Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 6: Macierze a odwzorowania liniowe

W niniejszym wykładzie wszystkie rozważane przestrzenie są skończenie wymiarowe a bazy są uporządkowane.

Macierz odwzorowania liniowego

Niech dane będą przestrzenie wektorowe $V$ i $W$ nad ciałem $\mathbb {K}$ oraz odwzorowanie liniowe $f:V\longrightarrow W$.

Niech $e_{1},...,e_{n}$ będzie bazą przestrzeni wektorowej $V$, zaś $e'_{1},...,e'_{m}$ bazą przestrzeni $W$. Dla odwzorowania liniowego $f$ mamy

${\begin{array}{rcl}&&f(e_{1})=a_{11}e'_{1}+...+a_{m1}e'_{m},\\&&\ \ \ .\\&&\ \ \ .\\&&\ \ \ .\\&&f(e_{n})=a_{1n}e'_{1}+...+a_{mn}e'_{m}.\end{array}}$      (1.1)

dla pewnych skalarów $a_{ij}$, $i=1,...,m$, $j=1,...,n$. Inaczej zapisując

$f(e_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e'_{i}$

dla każdego $j=1,...,n$.

Otrzymaliśmy więc macierz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tiny”): {\displaystyle A=[a_{ij}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le i\le m\\ 1\le j\le n \end{array} }} , która całkowicie opisuje odwzorowanie liniowe $f$. Istotnie, jeśli znamy wartości odwzorowania liniowego na bazie, to znamy to odwzorowanie. Macierz tę nazywamy macierzą odwzorowania $f$ przy bazach $e_{1},...,e_{n}$ i $e'_{1},...,e'_{m}$.

Jeśli mamy daną macierz $A$, ustalone bazy w przestrzeniach $V$, $W$, to macierz ta jest macierzą odwzorowania liniowego $f:V\longrightarrow W$. Odwzorowanie to jest dane formułą (1.1).

Wygodnie jest myśleć o macierzach jako o odwzorowaniach liniowych. Jeśli żadne szczególne przestrzenie nie są wyróżnione, to macierz $A=A_{m\times n}$ możemy traktować jako odwzorowanie liniowe $f:\mathbb {K} ^{n}\longrightarrow \mathbb {K} ^{m}$ dane przepisem (1.1), gdzie $e_{1},...,e_{n}$ jest bazą kanoniczną przestrzeni $\mathbb {K} ^{n}$, zaś $e'_{1},...,e'_{m}$ jest bazą kanoniczną przestrzeni $\mathbb {K} ^{m}$.

Jeśli $A$ jest macierzą odwzorowania $f:V\longrightarrow W$ i przez $A_{1},...,A_{n}$ oznaczymy kolumny macierzy $A$, to każda kolumna $A_{j}$ jest ciągiem współrzędnych wektora $f(e_{j})$ w bazie $e'_{1},...,e'_{m}$. Oznacza to, że układ kolumn macierzy $A$ można uważać za wektory (wyrażone we współrzędnych w bazie $e_{1},...,e_{n}$) $f(e_{1}),...,f(e_{n})$. Rząd odwzorowania $f$ jest więc rzędem układu wektorów $A_{1},...,A_{n}$ macierzy $A$.

Mamy więc

Twierdzenie 1.1

Jeśli $A$ jest macierzą odwzorowania $f:V\longrightarrow W$ przy pewnych bazach przestrzeni $V$ i $W$, to Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk A=\rk f} .

Niech $f,h:V\longrightarrow W$ będą dwoma odwzorowaniami liniowymi. Wiemy, że suma tych odwzorowań jest odwzorowaniem liniowym. Przy danych bazach $e_{1},...,e_{n}$, $e'_{1},...,e'_{m}$ przestrzeni $V$ i $W$ odpowiednio, macierz odwzorowania $f+h$ jest sumą macierzy $A_{f}+A_{h}$, gdzie $A_{f}$ jest macierzą odwzorowania $f$ a $A_{h}$ macierzą odwzorowania $h$. A zatem dodawanie macierzy odpowiada dodawaniu odwzorowań liniowych. Podobnie mnożeniu macierzy przez skalar odpowiada mnożenie odwzorowania liniowego przez skalar.

Załóżmy teraz, że mamy trzy przestrzenie wektorowe $V$, $W$, $U$. Załóżmy ponadto, że $e_{1},...,e_{n}$ jest bazą $V$, $e'_{1},...,e'_{k}$ jest bazą $W$ i $e''_{1},...,e''_{m}$ jest bazą $U$. Niech $f:V\longrightarrow W$ i $h:W\longrightarrow U$ będą odwzorowaniami liniowymi. Oznaczmy przez

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tiny”): {\displaystyle A= [a_{lj}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le l\le k\\ 1\le j\le n \end{array} },\ \ \ B= [b_{il}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le i\le m\\ 1\le l\le k \end{array} }, \ \ \ \ C= [c_{ij}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le i\le m\\ 1\le j\le n \end{array} },}

macierze odwzorowania $f$, $h$ i $h\circ f$ odpowiednio, przy danych bazach. Zachodzą następujące równości

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f(e_j)=\sum _{l=1}^k a_{lj}e'_l,\ \ \ \ h(e'_l)=\sum _{i=1}^m b_{il}e''_i,\ \ \ \ \ (h\circ f)(e_j)= \sum _{i=1}^m c_{ij}e''_i.}

Z drugiej strony

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned(h \circ f)(e_j)= h(f(e_j))&=&h(\sum _{l=1}^k a_{lj}e'_l)=\sum _{l=1}^k a_{lj}h(e'_l) \\ &=&\sum _{l=1}^k a_{lj}\left(\sum _{i=1}^m b_{il}e''_i\right)\\ &=&\sum _{i=1}^m \left(\sum _{l=1}^kb_{il}a_{lj}\right )e''_i . \endaligned}

Zatem

$c_{ij}=\sum _{l=1}^{k}b_{il}a_{lj}.$

Oznacza to, że

$C=BA.$

Krótko mówiąc, mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Ponieważ składanie odwzorowań jest łączne, więc mnożenie macierzy jest łączne. Wspomnieliśmy już tę własność w poprzednim wykładzie. Teraz uzasadniliśmy jej prawdziwość.

Zauważmy także, że jeśli $h_{1},h_{2}:W\longrightarrow U$, to $(h_{1}+h_{2})\circ f=h_{1}\circ f+h_{2}\circ f$. Jeśli $f_{1},f_{2}:V\longrightarrow W$, to $h\circ (f_{1}+f_{2})=h\circ f_{1}+h\circ f_{2}$. W języku macierzy oznacza to, że $(B_{1}+B_{2})A=B_{1}A+B_{2}A$ oraz $B(A_{1}+A_{2})=BA_{1}+BA_{2}$ (jeśli występujące tu dodawania i mnożenia macierzy można wykonać). Te własności rachunku macierzy również wymieniliśmy w poprzednim wykładzie.

Macierz dualna i odwzorowanie dualne

Niech $e_{1}^{*},...,e_{n}^{*}$ będzie bazą dualną do bazy $e_{1},...,e_{n}$ przestrzeni $V$ i Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify”): {\displaystyle e'_{1}^{*},...,e'_{m}^{*}} bazą dualną do bazy $e'_{1},...,e'_{m}$ przestrzeni $W$. Rozważmy odwzorowanie dualne $f^{*}:W^{*}\longrightarrow V^{*}$. Chcemy znaleźć macierz $f^{*}$ przy wyróżnionych właśnie bazach dualnych. Oznaczmy poszukiwaną macierz przez Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tiny”): {\displaystyle B=[b_{ji}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le j\le n\\ 1\le i\le m \end{array} }} , czyli

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify”): {\displaystyle f^{*}(e'_{i}^{*})=\sum _{j=1}^{n}b_{ji}e_{j}^{*}.}

Po obydwu stronach powyższej równości mamy wektory z $V^{*}$, czyli odwzorowania liniowe określone na $V$ i o wartościach w $\mathbb {K}$. Obliczymy wartość tych odwzorowań na wektorach bazy $e_{1},...,e_{n}$. Otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned\left( f^*(e'^*_i)\right)(e_s)&=&\left((e'^*_i)\circ f\right)(e_s) =e'^*_i\left(\sum _{l=1}^m a_{ls}e'_l\right) \\ &=&\sum _{l=1}^m a_{ls}\left(e'^*_i(e'_l) \right)\\ &=&\sum _{l=1}^m a_{ls}\delta _{il} =a_{is}. \endaligned}

Z drugiej strony

$\left(\sum _{j=1}^{n}b_{ji}e_{j}^{*}\right)(e_{s})=\sum _{j=1}^{n}b_{ji}(e_{j}^{*}(e_{s}))=\sum _{j=1}^{n}b_{ji}\delta _{js}=b_{si}.$

A zatem $a_{is}=b_{si}$, co oznacza, że macierz $B$ jest macierzą dualna do macierzy $A$.

Macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego, jeśli w przestrzeniach dualnych wybierzemy bazy dualne.

Udowodnimy teraz następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.1

Rząd odwzorowania dualnego do $f$ jest równy rzędowi odwzorowania $f$.

Dowód

Wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk f^*=\dim W^*-\dim\ker f^*=\dim W-\dim\ker f^*. }      (2.2)

Przyjrzyjmy się więc przestrzeni $\ker f^{*}$. Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \ker f^*=\{\beta \in W^*|\ \beta\circ f=0\}=\{\beta \in W^*|\ \beta _{|\im f}=0\}.}

Weźmy bazę $w_{1},...,w_{k}$ przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\im”): {\displaystyle \im f} . Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\im”): {\displaystyle \im f= W} , to Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk f=\dim W} i $\ker f^{*}=\{0\}$. Twierdzenie w tym przypadku jest prawdziwe..

Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\im”): {\displaystyle \im f\ne W} , to układ $w_{1},...,w_{k}$ rozszerzmy do bazy

$w_{1},...,w_{k},w_{k+1},...,w_{m}$

przestrzeni $W$. Przestrzeń $U$ rozpięta na wektorach $w_{k+1},...,w_{m}$ jest dopełnienieniem algebraicznym do Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\im”): {\displaystyle \im f} w $W$, czyli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\im”): {\displaystyle W=U\oplus\im f} . Zauważmy, że odwzorowanie

$\phi :\ker f^{*}\ni \beta \longrightarrow \beta _{|U}\in U^{*}$

jest izomorfizmem. Oczywiście odwzorowanie $\phi$ jest liniowe. Jeśli $\phi (\beta )=0$, to $\beta _{|U}$ i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\im”): {\displaystyle \beta _{|\im f} } są odwzorowaniami zerowymi. A zatem, $\beta$ jest odwzorowaniem zerowym na całym $W$. Odwzorowanie $\phi$ jest więc monomorfizmem.

Jest też epimorfizmem. Jeśli bowiem $\gamma :U\longrightarrow \mathbb {K}$ jest liniowe, to odwzorowanie liniowe $\beta :W\longrightarrow \mathbb {K}$ zdefiniowane na bazie przestrzeni $W$ następująco: $\beta (w_{i})=0$ dla $i=1,...,k$,$\beta (w_{i})=\gamma (w_{i})$ dla $i=k+1,...,m$, jest takie, że $\phi (\beta )=\gamma$.

Ponieważ $\phi$ jest izomorfizmem, więc Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \dim\ker f^* = \dim U ^* =\dim U =m-k =\dim W-\rk f} . Porównując tę równość z równością z pierwszego zdania tego dowodu otrzymujemy żądaną tezę.

Z powyższego twierdzenia i stąd, że macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego wynika następujący wniosek

Wniosek 2.2

Dla dowolnej macierzy $A$ zachodzi równość Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk A=\rk A^*} .

Przypomnijmy sobie teraz operacje dopuszczalne na macierzy (ze względu na rząd macierzy). Korzystając z równości Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk A=\rk A^*} dostajemy natychmiast kilka kolejnych operacji dopuszczalnych, tzn. nie zmieniających rzędu macierzy. Mianowicie, dodając do danego wiersza macierzy $A$ kombinację liniową pozostałych wierszy tej macierzy, nie zmieniamy jej rzędu. Mnożąc dowolny wiersz przez niezerowy skalar nie zmieniamy rzędu macierzy. I wreszczcie, permutując wiersze macierzy nie zmieniamy jej rzędu.

Tak jak w dowodzie twierdzenia o istnieniu bazy z Wykładu 2. możemy stwierdzić, że rząd skończonego układu wektorów jest równy maksymalnej liczbie wektorów liniowo niezależnych, które można wybrać z danego układu wektorów.

A zatem mamy następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.3 [Rząd macierzy]

Niech $A\in M(m,n;\mathbb {K} )$.

1. Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie kolumn liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy $A$.

1. Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie wierszy liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy $A$.

Macierz odwrotna, ogólna grupa liniowa

Załóżmy teraz, że $V=W$ i $f:V\longrightarrow V$ jest endomorfizmem. Wybieramy jedną bazę, tzn. bazę $e_{1},...,e_{n}$ przestrzeni $V$, i definiujemy macierz kwadratową Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\small”): {\displaystyle A=[a_{ij}]_ {\small 1\le i,j\le n}} formułą

${\begin{array}{rcl}&&f(e_{1})=a_{11}e_{1}+...+a_{n1}e_{n},\\&&\ \ \ .\\&&\ \ \ .\\&&\ \ \ .\\&&f(e_{n})=a_{1n}e_{1}+...+a_{nn}e_{n}.\end{array}}$      (3.3)

Ponieważ mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań, więc odwracalność macierzy $A$ jest równoważna izomorficzności odwzorowania $f$. Ponadto macierz odwrotna $A^{-1}$ do macierzy $A$ jest macierzą odwzorowania odwrotnego $f^{-1}$.

Ogólną grupę liniową $GL(n;\mathbb {K} )$ możemy traktować jako grupę wszystkich izomorfizmów liniowych $f:\mathbb {K} ^{n}\longrightarrow \mathbb {K} ^{n}$, z działaniem będącym składaniem odwzorowań. Pamiętamy, że grupa ta dla $n>1$ jest nieprzemienna. Zauważyliśmy już, że macierz kwadratowa $A$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą izomorfizmu. Odwzorowanie liniowe $f:\mathbb {K} ^{n}\longrightarrow \mathbb {K} ^{n}$ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk f=n} . Oznacza to, że prawdziwe jest następujące twierdzenie

Twierdzenie 3.1

Macierz kwadratowa $A=A_{n\times n}$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk A=n} .

Macierz przejścia

Niech $e_{1},...,e_{n}$ będzie bazą przestrzeni $V$ i niech $e'_{1},...,e'_{n}$ będzie inną bazą tej samej przestrzeni. Istnieją jednoznacznie określone skalary $p_{ij}$, $1\leq i,j\leq n$, takie, że

$e'_{j}=\sum _{i=1}^{n}p_{ij}e_{i},$      (4.4)

dla $j=1,...n$. Macierz $P=[p_{ij}]_{1\leq i,j\leq }$ nazywa się macierzą przejścia od bazy $e_{1},...,e_{n}$ do bazy $e'_{1},...,e'_{n}$. Macierz przejścia jest macierzą izomorfizmu przestrzeni $V$, który przekształca bazę $e_{1},...,e_{n}$ na bazę $e'_{1},...,e'_{n}$ i macierz ta jest utworzona przy bazie $e_{1},...,e_{n}$. W szczególności, macierz przejścia jest macierzą odwracalną.

Zamieńmy rolami dane bazy. Istnieją jednoznacznie wyznaczone skalary $q_{ij}$, $1\leq i,j\leq n$, takie, że

$e_{i}=\sum _{j=1}^{n}q_{ji}e'_{j}.$

Macierz $[q_{ij}]$ oznaczmy przez $Q$.

Otrzymujemy więc następujące równości

$e_{i}=\sum _{j=1}^{n}q_{ji}e'_{j}=\sum _{j=1}^{n}q_{ji}\sum _{l=1}^{n}p_{lj}e_{l}=\sum _{l=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}p_{lj}q_{ji}\right)e_{l}$

dla każdego $i=1,...,n$. Oznacza to, że $\sum _{j=1}^{n}p_{lj}q_{ji}=\delta _{li}$ i, w konsekwencji, macierze $P$ i $Q$ są wzajemnie odwrotne.

Niech teraz $f:V\longrightarrow V$ będzie odwzorowaniem liniowym. Niech $A$ będzie macierzą tego odwzorowania przy bazie $e_{1},...,e_{n}$ i $B$ będzie macierzą tego samego odwzorowania $f$ przy bazie $e'_{1},...,e'_{n}$. Chcemy ustalić związek między macierzami $A$ i $B$.

Mamy następujące równości

$f(e'_{i})=\sum _{j=1}^{n}b_{ji}e'_{j}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}p_{lj}b_{ji}e_{l}=\sum _{l=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}p_{lj}b_{ji}\right)e_{l}.$

Z drugiej strony

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned f(e'_i ) = f\left (\sum _{j=1} ^n p_{ji}e_j\right )= \sum _{j=1} ^np_{ji} f(e_j)&=& \sum _{j=1} ^n p_{ji}\left (\sum _{l=1}^n a_{lj} e_l \right )\\&=& \sum _{j=1}^n\sum _{l=1}^n a_{lj} p_{ji}e_l =\sum _{l=1}^n\left (\sum _{j=1}^n a_{lj} p_{ji}\right )e_l. \endaligned}

Otrzymaliśmy równość $AP=PB$. A zatem udowodniliśmy następujące twierdzenie

Twierdzenie 4.1

Jeżeli $A$ jest macierzą endomorfizmu $f$ przy bazie $e_{1},...,e_{n}$ i $B$ jest macierzą tego samego endomorfizmu przy bazie $e'_{1},...,e'_{n}$, to

$B=P^{-1}AP,$

gdzie $P$ jest macierzą przejścia od bazy $e_{1},...,e_{n}$ do bazy $e'_{1},...,e'_{n}$.