Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 11: Formy kwadratowe

Zadanie 11.1

Niech $\displaystyle U,V,W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\displaystyle \mathbb {K}$ i niech

$\displaystyle \Phi \colon U\times V\to W$

będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Niech

$\displaystyle F\colon U\ni u\to f_{u}\in {\mathcal {L}}(V,W),$

gdzie $\displaystyle f_{u}(v):=\Phi (u,v)$. Wykazać, że $\displaystyle F$ jest odwzorowaniem liniowym.

Wskazówka

Trzeba skorzystać z definicji odwzorowania liniowego.

Rozwiązanie

Ustalmy dowolne wektory $\displaystyle u_{1}$, $\displaystyle u_{2}$ należące do przestrzeni wektorowej $\displaystyle U$ oraz dowolne skalary $\displaystyle \alpha _{1}$, $\displaystyle \alpha _{2}$ z ciała $\displaystyle \mathbb {K}$. Mamy wykazać, że

$\displaystyle F(\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2})=\alpha _{1}F(u_{1})+\alpha _{2}F(u_{2}),$

co oznacza, że mamy sprawdzić, czy odwzorowania

$\displaystyle f_{\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}}\quad {\text{i}}\quad \alpha _{1}f_{u_{1}}+\alpha _{2}f_{u_{2}}$

są równe. W tym celu wybierzmy dowolny wektor $\displaystyle v\in V$ i policzmy

$\displaystyle {\begin{aligned}f_{\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}}(v)&=\Phi ({\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}},v)\\&=\alpha _{1}\Phi (u_{1},v)+\alpha _{2}\Phi (u_{2},v)\\&=\alpha _{1}f_{u_{1}}(v)+\alpha _{2}f_{u_{2}}(v).\end{aligned}}$

Oznacza to, że zachodzi wymagana równość odwzorowań

$\displaystyle f_{\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}}=\alpha _{1}f_{u_{1}}+\alpha _{2}f_{u_{2}}$

i dowód liniowości odwzorowania $\displaystyle F$ jest zakończony.

Zadanie 11.2

Niech $\displaystyle V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\displaystyle \mathbb {R}$ i niech $\displaystyle f\colon V\to \mathbb {R}$ będzie formą kwadratową. Definiujemy

$\displaystyle \varphi \colon V\times V\ni (v,w)\to {\frac {1}{4}}(f(v+w)-f(v-w))\in \mathbb {R} .$

Wykazać, że $\displaystyle \varphi$ jest formą dwuliniową symetryczną, skojarzoną z $\displaystyle f$.

Wskazówka

Trzeba wziąć dowolne dwuliniowe odwzorowanie $\displaystyle \Phi$ indukujące $\displaystyle f$ i skorzystać z tego, że

$\displaystyle {\begin{aligned}f(v+w)&=\Phi (v+w,v+w)&i&&f(v-w)&=\Phi (v-w,v-w).\end{aligned}}$

Rozwiązanie

Niech $\displaystyle \Phi \colon V\times V\to V$ będzie odwzorowaniem dwuliniowym indukującym formę $\displaystyle f$. Oznacza to, że dla dowolnego wektora $\displaystyle u\in V$ zachodzi

$\displaystyle f(u)=\Phi (u,u),$

w szczególności dla dowolnych wektorów $\displaystyle v,w\in V$ mamy:

$\displaystyle {\begin{aligned}f(v+w)&=\Phi (v+w,v+w),&f(v-w)&=\Phi (v-w,v-w),\end{aligned}}$

co oznacza, że

$\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (v,w)&={\frac {1}{4}}(f(v+w)-f(v-w))\\&={\frac {1}{4}}(\Phi (v+w,v+w)-\Phi (v-w,v-w))\\&={\frac {1}{4}}(\Phi (v,v+w)+\Phi (w,v+w)-\Phi (v,v-w)+\Phi (w,v-w))\\&={\frac {1}{4}}(\Phi (v,v)+\Phi (v,w)+\Phi (w,v)+\Phi (w,w)+\\&-\Phi (v,v)+\Phi (v,w)+\Phi (w,v)-\Phi (w,w))\\&={\frac {1}{4}}(2\Phi (v,w)+2\Phi (w,v))\\&={\frac {1}{2}}(\Phi (v,w)+\Phi (w,v))\\&={\frac {1}{2}}(\Phi (w,v)+\Phi (v,w))\\&=\varphi (w,v).\end{aligned}}$

Wynika stąd, że $\displaystyle \varphi$ jako kombinacja liniowa odwzorowań dwuliniowych jest odwzorowaniem dwuliniowym, a ponadto $\displaystyle \varphi$ jest odwzorowaniem symetrycznym, co było do okazania.

Zadanie 11.3

Dana jest forma kwadratowa

$\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\ni (x_{1},x_{2})\to x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}\in \mathbb {R} .$

Znaleźć odwzorowanie dwuliniowe symetryczne skojarzone z $\displaystyle f$.

Wskazówka

Można skorzystać ze wzoru podanego w zadaniu 11.2.

Rozwiązanie

Z zadania 11.2 wynika, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ skojarzone z $\displaystyle f$ jest dane wzorem

$\displaystyle \varphi (v,w)={\frac {1}{4}}(f(v+w)-f(v-w)),\quad u,v\in \mathbb {R} ^{2}.$

Podstawiając $\displaystyle v=(x_{1},x_{2})$ oraz $\displaystyle w=(y_{1},y_{2})$, otrzymujemy

$\displaystyle {\begin{aligned}f(v+w)&=(x_{1}+y_{1})^{2}+3(x_{2}+y_{2})^{2}-2(x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})\\&=x_{1}^{2}+2x_{1}y_{1}+y_{1}^{2}+\\&+3x_{2}^{2}+6x_{2}y_{2}+3y_{2}^{2}+\\&-2x_{1}x_{2}-2x_{1}y_{2}-2y_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}\\f(v-w)&=(x_{1}-y_{1})^{2}+3(x_{2}-y_{2})^{2}-2(x_{1}-y_{1})(x_{2}-y_{2})\\&=x_{1}^{2}-2x_{1}y_{1}+y_{1}^{2}+\\&+3x_{2}^{2}-6x_{2}y_{2}+3y_{2}^{2}+\\&-2x_{1}x_{2}+2x_{1}y_{2}+2y_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}.\end{aligned}}$

Odejmując od siebie powyższe równości stronami, otrzymujemy

$\displaystyle {\begin{aligned}f(v+w)-f(v-w)&=4x_{1}y_{1}+12x_{2}y_{2}-4x_{1}y_{2}-4y_{1}x_{2},\end{aligned}}$

co na mocy zadania 11.2 oznacza, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ skojarzone z $\displaystyle f$ jest dane wzorem

$\displaystyle \varphi ((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))=x_{1}y_{1}+3x_{2}y_{2}-x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}.$

Zadanie 11.4

Dana jest forma kwadratowa

$\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to 2x_{1}^{2}-x_{2}x_{3}+3x_{3}^{2}\in \mathbb {R} .$

Wyznaczyć macierz $\displaystyle f$ w bazie kanonicznej oraz rząd $\displaystyle f$.

Wskazówka

Trzeba znaleźć macierz odwzorowania dwuliniowego skojarzonego z $\displaystyle f$. Rząd tej macierzy będzie równocześnie rzędem formy $\displaystyle f$.

Rozwiązanie

Z zadania 11.2 wynika, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ skojarzone z $\displaystyle f$ jest dane wzorem

$\displaystyle \varphi (v,w)={\frac {1}{4}}(f(v+w)-f(v-w)),\quad u,v\in \mathbb {R} ^{3}.$

Podstawiając $\displaystyle v=(x_{1},x_{2},x_{3})$ oraz $\displaystyle w=(y_{1},y_{2},y_{3})$, otrzymujemy

$\displaystyle {\begin{aligned}f(v+w)&=2(x_{1}+y_{1})^{2}-(x_{2}+y_{2})(x_{3}+y_{3})+3(x_{3}+y_{3})^{2}\\&=2x_{1}^{2}+4x_{1}y_{1}+2y_{1}^{2}-x_{2}x_{3}-x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3}-y_{2}y_{3}+\\&+3x_{3}^{2}+6x_{3}y_{3}+3y_{3}^{2},\\f(v-w)&=2(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})(x_{3}-y_{3})+3(x_{3}-y_{3})^{2}\\&=2x_{1}^{2}-4x_{1}y_{1}+2y_{1}^{2}-x_{2}x_{3}+x_{2}y_{3}+y_{2}x_{3}-y_{2}y_{3}+\\&+3x_{3}^{2}-6x_{3}y_{3}+3y_{3}^{2}.\\\end{aligned}}$

Odejmując od siebie powyższe równości stronami, otrzymujemy

$\displaystyle {\begin{aligned}f(v+w)-f(v-w)&=8x_{1}y_{1}-2x_{2}y_{3}-2x_{3}y_{2}+12x_{3}y_{3},\end{aligned}}$

co na mocy zadania 11.2 oznacza, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ skojarzone z $\displaystyle f$ jest dane wzorem

$\displaystyle \varphi ((x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2},y_{3}))=2x_{1}y_{1}-{\frac {1}{2}}x_{2}y_{3}-{\frac {1}{2}}x_{3}y_{2}+3x_{3}y_{3}.$

Zgodnie z definicją macierz $\displaystyle A$ jest macierzą odwzorowania dwuliniowego $\displaystyle \varphi$ w bazie kanonicznej jeżeli jest dana wzorem

$\displaystyle [a_{ij}]_{n\times n}=[\varphi (e_{i},e_{j})]_{n\times n}.$

Po wykonaniu odpowiednich obliczeń widzimy, że

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&0&0\\0&0&-{\frac {1}{2}}\\0&-{\frac {1}{2}}&3\end{array}}\right].$

Widać też, że rząd macierzy $\displaystyle A$ jest równy $\displaystyle 3$.

Zadanie 11.5

Niech $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\ni (x_{1},x_{2})\to x_{1}x_{2}\in \mathbb {R}$. Wykazać, że $\displaystyle f$ jest formą kwadratową. Wyznaczyć macierz $\displaystyle f$ przy bazie kanonicznej. Znaleźć bazę $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$, przy której macierz $\displaystyle f$ ma postać blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera. Wyznaczyć sygnaturę $\displaystyle f$.

Wskazówka

Trzeba zacząć od znalezienia odwzorowania dwuliniowego symetrycznego indukującego $\displaystyle f$, a następnie spróbować sprowadzić $\displaystyle f$ do postaci kanonicznej. Związki między współrzędnymi względem szukanej bazy a współrzędnymi względem bazy kanonicznej pozwolą wyliczyć potrzebne nam wektory bazowe.

Rozwiązanie

Można zauważyć (lub obliczyć korzystając z metody podanej w zadaniu 11.2), że jeżeli

$\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$

jest symetryczną formą dwuliniową daną wzorem

$\displaystyle \varphi ((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))={\frac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}),$

to dla dowolnego $\displaystyle (x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ zachodzi

$\displaystyle f(x_{1},x_{2})=\varphi ((x_{1},x_{2}),(x_{1},x_{2})),$

co oznacza, że $\displaystyle f$ jest formą kwadratową, a $\displaystyle \varphi$ jest symetryczną formą dwuliniową skojarzoną z $\displaystyle f$. Co więcej, macierzą $\displaystyle f$ w bazie kanonicznej jest macierz

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0\end{array}}\right].$

Aby wyznaczyć bazę $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$, przy której macierz $\displaystyle f$ ma postać blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera zauważmy, że

$\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},x_{2})&=x_{1}x_{2}\\&=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}\end{aligned}}$

Wprowadzając teraz nowe zmienne

$\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\\\eta &={\frac {x_{1}-x_{2}}{2}},\end{aligned}}$

lub równoważnie

$\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\xi +\eta \\x_{2}&=\xi -\eta ,\end{aligned}}$

widzimy, że w nowych zmiennych wzór na $\displaystyle f$ przyjmuje postać

$\displaystyle \xi ^{2}-\eta ^{2}.$

Naszej zmianie zmiennych odpowiada macierz przejścia

$\displaystyle P=\left[{\begin{array}{rrr}1&1\\1&-1\end{array}}\right],$

która z kolei oznacza zmianę bazy z kanonicznej na bazę złożoną z wektorów $\displaystyle (1,1)$ oraz $\displaystyle (1,-1)$. Macierzą $\displaystyle f$ w tej bazie jest macierz

$\displaystyle P^{*}AP,$

czyli

$\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr}1&0\\0&-1\end{array}}\right],$

w szczególności otrzymaliśmy, że sygnaturą formy $\displaystyle f$ jest para $\displaystyle (1,1)$.

Zadanie 11.6

Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące formy kwadratowe:

$\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},x_{2},x_{3})&=x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}+4x_{2}x_{3}+x_{3}^{2},\\g(x_{1},x_{2},x_{3})&=2x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}+3x_{3}^{2}.\end{aligned}}$

Wskazówka

Można skorzystać z metody Lagrange'a lub metody Jacobiego ( literatura: H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1977). Korzystając z metody Jacobiego, należy wyznaczyć macierz formy kwadratowej w dowolnej bazie np. w bazie kanonicznej. Niech tą macierzą będzie $\displaystyle A=[a_{ij}]_{n\times n}$. Teraz, jeżeli wyznaczniki

$\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}&=\det[a_{11}],&\Delta _{2}&=\det \left[{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right],&\ldots &,&\Delta _{m}&=\det \left[{\begin{array}{ccc}a_{11}&\ldots &a_{1m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mm}\end{array}}\right]\end{aligned}}$

są różne od zera i $\displaystyle m=n$ lub (gdy $\displaystyle m<n$) $\displaystyle \Delta _{m+1}=0$, to istnieje baza, w której forma kwadratowa przyjmuje postać kanoniczną

$\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{\Delta _{1}}}x_{1}^{2}+{\frac {\Delta _{1}}{\Delta _{2}}}x_{2}^{2}+\ldots +{\frac {\Delta _{m-1}}{\Delta _{m}}}x_{m}^{2}.$

Rozwiązanie

i) Niech

$\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}+4x_{2}x_{3}+x_{3}^{2}.$

Macierzą formy $\displaystyle f$ w bazie kanonicznej jest, jak łatwo sprawdzić, macierz

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccc}1&{\frac {3}{2}}&0\\{\frac {3}{2}}&2&2\\0&2&1\end{array}}\right].$

Obliczamy wyznaczniki

$\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}&=\det[1]=1,&\Delta _{2}&=\det \left[{\begin{array}{cc}1&{\frac {3}{2}}\\{\frac {3}{2}}&2\end{array}}\right]=-{\frac {1}{4}},&\Delta _{3}&=\det A=-{\frac {17}{4}},\end{aligned}}$

które podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną naszej formy

$\displaystyle {\begin{aligned}f(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})&={\frac {1}{\Delta _{1}}}\xi _{1}^{2}+{\frac {\Delta _{1}}{\Delta _{2}}}\xi _{2}^{2}+{\frac {\Delta _{2}}{\Delta _{3}}}\xi _{3}^{2}\\&=\xi _{1}^{2}-4\xi _{2}^{2}+{\frac {1}{17}}\xi _{3}^{2}.\end{aligned}}$

ii) Niech

$\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}+3x_{3}^{2}.$

Macierzą formy $\displaystyle g$ w bazie kanonicznej jest, jak łatwo sprawdzić, macierz

$\displaystyle B=\left[{\begin{array}{ccc}2&0&1\\0&1&2\\1&2&3\end{array}}\right].$

Obliczamy wyznaczniki

$\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}&=\det[2]=2,&\Delta _{2}&=\det \left[{\begin{array}{cc}2&0\\0&1\end{array}}\right]=2,&\Delta _{3}&=\det B=-3,\end{aligned}}$

które podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną naszej formy

$\displaystyle {\begin{aligned}g(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})&={\frac {1}{\Delta _{1}}}\xi _{1}^{2}+{\frac {\Delta _{1}}{\Delta _{2}}}\xi _{2}^{2}+{\frac {\Delta _{2}}{\Delta _{3}}}\xi _{3}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}-{\frac {2}{3}}\xi _{3}^{2}.\end{aligned}}$

Zadanie 11.7

Dane jest odwzorowanie liniowe

$\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\to (x_{1}-x_{2}+2x_{3},-x_{1}+3x_{2},2x_{1}-x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}.$

Zbadać, czy $\displaystyle f$ jest odwzorowaniem symetrycznym.

Wskazówka

Wystarczy sprawdzić warunek z definicji odwzorowania symetrycznego.

Rozwiązanie

Będziemy utożsamiać przestrzeń $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ z przestrzenią macierzy o trzech wierszach i jednej kolumnie. Wówczas działaniu odwzorowania $\displaystyle f$ odpowiada mnożenie takiego wektora kolumnowego $\displaystyle \mathbf {x}$ przez macierz odwzorowania $\displaystyle f$ w bazach kanonicznych, którą oznaczamy dalej przez $\displaystyle A$, to jest $\displaystyle f(\mathbf {x} )$ możemy utożsamiać z $\displaystyle A\mathbf {x}$. Przy tych oznaczeniach standardowy iloczyn skalarny dla wektorów

$\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right],&\mathbf {y} &=\left[{\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{array}}\right]\end{aligned}}$

dany jest wzorem

$\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\mathbf {x} ^{*}\mathbf {y} =\left[{\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{array}}\right].$

Zgodnie z definicją odwzorowania symetrycznego musimy sprawdzić, czy

$\displaystyle (A\mathbf {x} )^{*}\mathbf {y} =\mathbf {x} ^{*}(A\mathbf {y} ).$

Zauważmy jeszcze, że

$\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&2\\-1&3&0\\2&0&-1\end{array}}\right],$

zatem $\displaystyle A$ jest macierzą symetryczną ($\displaystyle A=A^{*}$). Wynika stąd, że

$\displaystyle {\begin{aligned}(A\mathbf {x} )^{*}\mathbf {y} &=(\mathbf {x} ^{*}A^{*})\mathbf {y} \\&=(\mathbf {x} ^{*}A)\mathbf {y} \\&=\mathbf {x} ^{*}(A\mathbf {y} ),\end{aligned}}$

co było do okazania.