W niniejszym wykładzie wszystkie rozważane przestrzenie są
skończenie wymiarowe a bazy są uporządkowane.
Macierz odwzorowania liniowego
Niech dane będą przestrzenie wektorowe
i
nad ciałem
oraz odwzorowanie liniowe
.
Niech
będzie bazą przestrzeni wektorowej
, zaś
bazą przestrzeni
. Dla odwzorowania liniowego
mamy
(1.1)
dla pewnych skalarów
,
,
. Inaczej zapisując
dla każdego
.
Otrzymaliśmy więc macierz
, która całkowicie opisuje odwzorowanie liniowe
. Istotnie, jeśli znamy wartości odwzorowania liniowego na bazie, to znamy to odwzorowanie. Macierz tę nazywamy macierzą odwzorowania
przy bazach
i
.
Jeśli mamy daną macierz
, ustalone bazy w przestrzeniach
,
, to macierz ta jest macierzą odwzorowania liniowego
. Odwzorowanie to jest dane formułą
(1.1).
Wygodnie jest myśleć o macierzach jako o odwzorowaniach liniowych. Jeśli żadne szczególne przestrzenie nie są wyróżnione, to macierz
możemy traktować jako odwzorowanie liniowe
dane przepisem (1.1),
gdzie
jest bazą kanoniczną przestrzeni
, zaś
jest bazą kanoniczną przestrzeni
.
Jeśli
jest macierzą odwzorowania
i przez
oznaczymy kolumny macierzy
, to każda kolumna
jest ciągiem współrzędnych wektora
w bazie
. Oznacza to, że układ kolumn macierzy
można uważać za wektory (wyrażone we współrzędnych w bazie
)
. Rząd odwzorowania
jest więc rzędem układu wektorów
macierzy
.
Mamy więc
Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f,h :V\longrightarrow W}
będą dwoma odwzorowaniami liniowymi. Wiemy, że suma tych odwzorowań jest odwzorowaniem liniowym. Przy danych bazach Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle e_1,\ldots,e_n}
,
przestrzeni
i
odpowiednio, macierz odwzorowania
jest sumą macierzy
, gdzie
jest macierzą odwzorowania
a
macierzą odwzorowania
. A zatem dodawanie macierzy odpowiada dodawaniu odwzorowań liniowych. Podobnie mnożeniu macierzy przez skalar odpowiada mnożenie odwzorowania liniowego przez skalar.
Załóżmy teraz, że mamy trzy przestrzenie wektorowe
,
,
. Załóżmy ponadto, że
jest bazą
,
jest bazą
i
jest bazą
. Niech
i
będą
odwzorowaniami liniowymi. Oznaczmy przez
,
macierze odwzorowania
,
i
odpowiednio, przy danych bazach. Zachodzą następujące równości
.
Z drugiej strony
Zatem
.
Oznacza to, że
.
Krótko mówiąc, mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Ponieważ składanie odwzorowań jest łączne, więc mnożenie macierzy jest łączne. Wspomnieliśmy już tę własność w poprzednim wykładzie. Teraz uzasadniliśmy jej prawdziwość.
Zauważmy także, że jeśli
, to
. Jeśli
, to
. W języku macierzy oznacza to, że
oraz
(jeśli występujące tu dodawania i
mnożenia macierzy można wykonać). Te własności rachunku macierzy również wymieniliśmy w poprzednim wykładzie.
Macierz dualna i odwzorowanie dualne
Niech
będzie bazą dualną do bazy
przestrzeni
i
bazą dualną do bazy
przestrzeni
. Rozważmy odwzorowanie dualne
. Chcemy znaleźć macierz
przy wyróżnionych właśnie bazach dualnych. Oznaczmy poszukiwaną macierz przez
, czyli
.
Po obydwu stronach powyższej równości mamy wektory z
, czyli odwzorowania liniowe określone na
i o wartościach w
. Obliczymy wartość tych odwzorowań na wektorach bazy
. Otrzymujemy
Z drugiej strony
.
A zatem
, co oznacza, że macierz
jest macierzą dualna do macierzy
.
Macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego, jeśli w przestrzeniach dualnych wybierzemy bazy dualne.
Stąd, że dla odwzorowań liniowych zachodzi formuła
, otrzymujemy analogiczną formułą dla macierzy.
Twierdzenie 2.1
Jeśli iloczyn
jest wykonalny, to wykonalny jest iloczyn
oraz
.
Udowodnimy teraz następujące twierdzenie
Twierdzenie 2.2
Rząd odwzorowania dualnego do
jest równy rzędowi odwzorowania
.
Dowód
Wiemy, że

(2.2)
Przyjrzyjmy się więc przestrzeni
. Mamy
.
Weźmy bazę
przestrzeni
. Jeśli
, to
i
. Twierdzenie w tym przypadku jest prawdziwe..
Jeśli
, to układ
rozszerzmy do bazy
przestrzeni
. Przestrzeń
rozpięta na wektorach
jest dopełnienieniem algebraicznym do
w
, czyli
. Zauważmy,
że odwzorowanie
jest izomorfizmem. Oczywiście odwzorowanie
jest liniowe. Jeśli
, to
i
są odwzorowaniami zerowymi. A zatem,
jest odwzorowaniem zerowym na całym
. Odwzorowanie
jest więc monomorfizmem.
Jest też epimorfizmem. Jeśli bowiem
jest liniowe, to odwzorowanie liniowe
zdefiniowane na bazie przestrzeni
następująco:
dla
,
dla
, jest takie, że
.
Ponieważ
jest izomorfizmem, więc
. Porównując tę równość z równością z pierwszego zdania tego dowodu otrzymujemy żądaną tezę.
Z powyższego twierdzenia i stąd, że macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego wynika następujący wniosek
Wniosek 2.3
Dla dowolnej macierzy
zachodzi równość
.
Przypomnijmy sobie teraz operacje dopuszczalne na macierzy (ze względu na rząd macierzy). Korzystając z równości
dostajemy natychmiast kilka kolejnych operacji dopuszczalnych, tzn. nie zmieniających rzędu macierzy. Mianowicie, dodając do danego wiersza macierzy
kombinację liniową pozostałych wierszy tej macierzy, nie zmieniamy jej rzędu. Mnożąc dowolny wiersz przez niezerowy skalar nie zmieniamy rzędu macierzy. I wreszczcie, permutując wiersze macierzy nie zmieniamy jej rzędu.
Tak jak w dowodzie twierdzenia o istnieniu bazy z Wykładu 2. możemy stwierdzić, że rząd skończonego układu wektorów jest równy maksymalnej liczbie wektorów liniowo niezależnych, które można wybrać z danego układu wektorów.
A zatem mamy następujące twierdzenie
Twierdzenie 2.4 [Rząd macierzy]
Macierz odwrotna, ogólna grupa liniowa
Załóżmy teraz, że
i
jest
endomorfizmem. Wybieramy jedną bazę, tzn. bazę
przestrzeni
, i definiujemy macierz kwadratową
formułą
(3.3)
Ponieważ mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań, więc odwracalność macierzy
jest równoważna izomorficzności odwzorowania
. Ponadto macierz odwrotna
do macierzy
jest macierzą odwzorowania odwrotnego
.
Ogólną grupę liniową
możemy traktować jako grupę wszystkich izomorfizmów liniowych
, z działaniem będącym składaniem odwzorowań. Pamiętamy, że grupa ta
dla
jest nieprzemienna. Zauważyliśmy już, że macierz kwadratowa
jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą izomorfizmu. Odwzorowanie liniowe
jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy
. Oznacza to, że prawdziwe jest następujące twierdzenie
Twierdzenie 3.1
Macierz kwadratowa
jest odwracalna wtedy i tylko
wtedy, gdy
.
Macierz przejścia
Niech
będzie bazą przestrzeni
i niech
będzie inną bazą tej samej przestrzeni. Istnieją
jednoznacznie określone skalary
,
, takie, że
, (4.4)
dla
. Macierz
nazywa się macierzą przejścia od bazy
do bazy
. Macierz przejścia jest macierzą izomorfizmu przestrzeni
, który przekształca bazę
na bazę
i macierz ta jest utworzona przy bazie
. W szczególności, macierz przejścia jest macierzą odwracalną.
Zamieńmy rolami dane bazy. Istnieją jednoznacznie wyznaczone skalary
,
, takie, że
.
Macierz
oznaczmy przez
.
Otrzymujemy więc następujące równości
dla każdego
. Oznacza to, że
i, w konsekwencji, macierze
i
są wzajemnie odwrotne.
Niech teraz
będzie odwzorowaniem liniowym. Niech
będzie macierzą tego odwzorowania przy bazie
i
będzie macierzą tego samego odwzorowania
przy bazie
. Chcemy ustalić związek między macierzami
i
.
Mamy następujące równości
.
Z drugiej strony
Otrzymaliśmy równość
. A zatem udowodniliśmy następujące twierdzenie
Twierdzenie 4.1
Jeżeli
jest macierzą endomorfizmu
przy bazie
i
jest macierzą tego samego endomorfizmu przy bazie
, to
,
gdzie
jest macierzą przejścia od bazy
do bazy
.