Zadanie 6.1
Znaleźć macierz odwzorowania
, danego wzorem
w bazach
oraz
, gdy
Wskazówka Dla

obliczyć wartości odwzorowania

na wektorze

, a następnie przedstawić

jako kombinację liniową wektorów

i

. Współczynniki takiego przedstawienia wektora

utworzą

-tą kolumnę szukanej macierzy.
Rozwiązanie Aby znaleźć macierz naszego odwzorowania w podanych bazach musimy:
- Wyznaczyć wartość odwzorowania
na podanej bazie dziedziny, czyli wyznaczyć
,
,
,
.
- Znaleźć współrzędne wektorów
,
,
,
w podanej bazie
, czyli bazie złożonej z wektorów
, i
.
Otrzymane współrzędne wpisujemy do szukanej macierzy, przy czym współrzędne w zadanej bazie
odpowiadające obrazowi pierwszego wektora z podanej bazy
przez odwzorowanie
utworzą pierwszą kolumnę, drugiego drugą itd.
W naszej sytuacji wykonując elementarne rachunki otrzymujemy:
Aby wyznaczyć współrzędne wektorów
,
,
,
w bazie złożonej z wektorów
i
musimy rozwiązać
cztery układy równań, których lewe strony są identyczne natomiast za
prawe strony podstawiamy kolejno wyliczone wektory
,
,
,
, co schematycznie możemy zapisać tak:
rozwiązując te układy możemy stwierdzić, że w podanych bazach
macierz naszego odwzorowania ma następującą postać:
Zadanie 6.2
Niech
oznacza dowolne ciało, niech
i niech
. Znaleźć macierz odwzorowania
danego wzorem
w bazach kanonicznych przestrzeni
i odpowiednio
.
Wskazówka Zadanie można rozwiązać postępując podobnie jak przy zadaniu
6.1, tylko teraz należy rozważać wektory baz kanonicznych w

i odpowiednio w

. Jaki jest związek między współczynnikami występującymi we wzorze definiującym odwzorowanie

a wierszami otrzymanej macierzy?
Rozwiązanie Niech

będą wektorami bazy kanonicznej przestrzeni

, a

będą wektorami bazy kanonicznej przestrzeni

. Aby znaleźć macierz naszego odwzorowania w bazach kanonicznych przestrzeni

oraz

musimy wyznaczyć wartość odwzorowania

na podanej bazie kanonicznej dziedziny, czyli wyznaczyć

, dla

. Łatwo widać, że

Współrzędne wektora

w bazie

także łatwo wyznaczyć (patrz zadanie
3.4). Otrzymane współrzędne wpisujemy teraz do szukanej macierzy, przy czym współrzędne w zadanej bazie odpowiadające obrazowi

-tego wektora z bazy kanonicznej przez odwzorowanie

utworzą

-tą kolumnę, czyli
Oznacza to, że w bazach kanonicznych macierz naszego odwzorowania ma
następującą postać:
Zadanie 6.3
Dana jest macierz
endomorfizmu
w bazie
,
i
. Znaleźć macierz
w bazie
kanonicznej przestrzeni
.
Rozwiązanie Na podstawie zadania
6.2 stwierdzamy, że znalezienie macierzy

w bazie kanonicznej jest równoważne znalezieniu wzoru na odwzorowanie

w postaci:
Zauważmy także, że z postaci macierzy
możemy odczytać informacje
na temat wartości odwzorowania
na wektorach
Wiemy, że
Dzięki tym obserwacjom znaleźliśmy się w takiej samej sytuacji jak
przy rozwiązaniu zadania 4.5, tzn. znamy wartości
na
pewnej bazie przestrzeni
i poszukujemy wzoru na
. Dlatego
wiersze macierzy
w bazie kanonicznej stanowią kolejne
rozwiązania następujących trzech układów równań liniowych, których
lewe strony są niezmienne a prawe się zmieniają (układy te
wyznaczamy analogicznie jak w zadaniu 4.5):
Rozwiązując te układy otrzymujemy kolejne wiersze szukanej macierzy,
tzn.
,
,
. W rezultacie dostajemy macierz naszego
odwzorowania w bazach kanonicznych:
Zadanie 6.4
Niech
Wykazać, że
jest odwzorowaniem liniowym i znaleźć jego macierz w bazie
uporządkowanej leksykograficznie. Jaki jest rząd tego odwzorowania?
Wskazówka Rozwiązując to zadanie można postępować podobnie jak przy zadaniu
6.1, pamiętając jedynie, że w przestrzeni

wektorami są macierze kwadratowe. Przy obliczaniu rzędu odwzorowania można skorzystać z faktu, że rząd odwzorowania liniowego jest równy rzędowi jego macierzy w dowolnych bazach.
Zadanie 6.5
Dane jest odwzorowanie
Wykazać, że
jest liniowe i znaleźć jego wartość na wektorze
.
Wskazówka Skorzystać ze wzorów na

oraz

.
Rozwiązanie Korzystając z definicji mnożenia macierzy i operacji transponowania otrzymujemy prostszy wzór na wartość

na wektorze

:
Liniowość odwzorowania
wynika teraz z zadań 4.1 oraz 4.3.
Korzystając ponownie z powyższego wzoru oraz ze znanych tożsamości trygonometrycznych obliczamy też wartość
na wektorze
:
Zauważmy, że nasze odwzorowanie działa na wektorze
jak obrót o kąt
.
Zadanie 6.6
Wiedząc, że
jest macierzą odwzorowania liniowego
w bazach kanonicznych, wyznaczyć odwzorowanie dualne
oraz jego
macierz w bazach dualnych do kanonicznych.
Wskazówka Skorzystać z faktu, że macierz dualna do

będzie macierzą odwzorowania

w bazach dualnych do baz kanonicznych.
Znając macierz
łatwo można wyznaczyć wzór na odwzorowanie
w oparciu o zadanie 6.2.
Zadanie 6.7
Niech
. Wyznaczyć macierz endomorfizmu
w bazie złożonej z form
Znaleźć taką bazę przestrzeni
,
żeby baza złożona z form
,
była do niej dualna.
Wskazówka Gdyby nasze zadanie polegało tylko na znalezieniu macierzy odwzorowania

w podanej bazie moglibyśmy po prostu obliczyć

oraz

i przedstawić każdą z otrzymanych form jako kombinację liniową form

i

. Ponieważ mamy jeszcze znaleźć bazę, do której podana baza przestrzeni form liniowych jest dualna możemy najpierw wyznaczyć tę bazę, a potem macierz

w tej bazie. Aby znaleźć macierz

wystarczy postępować jak w zadaniu
6.6.
Rozwiązanie Załóżmy, że znamy bazę przestrzeni

złożoną z wektorów

oraz

i taką, że baza do niej dualna składa się z form

oraz

. Wówczas zgodnie z twierdzeniem znanym z wykładu szukana przez nas macierz odwzorowania

jest równa

, gdzie

jest macierzą

w bazie złożonej z wektorów

oraz

.
Poszukiwane przez nas wektory
i
spełniają zależności
Oznacza to, że
oraz
są rozwiązaniami dwóch układów
równań, których lewe strony są identyczne i składają się z równań
wyznaczonych przez wzory na
i
, natomiast za prawe
strony podstawiamy odpowiednio wektory
oraz
.
Rozwiązaniami tych układów są wektory
oraz
. Baza złożona z form
,
jest dualna do bazy złożonej z wektorów
,
.
W celu znalezienia macierzy
w podanej bazie znajdujemy
oraz
. Następnie wyznaczamy współczynniki wektorów
oraz
w bazie
oraz
.
W tym celu rozwiązujemy układy
Znajdujemy, że
oraz
. Oznacza to, że macierzą
w bazie złożonej z wektorów
oraz
jest
Wobec powyższych obliczeń szukaną macierzą jest macierz:
Zadanie 6.8
Niech
będzie ustaloną rzeczywistą macierzą
kwadratową wymiaru
. Definiujemy odwzorowanie
kładąc dla macierzy
Udowodnić, że
jest odwzorowaniem liniowym. Czy istnieje taka
macierz
, aby zdefiniowane przy jej pomocy odwzorowanie
było epimorfizmem?
Wskazówka Badając liniowość odwzorowania

wystarczy skorzystać z podstawowych własności działań na macierzach. W drugiej części zadania skorzystajmy z faktu, że

jest endomorfizmem przestrzeni wymiaru skończonego, a zatem

jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem.