Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 11: Formy kwadratowe

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem o charakterystyce różnej od 2. Odwzorowanie

$f:V\longrightarrow {\mathbb {K} }$

nazywamy formą kwadratową, jeśli istnieje odwzorowanie dwuliniowe

$\Phi :V^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

takie, że

$\Phi (v,v)=f(v)$

dla każdego $v\in V$. Mówimy, że odwzorowanie dwuliniowe $\Phi$ indukuje formę kwadratową $f$.

Udowodnimy najpierw następujący lemat

Lemat 0.1

Dla formy kwadratowej $f:V\longrightarrow {\mathbb {K} }$ istnieje dokładnie jedno odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\phi :V^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }$ indukujące $f$.

Dowód

Niech $\Phi$ będzie pewnym odwzorowaniem dwuliniowym indukującym $f$. Zdefiniujmy odwzorowanie $\phi$ następująco

$\phi (u,v)=(1+1)^{-1}\left(\Phi (u,v)+\Phi (v,u)\right).$

Odwzorowanie to jest dwuliniowe, symetryczne i indukuje $f$. Zauważmy, że tutaj właśnie wykorzystaliśmy założenie, że charakterystyka ciała ${\mathbb {K} }$ jest różna od $2$.

Jedyność symetrycznego $\phi$ indukującego $f$ wykazujemy jak następuje.

Niech $\phi '$, $\phi ''$ będą odwzorowaniami dwuliniowymi symetrycznymi indukującymi $f$. Wtedy $\phi =\phi '-\phi ''$ jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym takim, że $\phi (v,v)=0$ dla każdego $v\in V$. Wykorzystując dwuliniowość i symetrię $\phi$ otrzymujemy następujące równości

$0=\phi (u+v,u+v)=\phi (u,u)+2\phi (u,v)+\phi (v,v)=2\phi (u,v)$

dla dowolnych wektorów $u,v\in V$. A zatem $\phi '(u,v)=\phi ''(u,v)$ dla dowolnych $u,v\in V$.

Jedyne dwuliniowe odwzorowanie symetryczne indukujące $f$ nazywa się odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową $f$.

Dla odwzorowania dwuliniowego $\Phi$ rozważamy odwzorowanie

${\tilde {\Phi }}:V\ni v\longrightarrow \{V\ni u\longrightarrow \Phi (u,v)\in {\mathbb {K} }\}\in V^{*}.$      (0.1)

Odwzorowanie to jest oczywiście liniowe.

Od tego momentu zakładamy, że wszystkie rozważane w tym wykładzie przestrzenie są skończenie wymiarowe.

Plik:Ag11 1a.mp4

Macierz odwzorowania dwuliniowego

Niech $e_{1},...e_{n}$ będzie bazą przestrzeni $V$ zaś $e_{1}^{*},...,e_{n}^{*}$ będzie jej bazą dualną. Znajdźmy macierz odwzorowania ${\tilde {\Phi }}$ przy tak wybranych baz. Skorzystajmy ze wzoru (5.4) z Wykładu IV.

Otrzymujemy następujące równości

${\begin{aligned}{\tilde {\Phi }}(e_{j})&=({\tilde {\Phi }}(e_{j}))(e_{1})e_{1}^{*}+...+({\tilde {\Phi }}(e_{j}))(e_{n})e_{n}^{*}\\&=\Phi (e_{j},e_{1})e_{1}^{*}+...+\Phi (e_{j},e_{n})e_{n}^{*}.\end{aligned}}$

Oznacza to, że poszukiwana macierz ${\tilde {\Phi }}$ jest równa macierzy $[\Phi (e_{i},e_{j})]$. Macierz tę nazywamy macierzą odwzorowania dwuliniowego w bazie $e_{1},...,e_{n}$.

Jeżeli $\phi$ jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową $f$, to macierz tę nazywa się macierzą formy kwadratowej $f$ przy bazie $e_{1},...,e_{n}$. Macierz formy kwadratowej jest symetryczna. Rząd tej macierzy jest rzędem odwzorowania liniowego ${\tilde {\phi }}$ i nazywa się rzędem formy kwadratowej $f$.

Mając bazę $e_{1},...,e_{n}$ przestrzeni $V$ i macierz formy kwadratowej $f$ możemy znaleźć wartość $f$ na dowolnym wektorze $v\in V$. Mianowicie, jeśli $\phi$ jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z $f$, $a_{ij}=\phi (e_{i},e_{j})$ oraz $v=v_{1}e_{1}+...+e_{n}e_{n}$, to

$\displaystyle f(v)=\sum _{i,j=1}^{n}v_{i}v_{j}a_{ij}.$      (0.2)

Zobaczmy jeszcze, jak zmienia się macierz odwzorowania dwuliniowego, jeśli zmienimy bazę. Niech więc dane będą dwie bazy przestrzeni wektorowej $V$: $e_{1},...,e_{n}$, $e'_{1},...e'_{n}$. Niech $P$ będzie macierzą przejścia od bazy $e_{1},...,e_{n}$ do bazy $e'_{1},...,e'_{n}$, tzn.

$\displaystyle e'_{j}=\sum _{i=1}^{k}p_{ij}e_{i},$

dla $j=1,...,n$ (porównaj rozdział 4. Wykładu VI). Jeśli $\Phi :V\times V\longrightarrow {\mathbb {K} }$ jest odwzorowaniem dwuliniowym, to zachodzą następujące równości

$\displaystyle \Phi (e'_{i},e'_{j})=\Phi \left(\sum _{k=1}^{n}p_{ki}e_{k},\sum _{l=1}^{n}p_{lj}e_{l}\right)=\sum _{k,l=1}^{n}p_{ki}\Phi (e_{k},e_{l})p_{lj}.$

A zatem przy zmianie bazy macierz odwzorowania dwuliniowego zmienia się według wzoru

$A'=P^{*}AP,$      (0.3)

gdzie $A$ jest macierzą $\Phi$ przy bazie $e_{1},...,e_{n}$, zaś $A'$ jest macierzą $\Phi$ przy bazie $e'_{1},...,e'_{n}$.

Co prawda udowodniliśmy już, że rząd macierzy $\Phi$ nie zależy od wyboru bazy, ale warto zauważyć, że wynika to również z powyższego wzoru, bo $P$ jest macierzą nieosobliwą.

Formy kwadratowe w przestrzeni nad ciałem ${\mathbb {R} }$

Celem tego rozdziału jest pokazanie, że w przestrzeni wektorowej nad ciałem ${\mathbb {R} }$, każda forma kwadratowa ma macierz szczególnie prostej postaci.

Rozważymy najpierw formy kwadratowe w przestrzeniach euklidesowych. Udowodnimy teraz twierdzenie Lagrange'a

Twierdzenie 1.1

Niech $f$ będzie formą kwadratową na skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej $V$. Istnieje baza ortonormalna $e_{1},...,e_{n}$ przestrzeni $V$, przy której macierz $A$ formy kwadratowej $f$ jest diagonalna i $a_{11}\geq ...\geq a_{nn}$, gdzie $a_{11},...,a_{nn}$ są wyrazami głównej przekątnej macierzy $A$.

Dowód

Dowód twierdzenia jest indukcyjny ze względu na wymiar przestrzeni $V$.

Dla $n=1$ twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że jest prawdziwe dla $(n-1)$.

Niech $f$ będzie formą kwadratową na $n$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej $V$. W przestrzeni $V$ mamy naturalną topologię. Albo wprowadzimy ją przez normę (którą mamy, bo iloczyn skalarny definiuje normę), albo bierzemy dowolny izomorfizm liniowy $h:V\longrightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ i mówimy, że podzbiór $C$ przestrzeni $V$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $h(C)$ jest otwarty w ${\mathbb {R} }^{n}$. Ponieważ każde odwzorowanie liniowe przestrzeni ${\mathbb {R} }^{n}$ jest ciągłe, więc tak zdefiniowana topologia nie zależy od wyboru izomorfizmu $h$. Tak czy inaczej, sfera jednostkowa

$S^{n-1}=\{v\in V|\ \ \Vert v\Vert =1\}$

jest zbiorem zwartym a forma kwadratowa jest odwzorowaniem ciągłym na $V$ (porównaj wzór (0.2)).

A zatem istnieje wektor $e_{1}\in S^{n-1}$, w którym funkcja $f$ osiąga swoje maksimum. Niech $W$ będzie dopełnieniem ortogonalnym do podprzestrzeni ${\rm {lin}}\{e_{1}\}$. Podprzestrzeń $W$ jest $(n-1)$-wymiarowa.

Na podstawie założenia indukcyjnego wiemy, że dla ${\tilde {f}}=f_{|W}$ istnieje baza ortonormalna $e_{2},...,e_{n}$ przestrzeni $W$, przy której macierz ${\tilde {f}}$ jest diagonalna i wyrazy na głównej przekątnej tworzą ciąg niemalejący. Twierdzimy, że $e_{1},...,e_{n}$ jest bazą $V$ spełniającą żądane warunki.

Po pierwsze $e_{1},...e_{n}$ jest oczywiście bazą ortonormalną $V$ i $\phi (e_{1},e_{1})=f(e_{1})\geq f(e_{i})=\phi (e_{i},e_{i})$ dla każdego $i=2,...n$, bo wszystkie $e_{2},...,e_{n}$ należą do $S^{n-1}$. Wystarczy teraz pokazać, że $\phi (e_{1},e_{i})=0$ dla każdego $i=2,...n$. W tym celu, dla ustalonego wskaźnika $i=2,...,n$, rozważmy funkcję

$F:{\mathbb {R} }\ni \tau \longrightarrow f((\cos \tau )\,e_{1}+(\sin \tau )\,e_{i})\in {\mathbb {R} }.$

Wektor $(\cos \tau )\,e_{1}+(\sin \tau )\,e_{i}$ należy do $S^{n-1}$ dla każdego $\tau$. Ponieważ $f$ osiąga w $e_{1}$ maksimum, więc funkcja $F$ osiąga maksimum w $\tau =0$. Zatem $F'(0)=0$. Mamy następujące równości

$F(\tau )=(\cos ^{2}\tau )\phi (e_{1},e_{1})+(\sin ^{2}\tau )\phi (e_{i},e_{i})+{1 \over 2}\sin(2\tau )\phi (e_{1},e_{i}).$

Łatwo stad wyliczyć, że

$F'(0)=\phi (e_{1},e_{i}).$

Wobec tego $\phi (e_{1},e_{i})=0$, co kończy dowód twierdzenia.

Udowodnimy teraz twierdzenie o bezwładności form kwadratowych, zwane także twierdzeniem Sylvestera.

Twierdzenie 1.2 [Sylvestera]

Niech $V$ będzie $n$-wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem ${\mathbb {R} }$. Dla każdej formy kwadratowej $f$ na $V$ istnieje baza $e_{1},...,e_{n}$, przy której macierz $f$ jest postaci blokowej

$\left[{\begin{array}{lcr}\ {\rm {I}}_{p}\ \ 0\ \ \ 0\\\ 0\ {-{\rm {I}}}_{q}\ \ 0\\\ 0\ \ \ 0\ \ \ 0\end{array}}\right],$

gdzie ${\rm {I}}_{k}$ jest macierzą jednostkową o wymiarach $k$ na $k$.

Liczby $p$ i $q$ nie zależą od wyboru bazy $e_{1},...,e_{n}$.

Dowód

Na przestrzeni wektorowej $V$ wprowadzamy dowolny iloczyn skalarny (porównaj Przykład 1.4 z Wykładu X) Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że istnieje baza ortonormalna, przy której macierz formy $f$ jest taka, jak to opisano w poprzednim twierdzeniu. Uporządkujmy tę bazę tak, aby na głównej przekątnej najpierw (tzn. począwszy od lewego górnego rogu) pojawiły się wyrazy dodatnie, potem ujemne i na końcu wyrazy zerowe. Wystarczy teraz pomnożyć wektory bazy odpowiadające niezerowym wyrazom macierzy pomnożyć przez przez odpowiedni skalar. Jeśli $\phi (e_{i},e_{i})=a_{ii}\neq 0$, to $e_{i}$ zastępujemy wektorem ${1 \over {\sqrt {|a_{ii}|}}}e_{i}.$

Udowodnimy teraz druga część twierdzenia. Widać, że $p+q$ jest rzędem formy kwadratowej $f$, a zatem nie zależy od wyboru bazy. Załóżmy, że dla dwóch baz $e_{1},...,e_{n}$ i $e'_{1},...e'_{n}$ spełniających tezę twierdzenia mamy pary liczb $p,q$ oraz $p',q'$ odpowiednio. Wiemy, że $p+q=p'+q'$. Wystarczy więc pokazać, że $p=p'$.

Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że $p'>p$. Niech $U$ będzie podprzestrzenią wektorową generowaną przez wektory $e_{p+1},...,e_{n}$, zaś $W$ - podprzestrzenią generowaną przez wektory $e'_{1},...,e'_{p'}$. Mamy następujący ciąg równości i nierówności

${\begin{aligned}n=dimV&\geq \dim(U+W)\\&=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)\\&=(n-p)+p'-\dim(U\cap W).\end{aligned}}$

Wobec tego $\dim(U\cap W)\geq p'-p>0$. Istnieje więc wektor $0\neq v\in (U\cap W)$. Niech $v=v_{1}e_{1}+...+v_{n}e_{n}$ i $v=v'_{1}e'_{1}+...+v'_{n}e'_{n}$. Ponieważ $v\in U$, więc

$f(v)=-(v_{p+1})^{2}-...-(v_{p+q})^{2}\leq 0.$

Ponieważ $v\in W$, więc

$f(v)=(v'_{1})^{2}+...+(v'_{p'})^{2}\geq 0.$

Porównując te nierowności widzimy, że $f(v)=0$. Ponieważ $v\in U$, więc $v=v_{p+1}e_{p+1}+...+v_{p+q}e_{p+q}$. Korzystając z tego, że $0=f(v)=-(v_{p+1})^{2}-...-(v_{p+q})^{2}$, otrzymujemy, że $v=0$, co jest sprzeczne z naszym założeniem. Dowód twierdzenia jest

zakończony.

Z twierdzenia Sylvestera wynika, że przy pewnej bazie $e_{1},...,e_{n}$ forma kwadratowa dana jest w postaci kanonicznej, tj. wyraża się wzorem

$f(v)=(v_{1})^{2}+...+(v_{p})^{2}-(v_{p+1})^{2}-...-(v_{p+q})^{2},$      (1.4)

dla $\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}e_{i}$.

Definicja 1.3 [Sygnatura]

Parę liczb $(p,q)$ nazywamy sygnaturą formy kwadratowej.

Mówimy, że forma kwadratowa $f$ jest półokreślona dodatnio, jeśli w powyższym przedstawieniu (1.4) są same plusy. Jeśli są same plusy i $p=n=\dim V$, to mówimy, że forma kwadratowa jest dodatnio określona. Podobnie definiuje się formy półokreślone ujemnie i określone ujemnie. Forma kwadratowa nazywa się formą określoną, jeśli jest określona dodatnio lub ujemnie.

Niech $f:V\longrightarrow V$ będzie endomorfizmem. Mówimy, że odwzorowanie $f$ jest symetryczne, jeśli

$f(v)\cdot w=f(w)\cdot v$

dla każdych wektorów $v,w\in V$.

Niech $\phi$ będzie odwzorowaniem dwuliniowym (symetrycznym) zdefiniowanym formułą

$\phi (v,w)=f(v)\cdot w.$

Odwzorowanie to jest odwzorowaniem skojarzonym pewnej formy kwadratowej. Ze wzoru (1.4) z Wykładu XI i z twierdzenia Lagrange'a wynika, że istnieje baza ortonormalna, przy której macierz odwzorowania $f$ jest diagonalna. Jest to bardzo szczególny przypadek endomorfizmu mającego bardzo prostą macierz Jordana.