Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 6: Macierze a odwzorowania liniowe

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

W niniejszym wykładzie wszystkie rozważane przestrzenie są skończenie wymiarowe a bazy są uporządkowane.

Macierz odwzorowania liniowego

Niech dane będą przestrzenie wektorowe i nad ciałem oraz odwzorowanie liniowe .

Niech będzie bazą przestrzeni wektorowej , zaś bazą przestrzeni . Dla odwzorowania liniowego mamy


     (1.1)


dla pewnych skalarów , , . Inaczej zapisując



dla każdego .

<flashwrap>file=ag6_1a.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Macierz odwzorowania liniowego

Otrzymaliśmy więc macierz , która całkowicie opisuje odwzorowanie liniowe . Istotnie, jeśli znamy wartości odwzorowania liniowego na bazie, to znamy to odwzorowanie. Macierz tę nazywamy macierzą odwzorowania przy bazach i .

Jeśli mamy daną macierz , ustalone bazy w przestrzeniach , , to macierz ta jest macierzą odwzorowania liniowego . Odwzorowanie to jest dane formułą (1.1).

Wygodnie jest myśleć o macierzach jako o odwzorowaniach liniowych. Jeśli żadne szczególne przestrzenie nie są wyróżnione, to macierz możemy traktować jako odwzorowanie liniowe dane przepisem (1.1), gdzie jest bazą kanoniczną przestrzeni , zaś jest bazą kanoniczną przestrzeni .

Jeśli jest macierzą odwzorowania i przez oznaczymy kolumny macierzy , to każda kolumna jest ciągiem współrzędnych wektora w bazie . Oznacza to, że układ kolumn macierzy można uważać za wektory (wyrażone we współrzędnych w bazie ) . Rząd odwzorowania jest więc rzędem układu wektorów macierzy .

Mamy więc

Twierdzenie 1.1

Jeśli jest macierzą odwzorowania przy pewnych bazach przestrzeni i , to .

Niech będą dwoma odwzorowaniami liniowymi. Wiemy, że suma tych odwzorowań jest odwzorowaniem liniowym. Przy danych bazach , przestrzeni i odpowiednio, macierz odwzorowania jest sumą macierzy , gdzie jest macierzą odwzorowania a macierzą odwzorowania . A zatem dodawanie macierzy odpowiada dodawaniu odwzorowań liniowych. Podobnie mnożeniu macierzy przez skalar odpowiada mnożenie odwzorowania liniowego przez skalar.

Załóżmy teraz, że mamy trzy przestrzenie wektorowe , , . Załóżmy ponadto, że jest bazą , jest bazą i jest bazą . Niech i będą odwzorowaniami liniowymi. Oznaczmy przez



macierze odwzorowania , i odpowiednio, przy danych bazach. Zachodzą następujące równości



Z drugiej strony



Zatem



Oznacza to, że



Krótko mówiąc, mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Ponieważ składanie odwzorowań jest łączne, więc mnożenie macierzy jest łączne. Wspomnieliśmy już tę własność w poprzednim wykładzie. Teraz uzasadniliśmy jej prawdziwość.

Zauważmy także, że jeśli , to . Jeśli , to . W języku macierzy oznacza to, że oraz (jeśli występujące tu dodawania i mnożenia macierzy można wykonać). Te własności rachunku macierzy również wymieniliśmy w poprzednim wykładzie.

Macierz dualna i odwzorowanie dualne

Niech będzie bazą dualną do bazy przestrzeni i bazą dualną do bazy przestrzeni . Rozważmy odwzorowanie dualne . Chcemy znaleźć macierz przy wyróżnionych właśnie bazach dualnych. Oznaczmy poszukiwaną macierz przez , czyli



Po obydwu stronach powyższej równości mamy wektory z , czyli odwzorowania liniowe określone na i o wartościach w . Obliczymy wartość tych odwzorowań na wektorach bazy . Otrzymujemy



Z drugiej strony



A zatem , co oznacza, że macierz jest macierzą dualna do macierzy .

Macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego, jeśli w przestrzeniach dualnych wybierzemy bazy dualne.

Stąd, że dla odwzorowań liniowych zachodzi formuła , otrzymujemy analogiczną formułą dla macierzy.

Twierdzenie 2.1

Jeśli iloczyn jest wykonalny, to wykonalny jest iloczyn oraz



Udowodnimy teraz następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.2

Rząd odwzorowania dualnego do jest równy rzędowi odwzorowania .

Dowód

Wiemy, że

End of proof.gif

     (2.2)


Przyjrzyjmy się więc przestrzeni . Mamy



Weźmy bazę przestrzeni . Jeśli , to i . Twierdzenie w tym przypadku jest prawdziwe..

Jeśli , to układ rozszerzmy do bazy



przestrzeni . Przestrzeń rozpięta na wektorach jest dopełnienieniem algebraicznym do w , czyli . Zauważmy, że odwzorowanie



jest izomorfizmem. Oczywiście odwzorowanie jest liniowe. Jeśli , to i są odwzorowaniami zerowymi. A zatem, jest odwzorowaniem zerowym na całym . Odwzorowanie jest więc monomorfizmem.

Jest też epimorfizmem. Jeśli bowiem jest liniowe, to odwzorowanie liniowe zdefiniowane na bazie przestrzeni następująco: dla , dla , jest takie, że .

Ponieważ jest izomorfizmem, więc . Porównując tę równość z równością z pierwszego zdania tego dowodu otrzymujemy żądaną tezę.

Z powyższego twierdzenia i stąd, że macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego wynika następujący wniosek

Wniosek 2.3

Dla dowolnej macierzy zachodzi równość .

Przypomnijmy sobie teraz operacje dopuszczalne na macierzy (ze względu na rząd macierzy). Korzystając z równości dostajemy natychmiast kilka kolejnych operacji dopuszczalnych, tzn. nie zmieniających rzędu macierzy. Mianowicie, dodając do danego wiersza macierzy kombinację liniową pozostałych wierszy tej macierzy, nie zmieniamy jej rzędu. Mnożąc dowolny wiersz przez niezerowy skalar nie zmieniamy rzędu macierzy. I wreszczcie, permutując wiersze macierzy nie zmieniamy jej rzędu.

Tak jak w dowodzie twierdzenia o istnieniu bazy z Wykładu 2. możemy stwierdzić, że rząd skończonego układu wektorów jest równy maksymalnej liczbie wektorów liniowo niezależnych, które można wybrać z danego układu wektorów.

A zatem mamy następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.4 [Rząd macierzy]

Niech .

  1. Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie kolumn liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy .
  2. Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie wierszy liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy .

Macierz odwrotna, ogólna grupa liniowa

Załóżmy teraz, że i jest endomorfizmem. Wybieramy jedną bazę, tzn. bazę przestrzeni , i definiujemy macierz kwadratową formułą


     (3.3)


Ponieważ mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań, więc odwracalność macierzy jest równoważna izomorficzności odwzorowania . Ponadto macierz odwrotna do macierzy jest macierzą odwzorowania odwrotnego .

Ogólną grupę liniową możemy traktować jako grupę wszystkich izomorfizmów liniowych , z działaniem będącym składaniem odwzorowań. Pamiętamy, że grupa ta dla jest nieprzemienna. Zauważyliśmy już, że macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą izomorfizmu. Odwzorowanie liniowe jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy . Oznacza to, że prawdziwe jest następujące twierdzenie

Twierdzenie 3.1

Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy .

Macierz przejścia

Niech będzie bazą przestrzeni i niech będzie inną bazą tej samej przestrzeni. Istnieją jednoznacznie określone skalary , , takie, że


     (4.4)


dla . Macierz nazywa się macierzą przejścia od bazy do bazy . Macierz przejścia jest macierzą izomorfizmu przestrzeni , który przekształca bazę na bazę i macierz ta jest utworzona przy bazie . W szczególności, macierz przejścia jest macierzą odwracalną.

Zamieńmy rolami dane bazy. Istnieją jednoznacznie wyznaczone skalary , , takie, że



Macierz oznaczmy przez .

Otrzymujemy więc następujące równości



dla każdego . Oznacza to, że i, w konsekwencji, macierze i są wzajemnie odwrotne.

Niech teraz będzie odwzorowaniem liniowym. Niech będzie macierzą tego odwzorowania przy bazie i będzie macierzą tego samego odwzorowania przy bazie . Chcemy ustalić związek między macierzami i .

Mamy następujące równości



Z drugiej strony



Otrzymaliśmy równość . A zatem udowodniliśmy następujące twierdzenie

Twierdzenie 4.1

Jeżeli jest macierzą endomorfizmu przy bazie i jest macierzą tego samego endomorfizmu przy bazie , to



gdzie jest macierzą przejścia od bazy do bazy .