Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 9: Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana

Z Studia Informatyczne
< Algebra liniowa z geometrią analityczną
Wersja z dnia 09:51, 12 sie 2006 autorstwa Pitab (dyskusja | edycje)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Wyznacznik, ślad, wartość własna, wielomian charakterystyczny endomorfizmu i macierzy

W wykładzie tym zakładamy, że wszystkie przestrzenie są skończenie wymiarowe nad ciałem o charakterystyce równej .

Mówimy, że macierze kwadratowe są podobne, jeśli istnieje taka macierz nieosobliwa , dla której . Macierze podobne mają ten sam wyznacznik, bo



Zdefiniujemy teraz ślad macierzy. Tak jak wyznacznik, ślad macierzy definiuje się tylko dla macierzy kwadratowych. Dla macierzy definiujemy jej ślad Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tr”): {\displaystyle \tr A} jako sumę jej wyrazów leżących na głównej przekątnej, to znaczy


Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\textnormal”): {\displaystyle \textnormal tr A=\sum _{i=1}^n a_{ii}.}


Odwzorowanie


Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\textnormal”): {\displaystyle M(n,n;\mathbb K )\ni A\longrightarrow \textnormal tr A \in \mathbb K }


jest liniowe.

Pamiętamy, że mnożenie macierzy jest na ogół nieprzemienne. Mamy natomiast następujące twierdzenie

Twierdzenie 1.1

Dla dowolnych macierzy zachodzi równość


Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tr”): {\displaystyle \tr (AB)=\tr (BA).}


Dowód

Niech , . Oznaczmy przez macierz i przez macierz . Mamy następujące równości


Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\textnormal”): {\displaystyle \textnormal tr (AB)=\sum _{i=1}^n c_{ii}=\sum _{i=1}^n \sum _{k=1}^n a_{ik}b_{ki}= \sum _{k=1}^n\sum _{i=1}^m b_{ki}a_{ik} =\sum _{k=1}^n d_{kk}=\textnormal tr (BA).}
End of proof.gif