Zadanie 14.1
Wykazać, że zbiór
jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni
i wyznaczyć jej
kierunek.
Wskazówka
Kierunek
wyznaczymy ustalając dowolny punkt
i biorąc
Rozwiązanie Z twierdzenia podanego na wykładzie wynika, że niepusty zbiór rozwiązań układu równań liniowych o

niewiadomych jest podprzestrzenią afiniczną

. Aby skorzystać z tego faktu zauważmy, że nasz zbiór

jest zbiorem rozwiązań następującego
układu równań liniowych:
Zauważmy, że liczby
,
oraz
stanowią
rozwiązanie tego układu, co oznacza, że zbiór
jest niepusty
i jest podprzestrzenią afiniczną
. Rozwiązujemy teraz
stowarzyszony z naszym układem układ jednorodny, czyli
i otrzymujemy, że zbiorem rozwiązań tego układu jednorodnego jest
podprzestrzeń
Oznacza to, że
czyli kierunkiem naszej podprzestrzeni afinicznej
jest
.
Zadanie 14.2
W przestrzeni
napisać równanie płaszczyzny przechodzącej
przez punkt
i równoległej do płaszczyzny
Wskazówka
Trzeba wyznaczyć kierunek
, a następnie dokonać translacji tej
podprzestrzeni o wektor
.
Rozwiązanie Niech

będzie szukaną płaszczyzną.
Aby wyznaczyć kierunek płaszczyzny
zauważmy, że punkt
wtedy i tylko wtedy, gdy
dla pewnych liczb rzeczywistych
i
. Wynika stąd, że
zatem
jest przestrzenią afiniczną o kierunku
. Oznacza to, że
Poszukując układu równań liniowych opisującego płaszczynę
zauważmy, że
jest zbiorem rozwiązań równania
o niewiadomych
. Otrzymujemy stąd, że
jest równaniem płaszczyzny przechodzącej przez punkt
i
równoległej do płaszczyzny
.
Zadanie 14.3
W przestrzeni
napisać równanie płaszczyzny przechodzącej
przez krawędź przecięcia się płaszczyzn opisanych równaniami
oraz przez punkt
.
Wskazówka
Szukamy płaszczyzny zawierającej prostą i punkt nie leżący na tej
prostej, a więc taka płaszczyzna będzie tylko jedna. Można ją opisać
równaniem
, przy stosownie dobranych
.
Rozwiązanie Poszukujemy rówania płaszczyzny postaci
Prosta przechodząca przez krawędź przecięcia się płaszczyzn
opisanych równaniami
i
musi być opisana przez układ równań
Rozwiązując go otrzymujemy równanie kierunkowe tej prostej w postaci
W szczególności poszukiwana przez nas płaszczyzna musi poza punktem
zawierać także punkty
oraz
. Oznacza to, że poszukiwane
współczynniki równania naszej płaszczyzny muszą spełniać układ
równań
Jak można łatwo obliczyć rozwiązania tego układu są postaci
Przyjmując np.
otrzymujemy jedno z wielu możliwych równań
naszej płaszczyzny, czyli
Zadanie 14.4
W przestrzeni afinicznej
dana jest płaszczyzna
oraz punkt
. Wyznaczyć rodzinę prostych równoległych
do
i zawierających punkt
.
Wskazówka
Pamiętajmy, że kierunki szukanych prostych muszą się zawierać w kierunku płaszczyzny
.
Rozwiązanie Zauważmy, że
czyli kierunkiem podprzestrzeni
jest
i wektor kierunkowy każdej prostej równoległej do
musi
należeć do
. Oznacza to, że rodzina prostych równoległych do
i zawierających punkt
składa się ze wszystkich
prostych o równaniu kierunkowym
gdzie
.
Zadanie 14.5
Niech
będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
i niech
oraz
będą przestrzeniami afinicznymi. Niech
będzie odwzorowaniem afinicznym i niech
oznacza odwzorowanie liniowe indukowane przez
. Wykazać, że
- a)
jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy
jest monomorfizmem,
- b)
jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy
jest epimorfizmem,
- c)
jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy
jest izomorfizmem.
Wskazówka
Trzeba skorzystać z definicji odwzorowania afinicznego.
Rozwiązanie
- a) Załóżmy, że
jest iniekcją. Wykażemy, że
jest monomorfizmem. W tym celu weźmy dowolny wektor
i przypuśćmy że
. Ustalmy dowolny punkt
. Wtedy
skąd wynika, że
a wobec iniektywności
mamy
, czyli
.
Przypuśćmy teraz, że
jest monomorfizmem. Aby wykazać, że
jest iniekcją weźmy dowolne dwa punkty
i załóżmy, że
. Wtedy
skąd, dzięki założeniu, że
jest monomorfizmem, otrzymujemy
a zatem
. Wobec dowolności wyboru punktów
i
wnioskujemy, że
jest iniekcją.
- b) Załóżmy, że
jest suriekcją i niech
będzie dowolnym wektorem. Wybierzmy dowolny punkt
i zdefiniujmy punkt
. Założyliśmy, że
jest suriekcją, zatem istnieją punkty
takie, że
Wówczas z definicji odwzorowania afinicznego wynika, że
co dowodzi, że
jest epimorfizmem.
Załóżmy, że
jest epimorfizmem i niech
będzie dowolnym punktem. Istnieje punkt
taki, że
dla pewnego
(obraz zbioru
przez odwzorowanie
musi zawierać co najmniej jeden punkt). Zdefiniujmy wektor
. Założyliśmy, że
jest epimorfizmem, zatem istnieje taki wektor
, że
. Niech
. Wówczas
z definicji odwzorowania afinicznego wynika, że
co dowodzi, że dla każdego punktu
istnieje punkt
taki, że
, zatem odwzorowanie
jest iniekcją.
- c) Ten punkt wynika natychmiast z dwóch poprzednich.
Zadanie 14.6
Niech
i
będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
i niech
. Wykazać, że
jest
afiniczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją: odwzorowanie liniowe
oraz wektor
takie, że
.
Wskazówka
Jako
trzeba wziąć
i skorzystać z definicji odwzorowania afinicznego.
Rozwiązanie Przypuśćmy najpierw, że

jest odwzorowaniem afinicznym. Wtedy istnieje odwzorowanie liniowe

takie, że dla dowolnych

mamy

. Stąd w szczególności dla

, gdzie

jest wektorem zerowym i dla dowolnego wektora

mamy
Wystarczy teraz położyć
.
Niech
będzie odwzorowaniem liniowym, niech
i niech
, dla
. Wtedy
dla dowolnych
mamy
A więc, zgodnie z definicją,
jest afiniczne.
Zadanie 14.7
Niech
. Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową
ze standardowym iloczynem skalarnym. Ustalmy wektor
oraz liczbę rzeczywistą
. Wykazać
wypukłość następującyh zbiorów:
- a)
,
- b)
,
- c)
.
Wskazówka Potraktujmy

jako przestrzeń afiniczną o kierunku

.
Rozwiązanie Niech

. Ustalmy
wektory
i
oraz liczby nieujemne
takie, że
.
- a) Załóżmy, że
, gdzie
Policzymy
co oznacza, że
i zbiór
jest
wypukły.
- b) Załóżmy, że
, gdzie
Policzymy
co oznacza, że
i zbiór
jest
wypukły. Nierówność silna zachowała się dzięki temu, że
lub
.
- b) Załóżmy, że
, gdzie
Policzymy
co oznacza, że
i zbiór
jest
wypukły.
Zadanie 14.8
Niech
będzie przestrzenią wektorową nad ciałem
i niech
. Wykazać, że zbiór
jest wypukły wtedy i tylko wtedy
gdy dla dowolnego
, dla dowolnego ciągu
elementów zbioru
i dla dowolnego ciągu liczb
rzeczywistych nieujemnych
spełniających
warunek
kombinacja liniowa
należy do
.
Wskazówka Można zastosować indukcję ze względu na

.
Rozwiązanie Jeżeli dla dowolnego

, dla dowolnego ciągu

elementów zbioru

i dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych nieujemnych

spełniających warunek
kombinacja liniowa
należy do
, to zbiór ten jest oczywiście wypukły, bo wypukłość
jest równoważna powyższemu warunkowi dla
.
Przeprowadzimy dowód indukcyjny drugiej implikacji. Jak już wspomnieliśmy, dla
teza wynika z definicji
odcinka łączącego dwa punkty oraz definicji zbioru wypukłego.
Załóżmy zatem, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich
,
gdzie
. Ustalmy:
- i) ciąg
elementów zbioru
;
- ii) ciąg liczb rzeczywistych nieujemnych
spełniających warunek
Chcemy wykazać, że
Jeśli
, to
i
W przeciwnym razie przyjmijmy
i zauważmy, że
.
Z założenia indukcyjnego wynika, że
gdyż suma współczynników tej kombinacji wynosi
.
Teraz dzięki wypukłości zbioru
i dzięki temu, że
mamy