: Formy kwadratowe

Niech $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ będzie dana wzorem

$\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=5x_{1}x_{2}+3x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}.$

Niech ponadto

$\displaystyle \Phi ((x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2},y_{3}))=3x_{1}y_{2}+2x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{3}+y_{1}x_{3}$

i niech

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccc}0&{\frac {5}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {5}{2}}&0&{\frac {3}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{2}}&0\end{array}}\right].$

$\displaystyle \Phi$ indukuje $\displaystyle f$. Dobrze

$\displaystyle \Phi$ jest skojarzone z $\displaystyle f$. Źle

rk $\displaystyle f=3$. Dobrze

$\displaystyle A$ jest macierzą $\displaystyle f$ przy bazie kanonicznej. Dobrze

Niech $\displaystyle V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\displaystyle \mathbb {R}$, niech $\displaystyle \Phi ,\Psi \colon V\times V\to \mathbb {R}$ będą odwzorowaniami dwuliniowymi i niech $\displaystyle f:V\ni v\to \Phi (v,v)\in \mathbb {R}$.

Jeśli dla każdego $\displaystyle v\in V\ \displaystyle \Phi (v,v)=\Psi (v,v)$, to $\displaystyle \Phi =\Psi$. Źle

Jeśli $\displaystyle \Phi$ i $\displaystyle \Psi$ są symetryczne oraz dla każdego $\displaystyle v\in V\ \Phi (v,v)=\Psi (v,v)$, to $\displaystyle \Phi =\Psi$. Dobrze

Odwzorowanie $\displaystyle f$ jest formą kwadratową. Dobrze

Macierz $\displaystyle f$ w dowolnej bazie jest symetryczna. Dobrze

Niech $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\in \mathbb {R}$.

rk $\displaystyle f=3$. Dobrze

Para (2,1) jest sygnaturą $\displaystyle f$. Źle

$\displaystyle f$ jest określona ujemnie. Źle

$\displaystyle f$ jest półokreślona dodatnio. Źle

Dana jest forma kwadratowa $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}\in \mathbb {R}$.

$\displaystyle f$ jest zapisana w postaci kanonicznej. Źle

$\displaystyle f$ jest określona dodatnio. Dobrze

Para (3,0) jest sygnaturą $\displaystyle f$. Dobrze

Istnieje wektor $\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}minus\{0\}$ taki, że $\displaystyle f(x)=0$. Źle

Niech $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\ni (x_{1},x_{2})\to x_{1}^{2}-x_{1}x_{2}\in \mathbb {R}$, $\displaystyle \Phi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\ni ((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))\to x_{1}y_{1}-{\frac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\in \mathbb {R}$. Niech ponadto

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rr}1&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&0\end{array}}\right],\quad B=\left[{\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\end{array}}\right].$

$\displaystyle \Phi$ jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym skojarzonym z $\displaystyle f$. Dobrze

$\displaystyle A$ jest macierzą $\displaystyle f$ przy bazie kanonicznej. Dobrze

$\displaystyle B$ jest macierzą $\displaystyle f$ przy bazie $\displaystyle (1,0),(1,2)$. Dobrze

Para (1,1) jest sygnaturą $\displaystyle f$. Dobrze

Niech $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to (3x_{1}-x_{3},2x_{2}+x_{3},-x_{1}+x_{2}+5x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$ i niech $\displaystyle \cdot$ oznacza standardowy iloczyn skalarny w $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$.

$\displaystyle f$ jest symetryczne. Dobrze

Macierz $\displaystyle f$ w bazie kanonicznej jest diagonalna. Źle

Odzorowanie $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\ni x\to f(x)\cdot x\in \mathbb {R}$ jest formą kwadratową. Dobrze

Odzorowanie $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\ni (x,y)\to f(x)\cdot y\in \mathbb {R}$ jest dwuliniowe symetryczne. Dobrze