Zadanie 7.1
Niech
będzie dane wzorem
Zbadać, czy
- i)
jest odwzorowaniem dwuliniowym,
- ii)
jest odwzorowaniem symetrycznym,
- iii)
jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
Rozwiązanie Jeżeli ustalimy wektor

, to odwzorowanie

dane wzorem
jest na mocy zadań 4.1 oraz 4.3 liniowe.
Analogicznie, jeżeli ustalimy wektor
, to odwzorowanie
dane wzorem
jest na mocy zadań 4.1 oraz 4.3 liniowe. Oznacza
to, że rozważane odwzorowanie
jest odwzorowaniem dwuliniowym.
Zauważmy także, że dla dowolnych wektorów
zachodzi
Oznacza to, że rozważana forma jest antysymetryczna. Ponieważ jedyną
formą dwuliniową, która jest równocześnie symetryczna
i antysymetryczna, jest forma zerowa, nasza forma
nie jest formą
symetryczną.
Zadanie 7.2
Niech
będzie przestrzenią wektorową nad ciałem
i niech
,
. Definiujemy
Zbadać, czy
- i)
jest formą dwuliniową,
- ii)
jest odwzorowaniem antysymetrycznym.
Wskazówka Wystarczy skorzystać z definicji podanych na wykładzie i z tego, że

jest przestrzenią wektorową.
Rozwiązanie Zbadamy, czy

jest formą dwuliniową. Zauważmy, że jeżeli ustalimy wektor

, to odwzorowanie

dane wzorem
jest kombinacją liniową odwzorowań
i
o współczynnikach
i
, czyli jest także odwzorowaniem liniowym.
W szczególności odwzorowanie
jest liniowe ze względu na pierwszą
zmienną. Analogicznie dowodzimy liniowości odwzorowania
ze
względu na drugą zmienną.
Zauważmy, że dla dowolnych wektorów
zachodzi
Oznacza to, że rozważana forma jest antysymetryczna.
Zadanie 7.3
Niech
będzie przestrzenią
wektorową nad ciałem
i niech
będzie
endomorfizmem. Wykazać, że odwzorowanie
jest dwuliniowe.
Wskazówka Badając, czy odwzorowanie jest dwuliniowe, odwołać się do definicji i skorzystać ze znanych własności odwzorowań liniowych.
Rozwiązanie Ustalmy wektor

. Wykażemy liniowość odwzorowania

ze względu na pierwszą zmienną. Niech

będą dowolnymi elementami ciała

. Wówczas
co oznacza, że odwzorowanie
jest liniowe ze względu na pierwszą
zmienną. Badając liniowość odwzorowania
ze względu na drugą
zmienną, zauważmy, że przy ustalonym skalarze
dla
każdego wektora
zachodzi równość
Oznacza to, że następujące odwzorowania są sobie równe
gdzie
oznacza endomorfizm przestrzeni
dany wzorem:
Ponieważ odwzorowanie
jest oczywiście odwzorowaniem
liniowym, dowód liniowości odwzorowania
ze względu na drugą
zmienną jest zakończony. Oznacza to, że rozważane odwzorowanie
jest odwzorowaniem dwuliniowym, co było do okazania.
Zadanie 7.4
Niech
będzie przestrzenią
wektorową nad ciałem
i niech
będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Wykazać, że
istnieje taki endomorfizm
, że dla wszystkich
i wszystkich
zachodzi równość:
Wskazówka Ustalić odpowiedni skalar

i zdefiniować
dla dowolnego
.
Rozwiązanie Niech

oznacza jedynkę ciała

. Niech

będzie dane wzorem
dla dowolnego
. Liniowość odwzorowania
wynika
z dwuliniowości odwzorowania
. Ustalmy teraz dowolny skalar
oraz wektor
. Wówczas
co było do okazania.
Zadanie 7.5
Niech
będzie przestrzenią wektorową nad ciałem
i
niech
. Ustalmy wektory
. Wykazać, że dla dowolnych
,
i dla dowolnego skalara
zachodzi równość:
Wskazówka Skorzystać z liniowości odwzorowania

ze względu na

-tą zmienną oraz z faktu, że odwzorowania

-liniowe jest antysymetryczne wtedy i tylko wtedy, gdy znika na każdym układzie wektorów liniowo zależnych.
Zadanie 7.6
Niech
Wykazać, że
.
Wskazówka Zadanie można rozwiązać na co najmniej dwa sposoby:
- 1. Zauważyć, że odwzorowanie
dane wzorem
jest dwuliniowe i antysymetryczne względem kolumn macierzy oraz
spełniona jest równość
a następnie skorzystać z odpowiedniego twierdzenia z wykładu.
- 2. Skorzystać z faktu, że wyznacznik macierzy
jest równy
Rozwiązanie Niech
Zauważmy, że zbiorem wszystkich permutacji dwuelementowych jest
gdzie
są odwzorowaniami danymi wzorami:
Oczywiście mamy też
Wiemy, że wyznacznik macierzy
jest równy:
Uwzględniając powyższe, informacje widzimy, że
co było do okazania.
Zadanie 7.7
Niech
Wykazać, że
Wskazówka
Patrz wskazówki do zadania 7.6. Dowód można także
przeprowadzić korzystając ze wzoru na wyznacznik macierzy
podanego w zadaniu 7.6 i wzoru na rozwinięcie wyznacznika macierzy względem ustalonego wiersza (kolumny) podanego
w twierdzeniu z modułu 7.
Rozwiązanie Wiemy, że wyznacznik macierzy
![{\displaystyle \displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}}](https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/media/math/render/png/ba14833d9f8bfa95d656a1223632728f6fb38fb2)
jest równy:
(*)
Z drugiej strony wszystkie permutacje należące do
, ich znaki oraz odpowiadające tym permutacjom składniki sumy * podane są w zamieszczonej niżej tabelce:
Wynika stąd, że
co po uporządkowaniu daje
Zadanie 7.8
Obliczyć wyznaczniki macierzy
,
,
oraz
, gdy
Wskazówka Skorzystać ze wzoru podanego w zadaniu
7.7. Obliczając wyznaczniki macierzy

oraz

skorzystać
z odpowiednich własności funkcji
.
Rozwiązanie Korzystając ze wzoru podanego w zadaniu
7.7, otrzymujemy:
Aby obliczyć
, wystarczy skorzystać z odpowiedniego wzoru,
by otrzymać, że
Podobnie
Zadanie 7.9
Obliczyć wyznacznik macierzy
Wskazówka Aby uprościć obliczenia należy skorzystać z twierdzenia o wyznaczniku macierzy blokowej z wykładu 7.
Rozwiązanie Podzielmy macierz na bloki zgodnie z poniższą ilustracją:
Na mocy twierdzenia o wyznaczniku macierzy blokowej widzimy, że
Jak łatwo obliczyć (korzystając np. z zadania 7.6)
zachodzi
co oznacza, że
Zadanie 7.10
Wykazać, że
Wskazówka Można skorzystać ze wzoru podanego w zadaniu
7.7. Można także zauważyć, że jeżeli

lub

lub

, to nasz wyznacznik jest równy

, a następnie skorzystać z faktu, że wyznacznik macierzy
![{\displaystyle \displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}}](https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/media/math/render/png/ba14833d9f8bfa95d656a1223632728f6fb38fb2)
jest równy:
Rozwiązanie Wykorzystując metodę podaną w zadaniu
7.7, po wykonaniu odpowiednich rachunków, uzyskamy dowód. Podamy jednak alternatywny dowód, który dzięki pewnym obserwacjom będzie przeprowadzony bez wykonania jakichkolwiek rachunków. Wiemy, że wyznacznik macierzy
![{\displaystyle \displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}}](https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/media/math/render/png/ba14833d9f8bfa95d656a1223632728f6fb38fb2)
jest równy:
(*)
Zauważmy, że czynniki w każdym z iloczynów postaci
pochodzą zawsze
z różnych wierszy i różnych kolumn macierzy
. Wynika stąd, że
powyższe wyrażenie (*) dla naszej macierzy jest wielomianem
stopnia trzeciego trzech zmiennych
,
i
, przy czym każda
ze zmiennych występuje w co najwyżej drugiej potędze. Można także
zauważyć, że jeżeli
lub
lub
, to nasz wyznacznik
jest równy
, a zatem nasz wielomian musi być podzielny przez
,
oraz
. Wynika stąd, że
(**)
gdzie
jest nieustaloną jeszcze liczbą rzeczywistą. Aby
wyznaczyć
zauważmy, że we wzorze (*) składnik
pojawia się dokładnie raz i odpowiada identyczności, która jest
permutacją o znaku równym
. Z drugiej strony
w wyrażeniu (**) pojawia się składnik
. Wynika stąd,
że
oraz
co było do okazania.
Zadanie 7.11
Podać wzór na wyznacznik następujących macierzy:
oraz
Wskazówka
- a) Dodając wybrany wiersz do pozostałych wierszy macierzy sprowadzić ją do postaci trójkątnej tzn. wyzerować wszystkie wyrazy macierzy leżące pod główną przekątną, a następnie skorzystać z faktu, że dla takiej macierzy trójkątnej wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów stojących na głównej przekątnej.
- b) Użyć twierdzenia Laplace'a.
- c) Odpowiednio zamieniać wiersze miejscami, aby przekształcić macierz
do macierzy jednostkowej. Każda taka operacja zmienia znak macierzy na przeciwny.
- d) Patrz wskazówka do podpunktu
.
Rozwiązanie
- a) Dodając pierwszy wiersz macierzy
do wierszy o numerach
otrzymujemy macierz
Ponieważ operacja dodawania jednego wiersza do innego wiersza nie
zmienia wyznacznika macierzy widzimy, że
Z drugiej strony jest jasne, że
Wykazaliśmy zatem, że
- b) Rozwijając wyznacznik macierzy
względem pierwszego wiersza widzimy, że
Rozwijając następnie wyznacznik otrzymanej wyżej macierzy względem
ostatniej kolumny otrzymujemy:
Ponownie rozwijając wyznacznik otrzymanej wyżej macierzy względem
drugiego wiersza otrzymujemy:
Ponieważ ta ostatnia macierz jest macierzą trójkątną, widzimy, że
- c) Zauważmy, że macierz
wygląda tak
Niech
oznacza wiersz o numerze
.
Zamieniając miejscami wiersz
z wierszem
, następnie
z
i tak dalej, by na końcu zamienić miejscami wiersz
pierwszy z drugim otrzymujemy macierz jednostkową. Potrzebowaliśmy
operacji zamiany wiersza miejscami zatem wyznacznik naszej macierzy
wynosi:
- d) Zauważmy, że macierz
wygląda schematycznie tak
Odejmując wiersz o numerze
od wierszy o numerach
, otrzymujemy poniższą macierz
o wyznaczniku równym
wyznacznikowi macierzy
.
Oczywiście mamy
Zadanie 7.12
Niech
będzie rzeczywistą macierzą kwadratową
wymiaru
.
- a) Udowodnić, że jeżeli
jest macierzą skośnie symetryczną, czyli
oraz
jest liczbą nieparzystą, to
.
- b) Podać przykład rzeczywistej skośnie symetrycznej macierzy kwadratowej
takiej, że
.
- c) Wykazać, że jeżeli
, to
jest liczbą parzystą.
- d) Czy powyższa implikacja pozostaje prawdziwa, jeżeli założmy, że
jest macierzą zespoloną?
Wskazówka Skorzystać z podstawowych własności wyznacznika.
Rozwiązanie
- a) Załóżmy, że
jest macierzą skośnie symetryczną, czyli
oraz
jest liczbą nieparzystą. Z równości
wynika, że
Ponieważ
jest liczbą nieparzystą widzimy, że
Z drugiej strony
Otrzymaliśmy, że
co jest możliwe tylko, gdy
, co było do okazania.
- b) Przykładem rzeczywistej skośnie symetrycznej macierzy kwadratowej
takiej, że
jest, jak łatwo sprawdzić, macierz
- c) Jeżeli
, to
Wówczas
czyli
Ponieważ
jest dla dowolnej rzeczywistej macierzy
kwadratowej liczbą rzeczywistą nieujemną, widzimy, że
musi
być równe
, co jest możliwe tylko, gdy
jest liczbą parzystą.
- d) Twierdzenie z porzedniego podpunktu przestaje być prawdziwe, jeżeli będziemy rozpatrywali macierze o wyrazach zespolonych. Niech
Wówczas
jest macierzą wymiaru nieparzystego oraz
Podana wyżej macierz
stanowi kontrprzykład dla twierdzenia zawartego w poprzednim podpunkcie w przypadku zespolonym.
Zadanie 7.13
Uzasadnić, że wyznacznik następującej macierzy
jest równy
.
Wskazówka Wykazać, że kolumny tej macierzy nie mogą być liniowo niezależne.
Rozwiązanie Zauważmy, że trzy ostatnie kolumny rozważanej macierzy traktowane jako wektory należą do dwuwymiarowej podprzestrzeni przestrzeni

, a zatem nie mogą być liniowo niezależne i rząd macierzy

musi być mniejszy od

. Oznacza to, że
co było do okazania.