Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 13: Przestrzenie afiniczne I

Definicja przestrzeni afinicznej. Własności

Niech $X$ będzie zbiorem niepustym a $V$ przestrzenią wektorową nad ciałem ${\mathbb {K} }$. Załóżmy, że dane są dwie operacje (odwzorowania)

$X\times X\ni (x,y)\longrightarrow {\overrightarrow {xy}}\in V,$      (1.1)

$X\times V\ni (x,v)\longrightarrow x+v\in X.$      (1.2)

Znak "plus" jest tutaj symbolem użytym w nowym znaczeniu. Mamy ciągle "plus" oznaczający dodawanie w przestrzeni wektorowej i "plus" oznaczający dodawanie w ciele. Z kontekstu zawsze wynika, co oznacza "plus" pojawiający się w danej formule.

Mówimy, że $X$ jest przestrzenią afiniczną o kierunku $V$, jeśli spełnione są dwa następujące warunki

A1) Dla każdych $x\in X$, $v\in V$ zachodzi równoważność: $x+v=y$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\overrightarrow {xy}}=v$.

A2) Dla każdych $x,y,z\in X{\overrightarrow {xy}}+{\overrightarrow {yz}}={\overrightarrow {xz}}$.

Elementy przestrzeni afinicznej $X$ nazywamy punktami. Odwzorowanie (1.1) nazywa się wyznaczaniem wektora przez parę punktów. Odwzorowanie (1.2) nazywa się zaczepianiem wektora w punkcie.

Przestrzeń afiniczną zapisujemy także jako parę $(X,V)$. Używamy także określenia przestrzeń afiniczna $X$ nad $V$. Wymiarem przestrzeni afinicznej nazywamy wymiar przestrzeni wektorowej $V$ i oznaczamy $\dim X$.

Zbierzmy na początek kilka podstawowych własności przestrzeni afinicznych.

Twierdzenie 1.1

Dla każdych punktów $x,y\in X$ i każdych wektorów $v,w\in V$ zachodzą następujące warunki:

1. ${\overrightarrow {xx}}=0$,
2. $x+0=x$, gdzie $0$ jest wektorem zerowym w $V$.
3. ${\overrightarrow {xy}}=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=y$,
4. $-{\overrightarrow {xy}}={\overrightarrow {yx}}$,
5. $x=y$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\overrightarrow {zx}}={\overrightarrow {zy}}$ dla każdego $z\in X$,
6. $x=y$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $z\in X$ takie, że ${\overrightarrow {zx}}={\overrightarrow {zy}}$,
7. ${\overrightarrow {x(y+v)}}={\overrightarrow {xy}}+v$,
8. $x+(v+w)=(x+v)+w$.
9. ${\overrightarrow {(x+v)(y+w)}}={\overrightarrow {xy}}+(w-v)$

Dowód

1) Korzystając z A2) otrzymujemy równość

${\overrightarrow {xx}}+{\overrightarrow {xx}}={\overrightarrow {xx}}.$

Dodając do obu stron $-{\overrightarrow {xx}}$ otrzymujemy żądaną równość.

2) Korzystając z A1) i udowodnionej już własności 1) dostajemy

równość $x+0=x$, bo ${\overrightarrow {xx}}=0$.

3) Z aksjomatu A1) i udowodnionej już własności 2) wiemy, że ${\overrightarrow {xy}}=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $y=x+0=x$.

4) Z aksjomatu A2) i własności 1) otrzymujemy równości

${\overrightarrow {xy}}+{\overrightarrow {yx}}={\overrightarrow {xx}}=0.$

5) i 6) Następująca implikacja jest oczywista.

Jeśli $x=y$, to dla każdego punktu $z\in X$ zachodzi równość ${\overrightarrow {zx}}={\overrightarrow {zy}}$.

Udowodnimy implikację:

Jeśli istnieje punkt $z\in X$ taki, że ${\overrightarrow {zx}}={\overrightarrow {zy}}$, to $x=y$.

Korzystając z własności 4) i aksjomatu A2) dostajemy implikacje

${\overrightarrow {zx}}={\overrightarrow {zy}}\Longrightarrow {\overrightarrow {zx}}-{\overrightarrow {zy}}=0\Longrightarrow -({\overrightarrow {xz}}+{\overrightarrow {zy}})=0\Longrightarrow {\overrightarrow {xy}}=0$

Z własności 3) mamy równość $x=y$.

7) Korzystając z aksjomatu A2) otrzymujemy równość

${\overrightarrow {x(y+v)}}={\overrightarrow {xy}}+{\overrightarrow {y(y+v)}}.$

Stosując teraz A1) dostajemy

${\overrightarrow {y(y+v)}}=v.$

8) Na podstawie 6) wiemy, że $x+(v+w)=(x+v)+w$ wtedy i tylko wtedy, gdy

${\overrightarrow {x(x+(v+w))}}={\overrightarrow {x((x+v)+w)}}.$

Lewa strona ostatniej równości jest równa (na podstawie własności 6) i 1))

${\overrightarrow {xx}}+(v+w)=v+w.$

Dla prawej strony zachodzą równości (również na podstawie 6) i 1))

${\overrightarrow {x((x+v)+w)}}={\overrightarrow {x(x+v)}}+w=({\overrightarrow {xx}}+v)+w=v+w.$

9) Wykorzystując udowodnione już własności otrzymujemy

${\overrightarrow {(x+v)(y+w)}}={\overrightarrow {(x+v)y}}+w=-{\overrightarrow {y(x+v)}}+w=-{\overrightarrow {yx}}-v+w={\overrightarrow {xy}}+(w-v).$

Z własności 8) wynika, że możemy stosować zapis $x+v+w$.

Przykład 1.2

Każda przestrzeń wektorowa $V$ jest przestrzenią afiniczną nad samą sobą. Operacje zaczepiania wektora w punkcie i wyznaczania wektora przez parę punktów dane są następująco. Dla $v,w\in V$

${\overrightarrow {vw}}=w-v,$

$v+w=v+w.$

W ostatnim wzorze z lewej strony mamy zaczepianie wektora $w$ w punkcie $v$, z prawej strony dodawanie wektorów w $V$.

Przykład 1.3

Dowolny zbiór jednoelementowy jest przestrzenią afiniczną nad przestrzenią wektorową $\{0\}$.

Przykład 1.4

Najlepiej znanym przykładem przestrzeni afinicznej jest przykład znany ze szkoły. Mianowicie, płaszczyzna lub trójwymiarowa przestrzeń fizyczna ze znanymi ze szkoły operacjami zaczepiania wektora swobodnego w punkcie i wyznaczania wektora swobodnego przez parę punktów są oczywiście przestrzeniami afinicznymi. Płaszczyzna i trójwymiarowa przestrzeń fizyczna są zbiorami punktów. Proponujemy, aby czytelnik prześledził na tym przykładzie wszystkie własności z Twierdzenia 1.1. Własności te w większości wydają się całkiem oczywiste, ale pamiętajmy, że definicja przestrzeni afinicznej (tak samo zresztą jak definicje przestrzeni wektorowej, ciała czy grupy) jest definicją aksjomatyczną i wszystkie własności tej struktury, choćby wydawały się najbardziej oczywiste, muszą być wywiedzione z aksjomatów.

Twierdzenie 1.1 na płaszczyźnie

Punkt bazowy, układ bazowy

Ustalmy pewien punkt ${\rm {o}}$ w przestrzeni afinicznej $(X,V)$. Punkt ten nazwiemy punktem bazowym. Rozważmy odwzorowanie

$\Phi _{\rm {o}}:X\ni x\longrightarrow {\overrightarrow {{\rm {o}}x}}\in V.$      (2.3)

Odwzorowanie to jest bijekcją. Istotnie, odwzorowanie odwrotne dane jest formułą

$(\Phi _{\rm {o}})^{-1}(v)={\rm {o}}+v.$

Ponieważ $\Phi _{\rm {o}}$ jest bijekcją, więc możemy przenieść strukturę przestrzeni wektorowej z $V$ na $X$. Robimy to tak, aby odwzorowanie $\Phi$ było izomorfizmem liniowym, tzn. definiujemy działania w $X$ następująco:

Dla $x,y\in X$ punkt $x+y$ jest równy takiemu punktowi $z\in X$, że ${\overrightarrow {{\rm {o}}x}}+{\overrightarrow {{\rm {o}}y}}={\overrightarrow {{\rm {o}}z}}$.

Dla $x\in X$ i $\lambda \in {\mathbb {K} }$ punkt $\lambda x$ zdefiniowany jest jako punkt $z\in X$ taki, że ${\overrightarrow {{\rm {o}}z}}=\lambda {\overrightarrow {{\rm {o}}x}}.$

Innymi słowy,

${\overrightarrow {{\rm {o}}(x+y)}}={\overrightarrow {{\rm {o}}x}}+{\overrightarrow {{\rm {o}}y}},$

${\overrightarrow {{\rm {o}}(\lambda \,x)}}=\lambda {\overrightarrow {{\rm {o}}x}}.$

Łatwy eksperyment pokazuje, że struktura przestrzeni wektorowej na $X$ wprowadzona przez zadanie punktu bazowego, w istotny sposób zależy od tego punktu.

Niech teraz dany będzie punkt bazowy $o$ i baza przestrzeni wektorowej $V$. Załóżmy, że przestrzeń $V$ jest skończenie wymiarowa i $e_{1},...,e_{n}$ jest daną bazą tej przestrzeni.

Układ $({\rm {o}};e_{1},...,e_{n})$ nazywamy układem bazowym przestrzeni afinicznej $X$. Układ bazowy nazywa się też układem współrzędnych. Punkt ${\rm {o}}$ jest początkiem tego układu zaś $e_{1},...e_{n}$ są wektorami wyznaczającymi osie współrzędnych. Taki układ współrzędnych nazywa się ukośnokątnym układem współrzędnych (dla podkreślenia, że nie musi to być układ prostokątny). Na razie zresztą nie mamy pojęcia prostopadłości w przestrzeni afinicznej.

Mając dany układ bazowy $({\rm {o}};e_{1},...,e_{n})$ każdemu punktowi $x\in X$ możemy przyporządkować ciąg współrzędnych $(x_{1},...,x_{n})$ wektora ${\overrightarrow {ox}}$ w bazie $e_{1},...,e_{n}$, tzn. ${\overrightarrow {{\rm {o}}x}}=x_{1}e_{1}+...+x_{n}e_{n}$. Ciąg ten nazywamy współrzędnymi punktu $x$ w danym układzie bazowym (układzie współrzędnych).

Punkt bazowy

Układ bazowy

Afiniczna niezależność punktów

Afiniczna niezależność punktów

Niech $(X,V)$ będzie przestrzenią afiniczną i $A={\{x_{t}\}}_{t\in T}$ zbiorem punktów przestrzeni $X$. Oznaczmy jeden z elementów zbioru wskaźników $T$ przez $0$. Mówimy, że zbiór $A$ jest afinicznie niezależny, jeśli zbiór wektorów

$\{{\overrightarrow {x_{0}x_{t}}}\}_{t\in Tminus\{0\}}$

jest liniowo niezależny. Definicja ta zależy a priori od wyboru punktu $x_{0}$. Za chwilę wykażemy, że zależność ta jest tylko pozorna.

Zbiór punktów nazywa się afinicznie zależnym, jeśli nie jest afinicznie niezależny. Podobne definicje afinicznej zależności i niezależności obowiązują dla układu punktów. Dwa punkty są afinicznie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są równe. Pojedynczy punkt uważamy za afinicznie niezależny.

Udowodnimy teraz twierdzenie

Twierdzenie 3.1

Niech ${\rm {o}}$ będzie punktem bazowym przestrzeni afinicznej $X$. Punkty $x_{0},x_{1},...x_{n}$ są afinicznie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skalary $r_{0},...,r_{n}$ nie wszystkie równe zeru takie, że $r_{0}+...+r_{n}=0$ oraz

$r_{0}{\overrightarrow {{\rm {o}}x_{0}}}+...+r_{n}{\overrightarrow {{\rm {o}}x_{n}}}=0,$      (3.4)

Dowód

Załóżmy najpierw, że $\{x_{0},...x_{n}\}$ są afinicznie zależne, czyli ${\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},...,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}}$ są liniowo zależne. Istnieją więc skalary $r_{1},...,r_{n}$ nie wszystkie równe zeru, takie, że

$r_{1}{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}}+...+r_{n}{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}}=0.$

Zdefiniujmy $r_{0}=-r_{1}-...-r_{n}$. Zachodzą równości

${\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n}r_{i}{\overrightarrow {{\rm {o}}x_{i}}}&=(-r_{1}-...-r_{n}){\overrightarrow {{\rm {o}}x_{0}}}+r_{1}{\overrightarrow {{\rm {o}}x_{1}}}+...+r_{n}{\overrightarrow {{\rm {o}}x_{n}}}\\&=r_{1}{\overrightarrow {x_{0}{\rm {o}}}}+...+r_{n}{\overrightarrow {x_{0}{\rm {o}}}}+r_{1}{\overrightarrow {{\rm {o}}x_{1}}}+...+r_{n}{\overrightarrow {{\rm {o}}x_{n}}}\\&=r_{1}{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}}+...+r_{n}{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}}=0.\end{aligned}}$

Odwrotnie załóżmy, że istnieją skalary $r_{0},...,r_{n}$ nie wszystkie równe zeru, których suma jest równa zeru i takie, że $\sum _{i=0}^{n}r_{0}{\overrightarrow {{\rm {o}}x_{i}}}=0.$

Zachodzą następujące równości

${\begin{aligned}0&=r_{0}({\overrightarrow {{\rm {o}}x_{0}}}+{\overrightarrow {x_{0}x_{0}}})+...+r_{n}({\overrightarrow {{\rm {o}}x_{0}}}+{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})\\&=(r_{0}+...+r_{n}){\overrightarrow {{\rm {o}}x_{0}}}+r_{1}{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}}+...+r_{n}{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}}\\&=r_{1}{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}}+...+r_{n}{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}}\end{aligned}}$

Ponieważ nie wszystkie skalary $r_{0},...r_{n}$ są równe zeru a ich suma jest równa zeru, więc wśród skalarów $r_{1},...,r_{n}$ istnieje skalar niezerowy. A zatem ${\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},...,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}}$ są liniowo zależne, co kończy dowód twierdzenia.

Warunek w powyższym twierdzeniu zależy a priori od wyboru punktu bazowego, ale nie zależy od wyboru $x_{0}$. W definicji punkt bazowy w ogóle się nie pojawia. Ponieważ warunek definicyjny i warunek z twierdzenia są sobie równoważne afiniczna zależność nie zależy ani od wyboru punktu $x_{0}$, ani od wyboru punktu bazowego.

W $n$-wymiarowej przestrzeni afinicznej może istnieć co najwyżej $n+1$ punktów afinicznie niezależnych. Na fizycznej płaszczyźnie każde trzy niewspółliniowe punkty są afinicznie niezależne i każda większa liczba punktów stanowi zbiór afinicznie zależny.

Ustalmy pewien układ bazowy $({\rm {o}};e_{1},...,e_{n})$ w przestrzeni afinicznej $(X,V)$. Jeśli dane są punkty $x$, $y$ i ich współrzędne $(x_{1},...,x_{n})$, $(y_{1},...,y_{n})$ w danym układzie bazowym, to wektor ${\overrightarrow {xy}}$ ma współrzędne $(y_{1}-x_{1},...,y_{n}-x_{n})$ w bazie $e_{1},...,e_{n}$.

Niech dane będą punkty $x_{0},...,x_{m}\in X$ i niech

$(x_{i1},...,x_{in})$

będą współrzędnymi punktu $x_{i}$, dla $i=0,...,m$, w danym układzie bazowym.

Mamy następujące równości

${\rm {rk}}\left[{\begin{array}{lr}\ 1\ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ ...\ \ \ \ \ 1\\\ x_{01}\ x_{11}\ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{m1}\\\ .\\\ .\\\ .\\\ x_{0n}\ x_{1n}\ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{mn}\end{array}}\right]$ $={\rm {rk}}\left[{\begin{array}{lr}\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\\\ x_{01}\ x_{11}-x_{01}\ \ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{m1}-x_{01}\\\ .\\\ .\\\ .\\\ x_{0n}\ x_{1n}-x_{0n}\ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{mn}-x_{0n}\end{array}}\right]=$ $=1+{\rm {rk}}\left[{\begin{array}{lr}\ x_{11}-x_{01}\ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{m1}-x_{01}\\\ .\\\ .\\\ .\\\ x_{1n}-x_{on}\ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{mn}-x_{0n}\end{array}}\right]$

Wektory ${\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},...,{\overrightarrow {x_{0}x_{m}}}$, $m\leq n$, są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

${\rm {rk}}\left[{\begin{array}{lr}\ x_{11}-x_{01}\ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{m1}-x_{01}\\\ .\\\ .\\\ .\\\ x_{1n}-x_{0n}\ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{mn}-x_{0n}\end{array}}\right]=m$

Udowodniliśmy

Twierdzenie 3.2

Punkty $x_{0},...,x_{m}$, $m\leq n=\dim X$, są afinicznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

${\rm {rk}}\left[{\begin{array}{lr}\ 1\ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ ...\ \ \ \ \ 1\\\ x_{01}\ x_{11}\ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{m1}\\\ .\\\ .\\\ .\\\ x_{0n}\ x_{1n}\ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{mn}\end{array}}\right]=1+m$

Podobnie uzasadnia się następujące twierdzenie.

Twierdzenie 3.3

Punkty $x_{0},...,x_{n}$, $n=\dim X$, są afinicznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

${\rm {det}}\left[{\begin{array}{lr}\ 1\ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ ...\ \ \ \ \ 1\\\ x_{01}\ x_{11}\ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{n1}\\\ .\\\ .\\\ .\\\ x_{0n}\ x_{1n}\ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{nn}\end{array}}\right]\neq 0$