Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 14: Przestrzenie afiniczne II

Zadanie 14.1

Wykazać, że zbiór

$\displaystyle A:=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:2x-3y+z=5,\ x-z=2\}$

jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ i wyznaczyć jej kierunek.

Wskazówka

Kierunek $\displaystyle A$ wyznaczymy ustalając dowolny punkt $\displaystyle a\in A$ i biorąc

$\displaystyle V_{0}=\{{\overrightarrow {ab}};\ b\in A\}=\{b-a;\ b\in A\}.$

Rozwiązanie

Z twierdzenia podanego na wykładzie wynika, że niepusty zbiór rozwiązań układu równań liniowych o $\displaystyle n$ niewiadomych jest podprzestrzenią afiniczną $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$. Aby skorzystać z tego faktu zauważmy, że nasz zbiór $\displaystyle A$ jest zbiorem rozwiązań następującego

układu równań liniowych:

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcccc}2x&-&3y&+&z&=5,\\x&&&-&z&=2\end{array}}\right..$

Zauważmy, że liczby $\displaystyle x=0$, $\displaystyle y=-{\frac {7}{3}}$ oraz $\displaystyle z=-2$ stanowią rozwiązanie tego układu, co oznacza, że zbiór $\displaystyle A$ jest niepusty i jest podprzestrzenią afiniczną $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$. Rozwiązujemy teraz stowarzyszony z naszym układem układ jednorodny, czyli

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcccc}2x&-&3y&+&z&=0,\\x&&&-&z&=0\end{array}}\right.$

i otrzymujemy, że zbiorem rozwiązań tego układu jednorodnego jest podprzestrzeń

$\displaystyle V_{0}={\text{ lin }}\{(1,1,1)\}.$

Oznacza to, że

$\displaystyle A=(0,-{\frac {7}{3}},-2)+{\text{ lin }}\{(1,1,1)\},$

czyli kierunkiem naszej podprzestrzeni afinicznej $\displaystyle A$ jest $\displaystyle V_{0}={\text{ lin }}\{(1,1,1)\}$.

Zadanie 14.2

W przestrzeni $\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}$ napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt $\displaystyle (1,0,2)$ i równoległej do płaszczyzny

$\displaystyle \Pi =\{(3+a-b,2-a+b,1-b):a,b\in \mathbb {R} \}.$

Wskazówka

Trzeba wyznaczyć kierunek $\displaystyle \Pi$, a następnie dokonać translacji tej podprzestrzeni o wektor $\displaystyle (1,0,2)$.

Rozwiązanie

Niech $\displaystyle R$ będzie szukaną płaszczyzną.

Aby wyznaczyć kierunek płaszczyzny $\displaystyle \Pi$ zauważmy, że punkt $\displaystyle (x,y,z)\in \Pi$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\displaystyle (x,y,z)=(3,2,1)+a(1,-1,0)+b(-1,1,-1)$

dla pewnych liczb rzeczywistych $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$. Wynika stąd, że

$\displaystyle \Pi =(3,2,1)+{\text{ lin }}\{(1,-1,0),(-1,1,-1)\},$

zatem $\displaystyle \Pi$ jest przestrzenią afiniczną o kierunku $\displaystyle V_{0}={\text{ lin }}\{(1,-1,0),(-1,1,-1)\}$. Oznacza to, że

$\displaystyle R=(1,0,2)+{\text{ lin }}\{(1,-1,0),(-1,1,-1)\}.$

Poszukując układu równań liniowych opisującego płaszczynę $\displaystyle R$ zauważmy, że $\displaystyle V_{0}$ jest zbiorem rozwiązań równania

$\displaystyle x+y=0$

o niewiadomych $\displaystyle (x,y,z)$. Otrzymujemy stąd, że

$\displaystyle x+y=1$

jest równaniem płaszczyzny przechodzącej przez punkt $\displaystyle (1,0,2)$ i równoległej do płaszczyzny $\displaystyle \Pi$.

Zadanie 14.3

W przestrzeni $\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}$ napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez krawędź przecięcia się płaszczyzn opisanych równaniami

$\displaystyle {\begin{aligned}2x-y+3z-6&=0&{\text{i}}&&x+2y-z+3&=0\end{aligned}}$

oraz przez punkt $\displaystyle A=(1,2,4)$.

Wskazówka

Szukamy płaszczyzny zawierającej prostą i punkt nie leżący na tej prostej, a więc taka płaszczyzna będzie tylko jedna. Można ją opisać równaniem $\displaystyle ax+by+cz=d$, przy stosownie dobranych $\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R}$.

Rozwiązanie

Poszukujemy rówania płaszczyzny postaci

$\displaystyle ax+by+cz=d.$

Prosta przechodząca przez krawędź przecięcia się płaszczyzn opisanych równaniami $\displaystyle 2x-y+3z-6=0$ i $\displaystyle x+2y-z+3=0$ musi być opisana przez układ równań

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}2x&-&y&+&3z&=6,\\x&+&2y&-&z&=-3\end{array}}\right.$

Rozwiązując go otrzymujemy równanie kierunkowe tej prostej w postaci

$\displaystyle L=({\frac {9}{5}},-{\frac {12}{5}},0)+{\text{ lin }}\{(-1,1,1)\}$

W szczególności poszukiwana przez nas płaszczyzna musi poza punktem $\displaystyle A=(1,2,4)$ zawierać także punkty $\displaystyle B=({\frac {9}{5}},-{\frac {12}{5}},0)$ oraz $\displaystyle C=({\frac {4}{5}},-{\frac {7}{5}},1)$. Oznacza to, że poszukiwane współczynniki równania naszej płaszczyzny muszą spełniać układ równań

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}a&+&2b&+&4c&=d,\\{\frac {9}{5}}a&-&{\frac {12}{5}}b&&&=d\\{\frac {4}{5}}a&-&{\frac {7}{5}}b&+&c&=d\end{array}}\right..$

Jak można łatwo obliczyć rozwiązania tego układu są postaci

$\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{21}}d,&b&=-{\frac {8}{21}}d,&c&={\frac {3}{7}}d,&d&\in \mathbb {R} .\end{aligned}}$

Przyjmując np. $\displaystyle d=21$ otrzymujemy jedno z wielu możliwych równań naszej płaszczyzny, czyli

$\displaystyle x-8y+9z=21.$

Zadanie 14.4

W przestrzeni afinicznej $\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}$ dana jest płaszczyzna

$\displaystyle P=\{(1-2s+3t,\,2+5s,\,1-s+3t)\ ;\ s,t\in \mathbb {R} \}$

oraz punkt $\displaystyle A=(3,-2,1)$. Wyznaczyć rodzinę prostych równoległych do $\displaystyle P$ i zawierających punkt $\displaystyle A$.

Wskazówka

Pamiętajmy, że kierunki szukanych prostych muszą się zawierać w kierunku płaszczyzny $\displaystyle P$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że

$\displaystyle {\begin{aligned}P&=\{(1-2s+3t,\,2+5s,\,1-s+3t):s,t\in \mathbb {R} \}\\&=\{(1,2,1)+s(-2,5,-1)+t(3,0,3):s,t\in \mathbb {R} \}\\&=(1,2,1)+{\text{ lin }}\{(-2,5,-1),(3,0,3)\},\end{aligned}}$

czyli kierunkiem podprzestrzeni $\displaystyle P$ jest $\displaystyle V={\text{ lin }}\{(-2,5,-1),(3,0,3)\}$ i wektor kierunkowy każdej prostej równoległej do $\displaystyle P$ musi należeć do $\displaystyle V$. Oznacza to, że rodzina prostych równoległych do $\displaystyle P$ i zawierających punkt $\displaystyle A=(3,-2,1)$ składa się ze wszystkich prostych o równaniu kierunkowym

$\displaystyle (3,-2,1)+t(v_{1},v_{2},v_{3}),\ t\in \mathbb {R} ,$

gdzie $\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3})\in V$.

Zadanie 14.5

Niech $\displaystyle V,W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\displaystyle \mathbb {K}$ i niech $\displaystyle (X,V)$ oraz $\displaystyle (Y,W)$ będą przestrzeniami afinicznymi. Niech $\displaystyle f\colon X\to Y$ będzie odwzorowaniem afinicznym i niech $\displaystyle \varphi \colon V\to W$ oznacza odwzorowanie liniowe indukowane przez $\displaystyle f$. Wykazać, że

a) $\displaystyle f$ jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle \varphi$ jest monomorfizmem,

b) $\displaystyle f$ jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle \varphi$ jest epimorfizmem,

c) $\displaystyle f$ jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle \varphi$ jest izomorfizmem.

Wskazówka

Trzeba skorzystać z definicji odwzorowania afinicznego.

Rozwiązanie

a) Załóżmy, że $\displaystyle f$ jest iniekcją. Wykażemy, że $\displaystyle \varphi$ jest monomorfizmem. W tym celu weźmy dowolny wektor $\displaystyle v\in V$ i przypuśćmy że $\displaystyle \varphi (v)=0$. Ustalmy dowolny punkt $\displaystyle x\in X$. Wtedy

$\displaystyle {\overrightarrow {f(x)f(x+v)}}=\varphi (v)=0\in W,$

skąd wynika, że

$\displaystyle f(x)=f(x+v),$

a wobec iniektywności $\displaystyle f$ mamy $\displaystyle x=x+v$, czyli $\displaystyle v=0$.

Przypuśćmy teraz, że $\displaystyle \varphi$ jest monomorfizmem. Aby wykazać, że $\displaystyle f$ jest iniekcją weźmy dowolne dwa punkty $\displaystyle x,x'\in X$ i załóżmy, że $\displaystyle f(x)=f(x')$. Wtedy

$\displaystyle \varphi ({\overrightarrow {xx'}})={\overrightarrow {f(x)f(x')}}=0\in W,$

skąd, dzięki założeniu, że $\displaystyle \varphi$ jest monomorfizmem, otrzymujemy

$\displaystyle {\overrightarrow {xx'}}=0\in V,$

a zatem $\displaystyle x=x'$. Wobec dowolności wyboru punktów $\displaystyle x$ i $\displaystyle x'$ wnioskujemy, że $\displaystyle f$ jest iniekcją.

b) Załóżmy, że $\displaystyle f$ jest suriekcją i niech $\displaystyle w\in W$ będzie dowolnym wektorem. Wybierzmy dowolny punkt $\displaystyle y\in Y$ i zdefiniujmy punkt $\displaystyle y'=y+w\in Y$. Założyliśmy, że $\displaystyle f$ jest suriekcją, zatem istnieją punkty $\displaystyle x,x'\in X$ takie, że

$\displaystyle f(x)=y\quad {\text{i}}\quad f(x')=y'.$

Wówczas z definicji odwzorowania afinicznego wynika, że

$\displaystyle \varphi ({\overrightarrow {xx'}})={\overrightarrow {f(x)f(x')}}={\overrightarrow {yy'}}=w,$

co dowodzi, że $\displaystyle \varphi$ jest epimorfizmem.

Załóżmy, że $\displaystyle \varphi$ jest epimorfizmem i niech $\displaystyle y'\in Y$ będzie dowolnym punktem. Istnieje punkt $\displaystyle y$ taki, że $\displaystyle y=f(x)$ dla pewnego $\displaystyle x\in X$ (obraz zbioru $\displaystyle X$ przez odwzorowanie $\displaystyle f$ musi zawierać co najmniej jeden punkt). Zdefiniujmy wektor $\displaystyle w={\overrightarrow {yy'}}\in W$. Założyliśmy, że $\displaystyle \varphi$ jest epimorfizmem, zatem istnieje taki wektor $\displaystyle v\in V$, że $\displaystyle \varphi (v)=w$. Niech $\displaystyle x'=x+v\in X$. Wówczas z definicji odwzorowania afinicznego wynika, że

$\displaystyle f(x')=f(x+v)=f(x)+\varphi (v)=y+w=y+{\overrightarrow {yy'}}=y',$

co dowodzi, że dla każdego punktu $\displaystyle y'\in Y$ istnieje punkt $\displaystyle x'\in X$ taki, że $\displaystyle f(x')=y'$, zatem odwzorowanie $\displaystyle f$ jest iniekcją.

c) Ten punkt wynika natychmiast z dwóch poprzednich.

Zadanie 14.6

Niech $\displaystyle V$ i $\displaystyle W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\displaystyle \mathbb {K}$ i niech $\displaystyle f\colon V\to W$. Wykazać, że $\displaystyle f$ jest afiniczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją: odwzorowanie liniowe $\displaystyle \varphi \colon V\to W$ oraz wektor $\displaystyle a\in W$ takie, że $\displaystyle f(v)=a+\varphi (v),\ v\in V$.

Wskazówka

Jako $\displaystyle a$ trzeba wziąć $\displaystyle f(0)$ i skorzystać z definicji odwzorowania afinicznego.

Rozwiązanie

Przypuśćmy najpierw, że $\displaystyle f$ jest odwzorowaniem afinicznym. Wtedy istnieje odwzorowanie liniowe $\displaystyle \varphi \colon V\to W$ takie, że dla dowolnych $\displaystyle x\in V,\ v\in V$ mamy $\displaystyle f(x+v)=f(x)+\varphi (v)$. Stąd w szczególności dla $\displaystyle x=\Theta$, gdzie $\displaystyle \Theta \in V$ jest wektorem zerowym i dla dowolnego wektora $\displaystyle v\in V$ mamy

$\displaystyle f(v)=f(\Theta +v)=f(\Theta )+\varphi (v).$

Wystarczy teraz położyć $\displaystyle a\colon =f(\Theta )$.

Niech $\displaystyle \varphi \colon V\to W$ będzie odwzorowaniem liniowym, niech $\displaystyle a\in W$ i niech $\displaystyle f(v)=a+\varphi (v)$, dla $\displaystyle v\in V$. Wtedy dla dowolnych $\displaystyle x,\ v\in V$ mamy

$\displaystyle f(x+v)=a+\varphi (x+v)=a+\varphi (x)+\varphi (v)=f(x)+\varphi (v).$

A więc, zgodnie z definicją, $\displaystyle f$ jest afiniczne.

Zadanie 14.7

Niech $\displaystyle n\in \mathbb {N} _{1}$. Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Ustalmy wektor $\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ oraz liczbę rzeczywistą $\displaystyle \alpha$. Wykazać wypukłość następującyh zbiorów:

a) $\displaystyle A=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} \leq \alpha \}$,

b) $\displaystyle B=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} <\alpha \}$,

c) $\displaystyle C=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =\alpha \}$.

Wskazówka

Potraktujmy $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ jako przestrzeń afiniczną o kierunku $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$.

Rozwiązanie

Niech $\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$. Ustalmy

wektory $\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$ i $\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n})$ oraz liczby nieujemne $\displaystyle \mu ,\nu$ takie, że $\displaystyle \mu +\nu =1$.

a) Załóżmy, że $\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in A$, gdzie

$\displaystyle A=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} \leq \alpha \}.$

Policzymy

$\displaystyle {\begin{aligned}(\mu \mathbf {x} +\nu \mathbf {y} )\cdot \mathbf {a} &=(\mu \mathbf {x} )\cdot \mathbf {a} +(\nu \mathbf {y} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mu (\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} )+\nu (\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} )\\&\leq \mu \alpha +\nu \alpha \\&=(\mu +\nu )\alpha \\&=\alpha ,\end{aligned}}$

co oznacza, że $\displaystyle \mu \mathbf {x} +\nu \mathbf {y} \in A$ i zbiór $\displaystyle A$ jest wypukły.

b) Załóżmy, że $\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in B$, gdzie

$\displaystyle B=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} <\alpha \}.$

Policzymy

$\displaystyle {\begin{aligned}(\mu \mathbf {x} +\nu \mathbf {y} )\cdot \mathbf {a} &=(\mu \mathbf {x} )\cdot \mathbf {a} +(\nu \mathbf {y} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mu (\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} )+\nu (\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} )\\&<\mu \alpha +\nu \alpha \\&=(\mu +\nu )\alpha \\&=\alpha ,\end{aligned}}$

co oznacza, że $\displaystyle \mu \mathbf {x} +\nu \mathbf {y} \in B$ i zbiór $\displaystyle B$ jest wypukły. Nierówność silna zachowała się dzięki temu, że $\displaystyle \mu >0$ lub $\displaystyle \nu >0$.

b) Załóżmy, że $\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in C$, gdzie

$\displaystyle C=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =\alpha \}.$

Policzymy

$\displaystyle {\begin{aligned}(\mu \mathbf {x} +\nu \mathbf {y} )\cdot \mathbf {a} &=(\mu \mathbf {x} )\cdot \mathbf {a} +(\nu \mathbf {y} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mu (\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} )+\nu (\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} )\\&=\mu \alpha +\nu \alpha \\&=(\mu +\nu )\alpha \\&=\alpha ,\end{aligned}}$

co oznacza, że $\displaystyle \mu \mathbf {x} +\nu \mathbf {y} \in C$ i zbiór $\displaystyle C$ jest wypukły.

Zadanie 14.8

Niech $\displaystyle V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\displaystyle \mathbb {R}$ i niech $\displaystyle C\subset V$. Wykazać, że zbiór $\displaystyle C$ jest wypukły wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego $\displaystyle m\in \mathbb {N} _{2}$, dla dowolnego ciągu $\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{m}$ elementów zbioru $\displaystyle C$ i dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych nieujemnych $\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}$ spełniających warunek

$\displaystyle \lambda _{1}+\ldots +\lambda _{m}=1$

kombinacja liniowa

$\displaystyle \lambda _{1}c_{1}+\ldots +\lambda _{m}c_{m}$

należy do $\displaystyle C$.

Wskazówka

Można zastosować indukcję ze względu na $\displaystyle m$.

Rozwiązanie

Jeżeli dla dowolnego $\displaystyle m\in \mathbb {N} _{2}$, dla dowolnego ciągu $\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{m}$ elementów zbioru $\displaystyle C$ i dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych nieujemnych $\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}$ spełniających warunek

$\displaystyle \lambda _{1}+\ldots +\lambda _{m}=1$

kombinacja liniowa

$\displaystyle \lambda _{1}c_{1}+\ldots +\lambda _{m}c_{m}$

należy do $\displaystyle C$, to zbiór ten jest oczywiście wypukły, bo wypukłość jest równoważna powyższemu warunkowi dla $\displaystyle m=2$.

Przeprowadzimy dowód indukcyjny drugiej implikacji. Jak już wspomnieliśmy, dla $\displaystyle m=2$ teza wynika z definicji odcinka łączącego dwa punkty oraz definicji zbioru wypukłego. Załóżmy zatem, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich $\displaystyle k\leq m$, gdzie $\displaystyle m\geq 2$. Ustalmy:

i) ciąg $\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{m},c_{m+1}$ elementów zbioru $\displaystyle C$;

ii) ciąg liczb rzeczywistych nieujemnych $\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m},\lambda _{m+1}$ spełniających warunek

$\displaystyle \lambda _{1}+\ldots +\lambda _{m}+\lambda _{m+1}=1.$

Chcemy wykazać, że

$\displaystyle \lambda _{1}c_{1}+\ldots +\lambda _{m}c_{m}+\lambda _{m+1}c_{m+1}\in C.$

Jeśli $\displaystyle \lambda _{1}=\ldots =\lambda _{m}=0$, to $\displaystyle \lambda _{m+1}=1$ i

$\displaystyle \lambda _{1}c_{1}+\ldots +\lambda _{m}c_{m}+\lambda _{m+1}c_{m+1}=c_{m+1}\in C.$

W przeciwnym razie przyjmijmy $\displaystyle \lambda :=\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{m}$ i zauważmy, że $\displaystyle \lambda >0$. Z założenia indukcyjnego wynika, że

$\displaystyle c={\frac {\lambda _{1}}{\lambda }}c_{1}+\ldots +{\frac {\lambda _{m}}{\lambda }}c_{m}\in C,$

gdyż suma współczynników tej kombinacji wynosi $\displaystyle 1$. Teraz dzięki wypukłości zbioru $\displaystyle C$ i dzięki temu, że $\displaystyle \lambda +\lambda _{m+1}=1$ mamy

$\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}c_{1}+\ldots +\lambda _{m}c_{m}+\lambda _{m+1}c_{m+1}&=\lambda ({\frac {\lambda _{1}}{\lambda }}c_{1}+\ldots +{\frac {\lambda _{m}}{\lambda }}c_{m})+\lambda _{m+1}c_{m+1}\\&=\lambda c+\lambda _{m+1}c_{m+1}\in C.\end{aligned}}$