Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 6: Macierze a odwzorowania liniowe

Z Studia Informatyczne
< Algebra liniowa z geometrią analityczną
Wersja z dnia 21:13, 25 wrz 2020 autorstwa Luki (dyskusja | edycje) (→‎{{kotwica|zad 6.7|Zadanie 6.7}})
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 6.1

Znaleźć macierz odwzorowania , danego wzorem



w bazach oraz , gdy



Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 6.2

Niech oznacza dowolne ciało, niech i niech . Znaleźć macierz odwzorowania



danego wzorem



w bazach kanonicznych przestrzeni  i odpowiednio .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 6.3

Dana jest macierz



endomorfizmu w bazie , i . Znaleźć macierz  w bazie kanonicznej przestrzeni .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 6.4

Niech



Wykazać, że jest odwzorowaniem liniowym i znaleźć jego macierz w bazie



uporządkowanej leksykograficznie. Jaki jest rząd tego odwzorowania?

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 6.5

Dane jest odwzorowanie



Wykazać, że  jest liniowe i znaleźć jego wartość na wektorze .

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 6.6

Wiedząc, że



jest macierzą odwzorowania liniowego w bazach kanonicznych, wyznaczyć odwzorowanie dualne  oraz jego macierz w bazach dualnych do kanonicznych.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 6.7

Niech . Wyznaczyć macierz endomorfizmu w bazie złożonej z form



Znaleźć taką bazę przestrzeni , żeby baza złożona z form , była do niej dualna.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 6.8

Niech  będzie ustaloną rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru . Definiujemy odwzorowanie



kładąc dla macierzy



Udowodnić, że jest odwzorowaniem liniowym. Czy istnieje taka macierz , aby zdefiniowane przy jej pomocy odwzorowanie  było epimorfizmem?

Wskazówka
Rozwiązanie