Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 8: Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych

Minory i rząd macierzy. Macierz odwrotna

Ponieważ w wykładzie tym intensywnie będziemy korzystać z poprzedniego wykładu, musimy dokonać tych samych wstępnych ustaleń, a mianowicie, zakładamy, że wszystkie rozważane przestrzenie są skończenie wymiarowe nad ciałem $\mathbb {K}$ o charakterystyce różnej od $2$.

Niech dana będzie macierz $A=[a_{ij}]\in M(m,n;\mathbb {K} )$. Wiemy, że rząd tej macierzy jest równy rzędowi układu kolumn $A_{1},...,A_{n}\in \mathbb {K} ^{m}$ tej macierzy. Jest też równy rzędowi układu wierszy tej macierzy, bo rząd macierzy $A$ jest równy rzędowi macierzy dualnej. Wiemy też, że rząd układu wektorów jest równy maksymalnej liczbie wektorów liniowo niezależnych, które można wybrać z tego układu wektorów.

Wprowadzimy teraz pojęcie minora macierzy. Niech $k$ będzie pewną liczbą naturalną nie większą od $m$ i $n$. Ustalmy ciągi wskaźników $1\leq i_{1}<...<i_{k}\leq m$, $1\leq j_{1}<...<j_{k}\leq n$. Oznaczmy przez

$A_{j_{1},...,j_{k}}^{i_{1},...,i_{k}}$

macierz powstałą przez wybór wyrazów stojących na przecięciu wierszy o numerach $i_{1},...,i_{k}$ i kolumn o numerach $j_{1},...,j_{k}$. Otrzymujemy macierz kwadratową o wymiarach $k$ na $k$. Wyznacznik tak otrzymanej macierzy nazywamy minorem rzędu $k$ macierzy $A$.

Plik:Ag8 1a.mp4

Podmacierz i minor macierzy

Następujący lemat będzie przydatny w dalszych rozumowaniach.

Lemat 1.1

Kolumny $A_{j_{1}},...,A_{j_{k}}$ są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie wskaźniki $1\leq i_{1}<...<i_{k}\leq m$, że $\det A_{j_{1},...,j_{k}}^{i_{1},...,i_{k}}\neq 0$.

Dowód

Załóżmy najpierw, że kolumny $A_{j_{1}},...,A_{j_{k}}$ są liniowo niezależne. Wtedy macierz $A_{j_{1},...,j_{k}}=[A_{j_{1}},...,A_{j_{k}}]$ składająca się tylko z tych kolumn ma rząd równy $k$. Ponieważ rząd macierzy danej jest równy rzędowi macierzy dualnej, więc wsród wierszy macierzy $A_{j_{1},...,j_{k}}$ istnieje $k$ liniowo niezależnych wektorów. Niech będą to wiersze o numerach $1\leq i_{1}<...<i_{k}\leq m$. Oznacza to, że w macierzy $A_{j_{1},...,j_{k}}^{i_{1},...,i_{k}}$ wiersze o numerach $i_{1},...,i_{k}$ są liniowo niezależne, czyli rząd tej macierzy jest równy $k$. A zatem $\det A_{j_{1},...,j_{k}}^{i_{1},...,i_{k}}\neq 0$.

Załóżmy teraz, że $\det A_{j_{1},...,j_{k}}^{i_{1},...,i_{k}}\neq 0$. Wtedy wiersze tej macierzy są liniowo niezależne. A zatem rząd macierzy $[A_{1},...,A_{k}]$ jest równy $k$ (bo nie może być większy). Oznacza to, że $k$ kolumn tej macierzy stanowi układ liniowo niezależny.

Z powyższego lematu wynika natychmiast następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.2

Dla dowolnej macierzy $A$ jej rząd jest równy $k$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy minor rządu $k$ tej macierzy i każdy minor rzędu większego od $k$ jest zerowy.

Przed udowodnieniem kolejnego twierdzenia przypomnijmy, że dla macierzy $A=[a_{ij}]$ wprowadziliśmy wielkości $\Delta _{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}$, gdzie $A_{ij}$ jest macierzą otrzymaną z macierzy $A$ przez wykreślenie $i$-tego wiersza i $j$-tej kolumny.

Twierdzenie 1.3

Niech $A\in M(n,n;\mathbb {K} )$ będzie macierzą odwracalną i niech $B=[b_{ij}]$ oznacza jej macierz odwrotną. Wtedy

$b_{ij}={{\Delta _{ji}} \over {\det A}}.$

Dowód

Wystarczy sprawdzić, że $AB=I$. Niech $C=AB$ i $C=[c_{ij}]$. Korzystając z rozwinięcia Laplace'a otrzymujemy

$\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}={1 \over {\det A}}\sum _{k=1}^{n}a_{ik}\Delta _{jk}={\det D \over \det A},$

gdzie $D$ jest macierzą powstałą z macierzy $A$ przez zastąpienie $j$-tego wiersza $i$-tym wierszem. Jeśli $i=j$, to macierz $A$ jest równa macierzy $D$. Jeśli $i\neq j$, to w macierzy $D$ są dwa takie same wiersze. A zatem $c_{ij}=\delta _{ij}$ i w konsekwencji $C=I$.

Plik:Ag8 1b.mp4 Macierz odwrotna

Plik:Ag8 1c.mp4 Macierz odwrotna do macierzy wymiaru $2$

Układy równań liniowych

Układem równań liniowych nazywamy układ równań

$\left\{{\begin{array}{lr}\ a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\.........................................\\\ a_{m1}x_{1}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m},\end{array}}\right.$      (2.1)

gdzie $x_{1},...,x_{n}$ są niewiadomymi, zaś $a_{ij}$, $b_{i}$, gdzie $i=1,...,m$; $j=1,....n$ są skalarami z pewnego ciała $\mathbb {K}$. Rozwiązaniem tego układu nazywamy każdy ciąg $(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {K} ^{n}$, który spełnia (2.1). Skalary $a_{ij}$ nazywają się współczynnikami układu równań. Skalary $b_{1},...,b_{m}$ nazywają się wyrazami wolnymi układu (2.1). Jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe zeru, układ równań (2.1) nazywa się jednorodnym. Układ taki rozważaliśmy już w Wykładzie II. W przeciwnym wypadku mówimy, że układ jest niejednorodny. Współczynniki układu (2.1) stanowią macierz $A=[a_{ij}]$ o $m$ wierszach i $n$ kolumnach. Wyrazy wolne układamy w jednokolumnową macierz

$B=\left[{\begin{array}{l}b_{1}\\\ \cdot \\\ \cdot \\\ \cdot \\\ b_{m}\end{array}}\right].$

Podobnie, niewiadome ułożymy w jednokolumnową macierz

$x=\left[{\begin{array}{l}x_{1}\\\ \cdot \\\ \cdot \\\ \cdot \\\ x_{n}\end{array}}\right].$

Układ równań (2.1) można teraz zapisać w postaci macierzowej

$Ax=b.$      (2.2)

Jeżeli w układzie równań (2.1) zastąpimy wyrazy wolne zerami, to otrzymujemy tzw. układ jednorodny skojarzony z (2.1)

$\left\{{\begin{array}{lr}\ a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}=0\\.........................................\\\ a_{m1}x_{1}+...+a_{mn}x_{n}=0\end{array}}\right.$      (2.3)

Traktując macierz $A$ jako odwzorowanie

$A:\mathbb {K} ^{n}\ni x\longrightarrow Ax\in \mathbb {K} ^{m},$      (2.4)

widzimy, że jądrem tego odwzorowania jest zbiór rozwiązań układu jednorodnego (2.3). A zatem zbiór rozwiązań układu jednorodnego jest podprzestrzenią wektorową $\mathbb {K} ^{n}$. Na podstawie twierdzenia opisującego relację wymiaru jądra i wymiaru obrazu danego odwzorowania liniowego wiemy, że wymiar tej przestrzeni jest równy $n-rkA$. Oznaczmy tę przestrzeń przez $V_{o}$. Niech teraz $x_{o}=({x_{o}}_{1},...,{x_{o}}_{n})$ będzie pewnym rozwiązaniem układu (2.1). Niech $(v_{1},...,v_{n})$ będzie dowolnym rozwiązaniem układu skojarzonego (2.3). Wtedy

$({x_{o}}_{1}+v_{1},...,{x_{o}}_{n}+v_{n})$

jest również rozwiązaniem układu (2.1).

Jeśli teraz mamy dwa rozwiązania $({x_{o}}_{1},...,{x_{o}}_{n})$, $({x}_{1},...,{x}_{n})$ układu (2.1), to ciąg $(x_{1}-{x_{o}}_{1},...,x_{n}-{x_{o}}_{n})$ jest rozwiązaniem układu (2.3). Udowodniliśmy następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.1

Jeżeli układ równań (2.1) ma rozwiązanie oraz

$x_{o}=({x_{o}}_{1},...,{x_{o}}_{n})$

jest pewnym rozwiązaniem (2.1), to zbiór wszystkich rozwiązań układu (2.1) jest równy zbiorowi

$x_{o}+V_{o}=\{x_{o}+v\ |v\in V_{o}\},$

gdzie $V_{o}$ jest zbiorem wszystkich rozwiązań układu jednorodnego (2.3). Przestrzeń $V_{o}$ jest $(n-k)$-wymiarowa, gdzie $k=rkA$.

W twierdzeniu powyższym zakłada się, że istnieje rozwiązanie układu równań (2.1). O ile układ jednorodny zawsze posiada rozwiązanie, bo, na przykład, ciąg $(0,...,0)$ jest rozwiązaniem takiego układu, o tyle układ niejednorodny niekoniecznie ma rozwiązanie. Proste kryterium rozwiązywalności układu niejednorodnego daje następujące twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Twierdzenie 2.2

Układ równań (2.1) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

${rk}A={rk}[A,b],$

gdzie $[A,b]$ jest macierzą utworzoną z macierzy $A$ przez dopisanie do niej kolumny wyrazów wolnych.

Plik:Ag8 2b.mp4

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Dowód

Oznaczmy przez $A_{1},...,A_{n}$ kolumny macierzy $A$. Układ równań (2.1) jest równoważny równaniu

$x_{1}A_{1}+...+x_{n}A_{n}=b.$      (2.5)

Załóżmy najpierw, że układ (2.5) ma rozwiązanie. A zatem $b$ jest kombinacją liniową wektorów $A_{1},...,A_{n}$. Oznacza to, że ${rk}[A,b]={rk}A$. Odwrotnie, załóżmy, że ${rk}[A,b]={rk}A$. Wtedy wektor $b$ musi być kombinacją liniową wektorów $A_{1},...,A_{n}$, a zatem istnieją skalary $x_{1},...,x_{n}$ takie, że $b=x_{1}A_{1}+...+x_{n}A_{n}$, co oznacza, że (2.5) ma rozwiązanie.

Macierz $[A,b]$, o której mówi się w powyższym twierdzeniu, nazywa się macierzą rozszerzoną układu (2.1).

Twierdzenie Kroneckera-Capellego dotyczy każdego układu równań, tzn. liczba równań i liczba niewiadomych mogą być dowolne. Kolejne twierdzenie, twierdzenie Cramera, dotyczy tylko tych układów, w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych.

Twierdzenie 2.3

Niech dany będzie układ równań

$\left\{{\begin{array}{l}\ a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\\ .......................................\\\ a_{n1}x_{1}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{array}}\right.$      (2.6)

taki, że $\det A\neq 0$. Wtedy układ (2.6) ma dokładnie jedno rozwiązanie i rozwiązanie to jest dane wzorami

$x_{i}={\det A_{(i)} \over \det A},$      (2.7)

dla $i=1,...,n$, gdzie $A_{(i)}$ jest macierzą otrzymaną z macierzy $A$ przez zastąpienie $i$-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Plik:Ag8 2c.mp4

Wzory Cramera

Dowód

Rozważmy postać macierzową układu (2.6). Mamy więc równanie macierzowe $Ax=b.$. Obłóżmy obustronnie to równanie przez $A^{-1}$. Ponieważ $\det A\neq 0$, macierz odwrotna $A^{-1}$ istnieje. Mamy więc

$x=A^{-1}b.$

Wykorzystamy teraz wzory na wyrazy macierzy odwrotnej. Oznaczmy wyrazy tej macierzy przez $c_{ij}$. A zatem $c_{ij}=(-1)^{i+j}{{\det A_{ji}} \over {\det A}}$.

Mamy następujące równości

$\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}b_{j}={1 \over {\det A}}\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\det A_{ji}b_{j}={1 \over {\det A}}\det A_{(i)}.$

Ostatnia równość wynika z rozwinięcia Laplace'a wyznacznika. W ten sposób udowodniliśmy istnienie rozwiązania, jego jedyność i wzory(2.7), które nazywają się wzorami Cramera.

Ustalmy jeszcze, jakie operacje można wykonać na układzie równań, aby otrzymać układ równoważny, tzn. taki, który ma dokładnie taki sam zbiór rozwiązań. Na pewno można równania permutować. Poza tym do danego równania można dodać kombinację liniową pozostałych równań. Każde równanie można pomnożyć przez niezerowy skalar. Wymienione operacje służą do rozwiązywania układów równań liniowych tzw. metodą Gaussa, która będzie omówiona na ćwiczeniach.