Zadanie 11.1
Niech
będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
i niech
będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Niech
gdzie
. Wykazać, że
jest odwzorowaniem
liniowym.
Wskazówka Trzeba skorzystać z definicji odwzorowania liniowego.
Rozwiązanie Ustalmy dowolne wektory

,

należące do przestrzeni wektorowej

oraz dowolne skalary

,

z ciała

. Mamy wykazać, że
co oznacza, że mamy sprawdzić, czy odwzorowania
są równe. W tym celu wybierzmy dowolny wektor
i policzmy
Oznacza to, że zachodzi wymagana równość odwzorowań
i dowód liniowości odwzorowania
jest zakończony.
Zadanie 11.2
Niech
będzie przestrzenią wektorową nad ciałem
i niech
będzie formą kwadratową.
Definiujemy
Wykazać, że
jest formą dwuliniową symetryczną,
skojarzoną z
.
Wskazówka Trzeba wziąć dowolne dwuliniowe odwzorowanie

indukujące

i skorzystać z tego, że
Rozwiązanie Niech

będzie odwzorowaniem dwuliniowym indukującym formę

. Oznacza to, że dla dowolnego wektora

zachodzi
w szczególności dla dowolnych wektorów
mamy:
co oznacza, że
Wynika stąd, że
jako kombinacja liniowa odwzorowań
dwuliniowych jest odwzorowaniem dwuliniowym, a ponadto
jest
odwzorowaniem symetrycznym, co było do okazania.
Zadanie 11.3
Dana jest forma kwadratowa
Znaleźć odwzorowanie dwuliniowe symetryczne skojarzone z
.
Wskazówka
Można skorzystać ze wzoru podanego w zadaniu 11.2.
Rozwiązanie Z zadania
11.2 wynika, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne

skojarzone z

jest dane wzorem
Podstawiając
oraz
, otrzymujemy
Odejmując od siebie powyższe równości stronami, otrzymujemy
co na mocy zadania 11.2 oznacza, że odwzorowanie
dwuliniowe symetryczne
skojarzone z
jest dane wzorem
Zadanie 11.4
Dana jest forma kwadratowa
Wyznaczyć macierz
w bazie kanonicznej oraz rząd
.
Wskazówka
Trzeba znaleźć macierz odwzorowania dwuliniowego skojarzonego z
.
Rząd tej macierzy będzie równocześnie rzędem formy
.
Rozwiązanie
Z zadania 11.2 wynika, że odwzorowanie dwuliniowe
symetryczne
skojarzone
z
jest dane wzorem
Podstawiając
oraz
, otrzymujemy
Odejmując od siebie powyższe równości stronami, otrzymujemy
co na mocy zadania 11.2 oznacza, że odwzorowanie
dwuliniowe symetryczne
skojarzone z
jest dane wzorem
Zgodnie z definicją macierz
jest macierzą odwzorowania
dwuliniowego
w bazie kanonicznej jeżeli jest dana wzorem
Po wykonaniu odpowiednich obliczeń widzimy, że
Widać też, że rząd macierzy
jest równy
.
Zadanie 11.5
Niech
. Wykazać,
że
jest formą kwadratową. Wyznaczyć macierz
przy bazie
kanonicznej. Znaleźć bazę
, przy której macierz
ma postać
blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera. Wyznaczyć
sygnaturę
.
Wskazówka Trzeba zacząć od znalezienia odwzorowania dwuliniowego symetrycznego indukującego

, a następnie spróbować sprowadzić

do postaci kanonicznej. Związki między współrzędnymi względem szukanej bazy a współrzędnymi względem bazy kanonicznej pozwolą wyliczyć potrzebne nam wektory bazowe.
Rozwiązanie Można zauważyć (lub obliczyć korzystając z metody podanej w zadaniu
11.2), że jeżeli
jest symetryczną formą dwuliniową daną wzorem
to dla dowolnego
zachodzi
co oznacza, że
jest formą kwadratową, a
jest symetryczną
formą dwuliniową skojarzoną z
. Co więcej, macierzą
w bazie
kanonicznej jest macierz
Aby wyznaczyć bazę
, przy której macierz
ma postać
blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera zauważmy, że
Wprowadzając teraz nowe zmienne
lub równoważnie
widzimy, że w nowych zmiennych wzór na
przyjmuje postać
Naszej zmianie zmiennych odpowiada macierz przejścia
która z kolei oznacza zmianę bazy z kanonicznej na bazę złożoną
z wektorów
oraz
. Macierzą
w tej bazie jest
macierz
czyli
w szczególności otrzymaliśmy, że sygnaturą formy
jest
para
.
Zadanie 11.6
Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące formy kwadratowe:
Wskazówka
Można skorzystać z metody Lagrange'a lub metody Jacobiego (
literatura: H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry
liniowej, PWN, Warszawa 1977). Korzystając z metody Jacobiego, należy wyznaczyć macierz
formy kwadratowej w dowolnej bazie np. w bazie kanonicznej. Niech
tą macierzą będzie
. Teraz, jeżeli wyznaczniki
są różne od zera i
lub (gdy
)
, to
istnieje baza, w której forma kwadratowa przyjmuje postać kanoniczną
Rozwiązanie
- i) Niech
Macierzą formy
w bazie kanonicznej jest, jak łatwo sprawdzić, macierz
Obliczamy wyznaczniki
które podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną naszej formy
- ii) Niech
Macierzą formy
w bazie kanonicznej jest, jak łatwo sprawdzić, macierz
Obliczamy wyznaczniki
które podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną naszej formy
Zadanie 11.7
Dane jest odwzorowanie liniowe
Zbadać, czy
jest odwzorowaniem symetrycznym.
Wskazówka Wystarczy sprawdzić warunek z definicji odwzorowania symetrycznego.
Rozwiązanie Będziemy utożsamiać przestrzeń

z przestrzenią macierzy o trzech wierszach i jednej kolumnie. Wówczas działaniu odwzorowania

odpowiada mnożenie takiego wektora kolumnowego

przez macierz odwzorowania

w bazach kanonicznych, którą oznaczamy dalej przez

, to jest

możemy utożsamiać z

. Przy tych oznaczeniach standardowy iloczyn skalarny dla wektorów
dany jest wzorem
Zgodnie z definicją odwzorowania symetrycznego musimy sprawdzić, czy
Zauważmy jeszcze, że
zatem
jest macierzą symetryczną (
). Wynika stąd, że
co było do okazania.