Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 14: Przestrzenie afiniczne II
Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwaniaZadanie 14.1
Wykazać, że zbiór
jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni i wyznaczyć jej
kierunek.
Wskazówka
Rozwiązanie
Zadanie 14.2
W przestrzeni
napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt i równoległej do płaszczyzny
Wskazówka
Rozwiązanie
Zadanie 14.3
W przestrzeni
napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez krawędź przecięcia się płaszczyzn opisanych równaniami
oraz przez punkt .
Wskazówka
Rozwiązanie
Zadanie 14.4
W przestrzeni afinicznej
dana jest płaszczyzna
oraz punkt . Wyznaczyć rodzinę prostych równoległych
do i zawierających punkt .
Wskazówka
Rozwiązanie
Zadanie 14.5
Niech
będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem i niech oraz będą przestrzeniami afinicznymi. Niech będzie odwzorowaniem afinicznym i niech oznacza odwzorowanie liniowe indukowane przez . Wykazać, że- a) jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem,
- b) jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest epimorfizmem,
- c) jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorfizmem.
Wskazówka
Rozwiązanie
Zadanie 14.6
Niech
i będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem i niech . Wykazać, że jest afiniczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją: odwzorowanie liniowe oraz wektor takie, że .Wskazówka
Rozwiązanie
Zadanie 14.7
Niech
. Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową ze standardowym iloczynem skalarnym. Ustalmy wektor oraz liczbę rzeczywistą . Wykazać wypukłość następującyh zbiorów:- a) ,
- b) ,
- c) .
Wskazówka
Rozwiązanie
Zadanie 14.8
Niech
będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech . Wykazać, że zbiór jest wypukły wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego , dla dowolnego ciągu elementów zbioru i dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych nieujemnych spełniających warunek
kombinacja liniowa
należy do .
Wskazówka
Rozwiązanie