Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 6: Macierze a odwzorowania liniowe

W niniejszym wykładzie wszystkie rozważane przestrzenie są skończenie wymiarowe a bazy są uporządkowane.

Macierz odwzorowania liniowego

Niech dane będą przestrzenie wektorowe $V$ i $W$ nad ciałem $\mathbb {K}$ oraz odwzorowanie liniowe $f:V\longrightarrow W$.

Niech $e_{1},\ldots ,e_{n}$ będzie bazą przestrzeni wektorowej $V$, zaś $e'_{1},\ldots ,e'_{m}$ bazą przestrzeni $W$. Dla odwzorowania liniowego $f$ mamy

${\begin{array}{rcl}&&f(e_{1})=a_{11}e'_{1}+/ldots+a_{m1}e'_{m},\\&&\ \ \ .\\&&\ \ \ .\\&&\ \ \ .\\&&f(e_{n})=a_{1n}e'_{1}+/ldots+a_{mn}e'_{m}.\end{array}}$      (1.1)

dla pewnych skalarów $a_{ij}$, $i=1,\ldots ,m$, $j=1,\ldots ,n$. Inaczej zapisując

$f(e_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e'_{i}$

dla każdego $j=1,\ldots ,n$.

Plik:Ag6 1a.mp4

Macierz odwzorowania liniowego

Otrzymaliśmy więc macierz $A=[a_{ij}]_{\begin{smallmatrix}1\leq i\leq m\\1\leq j\leq n\end{smallmatrix}}$, która całkowicie opisuje odwzorowanie liniowe $f$. Istotnie, jeśli znamy wartości odwzorowania liniowego na bazie, to znamy to odwzorowanie. Macierz tę nazywamy macierzą odwzorowania $f$ przy bazach $e_{1},\ldots ,e_{n}$ i $e'_{1},\ldots ,e'_{m}$.

Jeśli mamy daną macierz $A$, ustalone bazy w przestrzeniach $V$, $W$, to macierz ta jest macierzą odwzorowania liniowego $f:V\longrightarrow W$. Odwzorowanie to jest dane formułą (1.1).

Wygodnie jest myśleć o macierzach jako o odwzorowaniach liniowych. Jeśli żadne szczególne przestrzenie nie są wyróżnione, to macierz $A=A_{m\times n}$ możemy traktować jako odwzorowanie liniowe $f:\mathbb {K} ^{n}\longrightarrow \mathbb {K} ^{m}$ dane przepisem (1.1), gdzie $e_{1},\ldots ,e_{n}$ jest bazą kanoniczną przestrzeni $\mathbb {K} ^{n}$, zaś $e'_{1},\ldots ,e'_{m}$ jest bazą kanoniczną przestrzeni $\mathbb {K} ^{m}$.

Jeśli $A$ jest macierzą odwzorowania $f:V\longrightarrow W$ i przez $A_{1},\ldots ,A_{n}$ oznaczymy kolumny macierzy $A$, to każda kolumna $A_{j}$ jest ciągiem współrzędnych wektora $f(e_{j})$ w bazie $e'_{1},\ldots ,e'_{m}$. Oznacza to, że układ kolumn macierzy $A$ można uważać za wektory (wyrażone we współrzędnych w bazie $e_{1},\ldots ,e_{n}$) $f(e_{1}),\ldots ,f(e_{n})$. Rząd odwzorowania $f$ jest więc rzędem układu wektorów $A_{1},\ldots ,A_{n}$ macierzy $A$.

Mamy więc

Twierdzenie 1.1

Jeśli $A$ jest macierzą odwzorowania $f:V\longrightarrow W$ przy pewnych bazach przestrzeni $V$ i $W$, to $rkA=rkf$.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f,h :V\longrightarrow W} będą dwoma odwzorowaniami liniowymi. Wiemy, że suma tych odwzorowań jest odwzorowaniem liniowym. Przy danych bazach Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle e_1,\ldots,e_n} , $e'_{1},\ldots ,e'_{m}$ przestrzeni $V$ i $W$ odpowiednio, macierz odwzorowania $f+h$ jest sumą macierzy $A_{f}+A_{h}$, gdzie $A_{f}$ jest macierzą odwzorowania $f$ a $A_{h}$ macierzą odwzorowania $h$. A zatem dodawanie macierzy odpowiada dodawaniu odwzorowań liniowych. Podobnie mnożeniu macierzy przez skalar odpowiada mnożenie odwzorowania liniowego przez skalar.

Załóżmy teraz, że mamy trzy przestrzenie wektorowe $V$, $W$, $U$. Załóżmy ponadto, że $e_{1},\ldots ,e_{n}$ jest bazą $V$, $e'_{1},\ldots ,e'_{k}$ jest bazą $W$ i $e''_{1},\ldots ,e''_{m}$ jest bazą $U$. Niech $f:V\longrightarrow W$ i $h:W\longrightarrow U$ będą odwzorowaniami liniowymi. Oznaczmy przez

$A=[a_{lj}]_{\begin{smallmatrix}{l}1\leq l\leq k\\1\leq j\leq n\end{smallmatrix}},\ \ \ B=[b_{il}]_{\begin{smallmatrix}{l}1\leq i\leq m\\1\leq l\leq k\end{smallmatrix}},\ \ \ \ C=[c_{ij}]_{\begin{smallmatrix}{l}1\leq i\leq m\\1\leq j\leq n\end{smallmatrix}}$,

macierze odwzorowania $f$, $h$ i $h\circ f$ odpowiednio, przy danych bazach. Zachodzą następujące równości

$f(e_{j})=\sum _{l=1}^{k}a_{lj}e'_{l},\quad h(e'_{l})=\sum _{i=1}^{m}b_{il}e''_{i},\quad (h\circ f)(e_{j})=\sum _{i=1}^{m}c_{ij}e''_{i}$.

Z drugiej strony

${\begin{aligned}(h\circ f)(e_{j})=h(f(e_{j}))&=h(\sum _{l=1}^{k}a_{lj}e'_{l})=\sum _{l=1}^{k}a_{lj}h(e'_{l})\\&=\sum _{l=1}^{k}a_{lj}\left(\sum _{i=1}^{m}b_{il}e''_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{l=1}^{k}b_{il}a_{lj}\right)e''_{i}.\end{aligned}}$

Zatem

$c_{ij}=\sum _{l=1}^{k}b_{il}a_{lj}$.

Oznacza to, że

$C=BA$.

Krótko mówiąc, mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Ponieważ składanie odwzorowań jest łączne, więc mnożenie macierzy jest łączne. Wspomnieliśmy już tę własność w poprzednim wykładzie. Teraz uzasadniliśmy jej prawdziwość.

Zauważmy także, że jeśli $h_{1},h_{2}:W\longrightarrow U$, to $(h_{1}+h_{2})\circ f=h_{1}\circ f+h_{2}\circ f$. Jeśli $f_{1},f_{2}:V\longrightarrow W$, to $h\circ (f_{1}+f_{2})=h\circ f_{1}+h\circ f_{2}$. W języku macierzy oznacza to, że $(B_{1}+B_{2})A=B_{1}A+B_{2}A$ oraz $B(A_{1}+A_{2})=BA_{1}+BA_{2}$ (jeśli występujące tu dodawania i mnożenia macierzy można wykonać). Te własności rachunku macierzy również wymieniliśmy w poprzednim wykładzie.

Macierz dualna i odwzorowanie dualne

Niech $e_{1}^{*},\ldots ,e_{n}^{*}$ będzie bazą dualną do bazy $e_{1},\ldots ,e_{n}$ przestrzeni $V$ i $e{'}_{1}^{*},\ldots ,e{'}_{m}^{*}$ bazą dualną do bazy $e'_{1},\ldots ,e'_{m}$ przestrzeni $W$. Rozważmy odwzorowanie dualne $f^{*}:W^{*}\longrightarrow V^{*}$. Chcemy znaleźć macierz $f^{*}$ przy wyróżnionych właśnie bazach dualnych. Oznaczmy poszukiwaną macierz przez $B=[b_{ji}]_{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\1\leq i\leq m\end{smallmatrix}}$, czyli

$f^{*}(e{'}_{i}^{*})=\sum _{j=1}^{n}b_{ji}e_{j}^{*}$.

Po obydwu stronach powyższej równości mamy wektory z $V^{*}$, czyli odwzorowania liniowe określone na $V$ i o wartościach w $\mathbb {K}$. Obliczymy wartość tych odwzorowań na wektorach bazy $e_{1},\ldots ,e_{n}$. Otrzymujemy

${\begin{aligned}\left(f^{*}(e{'}_{i}^{*})\right)(e_{s})&=\left((e{'}_{i}^{*})\circ f\right)(e_{s})=e{'}_{i}^{*}\left(\sum _{l=1}^{m}a_{ls}e'_{l}\right)\\&=\sum _{l=1}^{m}a_{ls}\left(e{'}_{i}^{*}(e'_{l})\right)\\&=\sum _{l=1}^{m}a_{ls}\delta _{il}=a_{is}.\end{aligned}}$

Z drugiej strony

$\left(\sum _{j=1}^{n}b_{ji}e_{j}^{*}\right)(e_{s})=\sum _{j=1}^{n}b_{ji}(e_{j}^{*}(e_{s}))=\sum _{j=1}^{n}b_{ji}\delta _{js}=b_{si}$.

A zatem $a_{is}=b_{si}$, co oznacza, że macierz $B$ jest macierzą dualna do macierzy $A$.

Macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego, jeśli w przestrzeniach dualnych wybierzemy bazy dualne.

Stąd, że dla odwzorowań liniowych zachodzi formuła $(f\circ h)^{*}=h^{*}\circ f^{*}$, otrzymujemy analogiczną formułą dla macierzy.

Twierdzenie 2.1

Jeśli iloczyn $AB$ jest wykonalny, to wykonalny jest iloczyn $B^{*}A^{*}$ oraz

$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$.

Udowodnimy teraz następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.2

Rząd odwzorowania dualnego do $f$ jest równy rzędowi odwzorowania $f$.

Dowód

Wiemy, że

$rkf^{*}=\dim W^{*}-\dim kerf^{*}=\dim W-\dim \ker f^{*}$      (2.2)

Przyjrzyjmy się więc przestrzeni $\ker f^{*}$. Mamy

$\ker f^{*}=\{\beta \in W^{*}|\ \beta \circ f=0\}=\{\beta \in W^{*}|\ \beta _{|imf}=0\}$.

Weźmy bazę $w_{1},\ldots ,w_{k}$ przestrzeni $imf$. Jeśli $imf=W$, to $rkf=\dim W$ i $\ker f^{*}=\{0\}$. Twierdzenie w tym przypadku jest prawdziwe..

Jeśli $imf\neq W$, to układ $w_{1},\ldots ,w_{k}$ rozszerzmy do bazy

$w_{1},\ldots ,w_{k},w_{k+1},\ldots ,w_{m}$

przestrzeni $W$. Przestrzeń $U$ rozpięta na wektorach $w_{k+1},\ldots ,w_{m}$ jest dopełnienieniem algebraicznym do $imf$ w $W$, czyli $W=U\oplus imf$. Zauważmy, że odwzorowanie

$\phi :\ker f^{*}\ni \beta \longrightarrow \beta _{|U}\in U^{*}$

jest izomorfizmem. Oczywiście odwzorowanie $\phi$ jest liniowe. Jeśli $\phi (\beta )=0$, to $\beta _{|U}$ i $\beta _{|imf}$ są odwzorowaniami zerowymi. A zatem, $\beta$ jest odwzorowaniem zerowym na całym $W$. Odwzorowanie $\phi$ jest więc monomorfizmem.

Jest też epimorfizmem. Jeśli bowiem $\gamma :U\longrightarrow \mathbb {K}$ jest liniowe, to odwzorowanie liniowe $\beta :W\longrightarrow \mathbb {K}$ zdefiniowane na bazie przestrzeni $W$ następująco: $\beta (w_{i})=0$ dla $i=1,\ldots ,k$,$\beta (w_{i})=\gamma (w_{i})$ dla $i=k+1,\ldots ,m$, jest takie, że $\phi (\beta )=\gamma$.

Ponieważ $\phi$ jest izomorfizmem, więc $\dim \ker f^{*}=\dim U^{*}=\dim U=m-k=\dim W-rkf$. Porównując tę równość z równością z pierwszego zdania tego dowodu otrzymujemy żądaną tezę.

Z powyższego twierdzenia i stąd, że macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego wynika następujący wniosek

Wniosek 2.3

Dla dowolnej macierzy $A$ zachodzi równość $rkA=rkA^{*}$.

Przypomnijmy sobie teraz operacje dopuszczalne na macierzy (ze względu na rząd macierzy). Korzystając z równości ${rk}A={rk}A^{*}$ dostajemy natychmiast kilka kolejnych operacji dopuszczalnych, tzn. nie zmieniających rzędu macierzy. Mianowicie, dodając do danego wiersza macierzy $A$ kombinację liniową pozostałych wierszy tej macierzy, nie zmieniamy jej rzędu. Mnożąc dowolny wiersz przez niezerowy skalar nie zmieniamy rzędu macierzy. I wreszczcie, permutując wiersze macierzy nie zmieniamy jej rzędu.

Tak jak w dowodzie twierdzenia o istnieniu bazy z Wykładu 2. możemy stwierdzić, że rząd skończonego układu wektorów jest równy maksymalnej liczbie wektorów liniowo niezależnych, które można wybrać z danego układu wektorów.

A zatem mamy następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.4 [Rząd macierzy]

Niech $A\in M(m,n;\mathbb {K} )$.

1. Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie kolumn liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy $A$.
2. Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie wierszy liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy $A$.

Macierz odwrotna, ogólna grupa liniowa

Załóżmy teraz, że $V=W$ i $f:V\longrightarrow V$ jest endomorfizmem. Wybieramy jedną bazę, tzn. bazę $e_{1},\ldots ,e_{n}$ przestrzeni $V$, i definiujemy macierz kwadratową $A=[a_{ij}]_{\begin{smallmatrix}1\leq i,j\leq n\end{smallmatrix}}$ formułą

${\begin{array}{rcl}&&f(e_{1})=a_{11}e_{1}+\ldots +a_{n1}e_{n},\\&&\ \ \ .\\&&\ \ \ .\\&&\ \ \ .\\&&f(e_{n})=a_{1n}e_{1}+\ldots +a_{nn}e_{n}.\end{array}}$      (3.3)

Ponieważ mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań, więc odwracalność macierzy $A$ jest równoważna izomorficzności odwzorowania $f$. Ponadto macierz odwrotna $A^{-1}$ do macierzy $A$ jest macierzą odwzorowania odwrotnego $f^{-1}$.

Ogólną grupę liniową $GL(n;\mathbb {K} )$ możemy traktować jako grupę wszystkich izomorfizmów liniowych $f:\mathbb {K} ^{n}\longrightarrow \mathbb {K} ^{n}$, z działaniem będącym składaniem odwzorowań. Pamiętamy, że grupa ta dla $n>1$ jest nieprzemienna. Zauważyliśmy już, że macierz kwadratowa $A$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą izomorfizmu. Odwzorowanie liniowe $f:\mathbb {K} ^{n}\longrightarrow \mathbb {K} ^{n}$ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $rkf=n$. Oznacza to, że prawdziwe jest następujące twierdzenie

Twierdzenie 3.1

Macierz kwadratowa $A=A_{n\times n}$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy $rkA=n$.

Macierz przejścia

Niech $e_{1},\ldots ,e_{n}$ będzie bazą przestrzeni $V$ i niech $e'_{1},\ldots ,e'_{n}$ będzie inną bazą tej samej przestrzeni. Istnieją jednoznacznie określone skalary $p_{ij}$, $1\leq i,j\leq n$, takie, że

$e'_{j}=\sum _{i=1}^{n}p_{ij}e_{i}$,      (4.4)

dla $j=1,\ldots ,n$. Macierz $P=[p_{ij}]_{1\leq i,j\leq }$ nazywa się macierzą przejścia od bazy $e_{1},\ldots ,e_{n}$ do bazy $e'_{1},\ldots ,e'_{n}$. Macierz przejścia jest macierzą izomorfizmu przestrzeni $V$, który przekształca bazę $e_{1},\ldots ,e_{n}$ na bazę $e'_{1},\ldots ,e'_{n}$ i macierz ta jest utworzona przy bazie $e_{1},\ldots ,e_{n}$. W szczególności, macierz przejścia jest macierzą odwracalną.

Zamieńmy rolami dane bazy. Istnieją jednoznacznie wyznaczone skalary $q_{ij}$, $1\leq i,j\leq n$, takie, że

$e_{i}=\sum _{j=1}^{n}q_{ji}e'_{j}$.

Macierz $[q_{ij}]$ oznaczmy przez $Q$.

Otrzymujemy więc następujące równości

$e_{i}=\sum _{j=1}^{n}q_{ji}e'_{j}=\sum _{j=1}^{n}q_{ji}\sum _{l=1}^{n}p_{lj}e_{l}=\sum _{l=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}p_{lj}q_{ji}\right)e_{l}$

dla każdego $i=1,\ldots ,n$. Oznacza to, że $\sum _{j=1}^{n}p_{lj}q_{ji}=\delta _{li}$ i, w konsekwencji, macierze $P$ i $Q$ są wzajemnie odwrotne.

Niech teraz $f:V\longrightarrow V$ będzie odwzorowaniem liniowym. Niech $A$ będzie macierzą tego odwzorowania przy bazie $e_{1},\ldots ,e_{n}$ i $B$ będzie macierzą tego samego odwzorowania $f$ przy bazie $e'_{1},\ldots ,e'_{n}$. Chcemy ustalić związek między macierzami $A$ i $B$.

Mamy następujące równości

$f(e'_{i})=\sum _{j=1}^{n}b_{ji}e'_{j}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}p_{lj}b_{ji}e_{l}=\sum _{l=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}p_{lj}b_{ji}\right)e_{l}$.

Z drugiej strony

${\begin{aligned}f(e'_{i})=f\left(\sum _{j=1}^{n}p_{ji}e_{j}\right)=\sum _{j=1}^{n}p_{ji}f(e_{j})&=\sum _{j=1}^{n}p_{ji}\left(\sum _{l=1}^{n}a_{lj}e_{l}\right)\\&=\sum _{j=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}a_{lj}p_{ji}e_{l}=\sum _{l=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{lj}p_{ji}\right)e_{l}.\end{aligned}}$

Otrzymaliśmy równość $AP=PB$. A zatem udowodniliśmy następujące twierdzenie

Twierdzenie 4.1

Jeżeli $A$ jest macierzą endomorfizmu $f$ przy bazie $e_{1},\ldots ,e_{n}$ i $B$ jest macierzą tego samego endomorfizmu przy bazie $e'_{1},\ldots ,e'_{n}$, to

$B=P^{-1}AP$,

gdzie $P$ jest macierzą przejścia od bazy $e_{1},\ldots ,e_{n}$ do bazy $e'_{1},\ldots ,e'_{n}$.