Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 6: Macierze a odwzorowania liniowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
Linia 197: Linia 197:
  
 
A zatem mamy następujące twierdzenie
 
A zatem mamy następujące twierdzenie
 +
 +
{{twierdzenie|2.3 [Rząd macierzy]||
 +
Niech <math>A\in M(m,n;\mathbb K)</math>.
 +
 +
# Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie kolumn liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy <math>A</math>.
 +
 +
# Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie wierszy liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy <math>A</math>.
 +
 +
}}
 +
 +
==Macierz odwrotna, ogólna grupa liniowa==
 +
 +
Załóżmy  teraz, że <math>V=W</math> i <math>f:V\longrightarrow V</math> jest
 +
endomorfizmem. Wybieramy jedną bazę, tzn. bazę <math>e_1,...,e_n</math> przestrzeni <math>V</math>, i definiujemy macierz kwadratową <math>A=[a_{ij}]_ {\small  1\le i,j\le n}</math> formułą
 +
 +
 +
{{wzor|wzor_mackw|3.3|
 +
<math>
 +
\begin{array} {rcl}
 +
&&f(e_1) =a_{11}e_1+... +a_{n1}e_n,\\
 +
&&\ \ \ .\\
 +
&&\ \ \ .\\
 +
&&\ \ \ .\\
 +
&&f(e_n)= a_{1n}e_1+...+a_{nn}e_n.
 +
\end{array}
 +
</math>}}
 +
 +
 +
Ponieważ mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań, więc odwracalność macierzy <math>A</math> jest równoważna izomorficzności odwzorowania <math>f</math>. Ponadto macierz odwrotna <math>A^{-1}</math> do macierzy <math>A</math> jest macierzą odwzorowania odwrotnego <math>f^{-1}</math>.
 +
 +
Ogólną grupę liniową <math>GL(n;\mathbb K)</math> możemy traktować jako grupę wszystkich izomorfizmów liniowych <math>f:\mathbb K^n\longrightarrow\mathbb K^n</math>, z działaniem będącym  składaniem odwzorowań. Pamiętamy, że grupa ta
 +
dla <math>n>1</math> jest nieprzemienna. Zauważyliśmy już, że macierz kwadratowa <math>A</math> jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą izomorfizmu. Odwzorowanie liniowe <math>f:\mathbb K ^n\longrightarrow \mathbb K^n</math> jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\rk f=n</math>. Oznacza to, że prawdziwe jest następujące twierdzenie
 +
 +
{{twierdzenie|3.1 ||
 +
Macierz kwadratowa <math>A=A_{n\times n}</math> jest odwracalna wtedy i tylko
 +
wtedy, gdy <math>\rk A=n</math>.
 +
}}
 +
 +
==Macierz przejścia==
 +
 +
Niech <math>e_1,...,e_n</math> będzie bazą przestrzeni <math>V</math> i niech <math>e'_1,..., e'_n</math> będzie inną bazą  tej samej przestrzeni. Istnieją
 +
jednoznacznie określone skalary <math>p_{ij}</math>, <math>1\le i,j\le n</math>, takie, że
 +
 +
 +
{{wzor|wzor_4.4|4.4|
 +
<math>
 +
e'_j=\sum _{i=1}^n p_{ij}e_i,
 +
</math>}}
 +
 +
 +
dla <math>j=1,...n</math>. Macierz <math>P=[p_{ij}]_{1\le i, j\le }</math> nazywa się macierzą przejścia  od bazy <math>e_1,...,e_n</math> do bazy <math>e'_1,...,e'_n</math>. Macierz przejścia jest macierzą izomorfizmu przestrzeni <math>V</math>, który przekształca bazę <math>e_1,...,e_n</math> na bazę <math>e'_1,...,e'_n</math> i macierz ta jest utworzona przy bazie <math>e_1,...,e_n</math>. W szczególności, macierz przejścia jest macierzą odwracalną.
 +
 +
Zamieńmy rolami dane bazy. Istnieją jednoznacznie wyznaczone skalary <math>q_{ij}</math>, <math>1\le i,j\le n</math>, takie, że
 +
 +
 +
<center><math>e_i=\sum _{j=1}^n q_{ji}e'_j.</math></center>
 +
 +
 +
Macierz <math>[q_{ij}]</math> oznaczmy przez <math>Q</math>.
 +
 +
Otrzymujemy więc następujące równości
 +
 +
 +
<center><math>e_i=\sum _{j=1}^n q_{ji}e'_j=\sum _{j=1} ^n q_{ji}\sum _{l=1}^n
 +
p_{lj}e_l=\sum _{l=1}^n \left ( \sum _{j=1}^n p_{lj}q_{ji}\right )e_l</math></center>
 +
 +
 +
dla każdego <math>i=1,...,n</math>. Oznacza to, że <math>\sum _{j=1}^n
 +
p_{lj}q_{ji}=\delta _{li}</math> i, w konsekwencji, macierze <math>P</math> i <math>Q</math> są wzajemnie odwrotne.
 +
 +
Niech teraz <math>f:V\longrightarrow V</math> będzie odwzorowaniem liniowym. Niech <math>A</math> będzie macierzą tego odwzorowania przy bazie <math>e_1,...,e_n</math> i <math>B</math> będzie macierzą tego samego odwzorowania <math>f</math> przy bazie <math>e'_1,...,e'_n</math>. Chcemy ustalić związek między macierzami <math>A</math> i <math>B</math>.
 +
 +
Mamy następujące równości
 +
 +
 +
<center><math>f(e'_i)=\sum _{j=1}^n b_{ji}e'_j = \sum _{j=1}^n\sum _{l=1}^n p_{lj}b_{ji}e_l=\sum _{l=1}^n \left (\sum _{j=1}^n p_{lj}b_{ji}\right ) e_l.</math></center>
 +
 +
 +
Z drugiej strony
 +
 +
 +
<center><math>\aligned f(e'_i ) = f\left (\sum _{j=1} ^n p_{ji}e_j\right )= \sum _{j=1} ^np_{ji} f(e_j)&=& \sum _{j=1} ^n p_{ji}\left (\sum _{l=1}^n
 +
a_{lj} e_l \right )\\&=& \sum _{j=1}^n\sum _{l=1}^n a_{lj} p_{ji}e_l =\sum _{l=1}^n\left (\sum _{j=1}^n a_{lj} p_{ji}\right )e_l.
 +
\endaligned</math></center>
 +
 +
 +
Otrzymaliśmy równość <math>AP=PB</math>. A zatem udowodniliśmy następujące twierdzenie
 +
 +
{{twierdzenie|4.1||
 +
Jeżeli <math>A</math> jest macierzą endomorfizmu <math>f</math> przy bazie <math>e_1,..., e_n</math> i <math>B</math> jest macierzą tego samego endomorfizmu przy bazie <math>e'_1,..., e'_n</math>, to
 +
 +
 +
<center><math>B=P^{-1}AP,</math></center>
 +
 +
 +
gdzie <math>P</math> jest macierzą przejścia od  bazy <math>e_1,...,e_n</math> do bazy <math>e'_1,...,e'_n</math>.
 +
}}

Wersja z 11:17, 9 sie 2006

W niniejszym wykładzie wszystkie rozważane przestrzenie są skończenie wymiarowe a bazy są uporządkowane.

Macierz odwzorowania liniowego

Niech dane będą przestrzenie wektorowe i nad ciałem oraz odwzorowanie liniowe .

Niech będzie bazą przestrzeni wektorowej , zaś bazą przestrzeni . Dla odwzorowania liniowego mamy


     (1.1)


dla pewnych skalarów , , . Inaczej zapisując



dla każdego .

Otrzymaliśmy więc macierz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tiny”): {\displaystyle A=[a_{ij}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le i\le m\\ 1\le j\le n \end{array} }} , która całkowicie opisuje odwzorowanie liniowe . Istotnie, jeśli znamy wartości odwzorowania liniowego na bazie, to znamy to odwzorowanie. Macierz tę nazywamy macierzą odwzorowania przy bazach i .

Jeśli mamy daną macierz , ustalone bazy w przestrzeniach , , to macierz ta jest macierzą odwzorowania liniowego . Odwzorowanie to jest dane formułą (1.1).

Wygodnie jest myśleć o macierzach jako o odwzorowaniach liniowych. Jeśli żadne szczególne przestrzenie nie są wyróżnione, to macierz możemy traktować jako odwzorowanie liniowe dane przepisem (1.1), gdzie jest bazą kanoniczną przestrzeni , zaś jest bazą kanoniczną przestrzeni .

Jeśli jest macierzą odwzorowania i przez oznaczymy kolumny macierzy , to każda kolumna jest ciągiem współrzędnych wektora w bazie . Oznacza to, że układ kolumn macierzy można uważać za wektory (wyrażone we współrzędnych w bazie ) . Rząd odwzorowania jest więc rzędem układu wektorów macierzy .

Mamy więc

Twierdzenie 1.1

Jeśli jest macierzą odwzorowania przy pewnych bazach przestrzeni i , to Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk A=\rk f} .

Niech będą dwoma odwzorowaniami liniowymi. Wiemy, że suma tych odwzorowań jest odwzorowaniem liniowym. Przy danych bazach , przestrzeni i odpowiednio, macierz odwzorowania jest sumą macierzy , gdzie jest macierzą odwzorowania a macierzą odwzorowania . A zatem dodawanie macierzy odpowiada dodawaniu odwzorowań liniowych. Podobnie mnożeniu macierzy przez skalar odpowiada mnożenie odwzorowania liniowego przez skalar.

Załóżmy teraz, że mamy trzy przestrzenie wektorowe , , . Załóżmy ponadto, że jest bazą , jest bazą i jest bazą . Niech i będą odwzorowaniami liniowymi. Oznaczmy przez


Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tiny”): {\displaystyle A= [a_{lj}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le l\le k\\ 1\le j\le n \end{array} },\ \ \ B= [b_{il}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le i\le m\\ 1\le l\le k \end{array} }, \ \ \ \ C= [c_{ij}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le i\le m\\ 1\le j\le n \end{array} },}


macierze odwzorowania , i odpowiednio, przy danych bazach. Zachodzą następujące równości


Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f(e_j)=\sum _{l=1}^k a_{lj}e'_l,\ \ \ \ h(e'_l)=\sum _{i=1}^m b_{il}e''_i,\ \ \ \ \ (h\circ f)(e_j)= \sum _{i=1}^m c_{ij}e''_i.}


Z drugiej strony


Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned(h \circ f)(e_j)= h(f(e_j))&=&h(\sum _{l=1}^k a_{lj}e'_l)=\sum _{l=1}^k a_{lj}h(e'_l) \\ &=&\sum _{l=1}^k a_{lj}\left(\sum _{i=1}^m b_{il}e''_i\right)\\ &=&\sum _{i=1}^m \left(\sum _{l=1}^kb_{il}a_{lj}\right )e''_i . \endaligned}


Zatem



Oznacza to, że



Krótko mówiąc, mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Ponieważ składanie odwzorowań jest łączne, więc mnożenie macierzy jest łączne. Wspomnieliśmy już tę własność w poprzednim wykładzie. Teraz uzasadniliśmy jej prawdziwość.

Zauważmy także, że jeśli , to . Jeśli , to . W języku macierzy oznacza to, że oraz (jeśli występujące tu dodawania i mnożenia macierzy można wykonać). Te własności rachunku macierzy również wymieniliśmy w poprzednim wykładzie.

Macierz dualna i odwzorowanie dualne

Niech będzie bazą dualną do bazy przestrzeni i Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify”): {\displaystyle e'_{1}^{*},...,e'_{m}^{*}} bazą dualną do bazy przestrzeni . Rozważmy odwzorowanie dualne . Chcemy znaleźć macierz przy wyróżnionych właśnie bazach dualnych. Oznaczmy poszukiwaną macierz przez Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tiny”): {\displaystyle B=[b_{ji}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le j\le n\\ 1\le i\le m \end{array} }} , czyli


Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify”): {\displaystyle f^{*}(e'_{i}^{*})=\sum _{j=1}^{n}b_{ji}e_{j}^{*}.}


Po obydwu stronach powyższej równości mamy wektory z , czyli odwzorowania liniowe określone na i o wartościach w . Obliczymy wartość tych odwzorowań na wektorach bazy . Otrzymujemy


Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned\left( f^*(e'^*_i)\right)(e_s)&=&\left((e'^*_i)\circ f\right)(e_s) =e'^*_i\left(\sum _{l=1}^m a_{ls}e'_l\right) \\ &=&\sum _{l=1}^m a_{ls}\left(e'^*_i(e'_l) \right)\\ &=&\sum _{l=1}^m a_{ls}\delta _{il} =a_{is}. \endaligned}


Z drugiej strony



A zatem , co oznacza, że macierz jest macierzą dualna do macierzy .

Macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego, jeśli w przestrzeniach dualnych wybierzemy bazy dualne.

Udowodnimy teraz następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.1

Rząd odwzorowania dualnego do jest równy rzędowi odwzorowania .

Dowód

Wiemy, że

End of proof.gif

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk f^*=\dim W^*-\dim\ker f^*=\dim W-\dim\ker f^*. }      (2.2)


Przyjrzyjmy się więc przestrzeni . Mamy


Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \ker f^*=\{\beta \in W^*|\ \beta\circ f=0\}=\{\beta \in W^*|\ \beta _{|\im f}=0\}.}


Weźmy bazę przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\im”): {\displaystyle \im f} . Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\im”): {\displaystyle \im f= W} , to Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk f=\dim W} i . Twierdzenie w tym przypadku jest prawdziwe..

Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\im”): {\displaystyle \im f\ne W} , to układ rozszerzmy do bazy



przestrzeni . Przestrzeń rozpięta na wektorach jest dopełnienieniem algebraicznym do Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\im”): {\displaystyle \im f} w , czyli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\im”): {\displaystyle W=U\oplus\im f} . Zauważmy, że odwzorowanie



jest izomorfizmem. Oczywiście odwzorowanie jest liniowe. Jeśli , to i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\im”): {\displaystyle \beta _{|\im f} } są odwzorowaniami zerowymi. A zatem, jest odwzorowaniem zerowym na całym . Odwzorowanie jest więc monomorfizmem.

Jest też epimorfizmem. Jeśli bowiem jest liniowe, to odwzorowanie liniowe zdefiniowane na bazie przestrzeni następująco: dla , dla , jest takie, że .

Ponieważ jest izomorfizmem, więc Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \dim\ker f^* = \dim U ^* =\dim U =m-k =\dim W-\rk f} . Porównując tę równość z równością z pierwszego zdania tego dowodu otrzymujemy żądaną tezę.

Z powyższego twierdzenia i stąd, że macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego wynika następujący wniosek

Wniosek 2.2

Dla dowolnej macierzy zachodzi równość Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk A=\rk A^*} .

Przypomnijmy sobie teraz operacje dopuszczalne na macierzy (ze względu na rząd macierzy). Korzystając z równości Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk A=\rk A^*} dostajemy natychmiast kilka kolejnych operacji dopuszczalnych, tzn. nie zmieniających rzędu macierzy. Mianowicie, dodając do danego wiersza macierzy kombinację liniową pozostałych wierszy tej macierzy, nie zmieniamy jej rzędu. Mnożąc dowolny wiersz przez niezerowy skalar nie zmieniamy rzędu macierzy. I wreszczcie, permutując wiersze macierzy nie zmieniamy jej rzędu.

Tak jak w dowodzie twierdzenia o istnieniu bazy z Wykładu 2. możemy stwierdzić, że rząd skończonego układu wektorów jest równy maksymalnej liczbie wektorów liniowo niezależnych, które można wybrać z danego układu wektorów.

A zatem mamy następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.3 [Rząd macierzy]

Niech .

  1. Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie kolumn liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy .
  1. Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie wierszy liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy .

Macierz odwrotna, ogólna grupa liniowa

Załóżmy teraz, że i jest endomorfizmem. Wybieramy jedną bazę, tzn. bazę przestrzeni , i definiujemy macierz kwadratową Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\small”): {\displaystyle A=[a_{ij}]_ {\small 1\le i,j\le n}} formułą


     (3.3)


Ponieważ mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań, więc odwracalność macierzy jest równoważna izomorficzności odwzorowania . Ponadto macierz odwrotna do macierzy jest macierzą odwzorowania odwrotnego .

Ogólną grupę liniową możemy traktować jako grupę wszystkich izomorfizmów liniowych , z działaniem będącym składaniem odwzorowań. Pamiętamy, że grupa ta dla jest nieprzemienna. Zauważyliśmy już, że macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą izomorfizmu. Odwzorowanie liniowe jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk f=n} . Oznacza to, że prawdziwe jest następujące twierdzenie

Twierdzenie 3.1

Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rk”): {\displaystyle \rk A=n} .

Macierz przejścia

Niech będzie bazą przestrzeni i niech będzie inną bazą tej samej przestrzeni. Istnieją jednoznacznie określone skalary , , takie, że


     (4.4)


dla . Macierz nazywa się macierzą przejścia od bazy do bazy . Macierz przejścia jest macierzą izomorfizmu przestrzeni , który przekształca bazę na bazę i macierz ta jest utworzona przy bazie . W szczególności, macierz przejścia jest macierzą odwracalną.

Zamieńmy rolami dane bazy. Istnieją jednoznacznie wyznaczone skalary , , takie, że



Macierz oznaczmy przez .

Otrzymujemy więc następujące równości



dla każdego . Oznacza to, że i, w konsekwencji, macierze i są wzajemnie odwrotne.

Niech teraz będzie odwzorowaniem liniowym. Niech będzie macierzą tego odwzorowania przy bazie i będzie macierzą tego samego odwzorowania przy bazie . Chcemy ustalić związek między macierzami i .

Mamy następujące równości



Z drugiej strony


Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned f(e'_i ) = f\left (\sum _{j=1} ^n p_{ji}e_j\right )= \sum _{j=1} ^np_{ji} f(e_j)&=& \sum _{j=1} ^n p_{ji}\left (\sum _{l=1}^n a_{lj} e_l \right )\\&=& \sum _{j=1}^n\sum _{l=1}^n a_{lj} p_{ji}e_l =\sum _{l=1}^n\left (\sum _{j=1}^n a_{lj} p_{ji}\right )e_l. \endaligned}


Otrzymaliśmy równość . A zatem udowodniliśmy następujące twierdzenie

Twierdzenie 4.1

Jeżeli jest macierzą endomorfizmu przy bazie i jest macierzą tego samego endomorfizmu przy bazie , to



gdzie jest macierzą przejścia od bazy do bazy .