Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 11: Formy kwadratowe
Niech
będzie przestrzenią wektorową nad ciałem o charakterystyce różnej od 2. Odwzorowanie
nazywamy formą kwadratową, jeśli istnieje odwzorowanie
dwuliniowe
takie, że
dla każdego . Mówimy, że odwzorowanie dwuliniowe indukuje formę kwadratową .
Udowodnimy najpierw następujący lemat
Lemat 0.1
Dla formy kwadratowej
istnieje dokładnie jedno odwzorowanie dwuliniowe symetryczne indukujące .Dowód
Niech
będzie pewnym odwzorowaniem dwuliniowym indukującym . Zdefiniujmy odwzorowanie następująco
Odwzorowanie to jest dwuliniowe, symetryczne i indukuje .
Zauważmy, że tutaj właśnie wykorzystaliśmy założenie, że
charakterystyka ciała jest różna od .
Jedyność symetrycznego
indukującego wykazujemy jak następuje.Niech
, będą odwzorowaniami dwuliniowymi symetrycznymi indukującymi . Wtedy jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym takim, że dla każdego . Wykorzystując dwuliniowość i symetrię otrzymujemy następujące równości

Jedyne dwuliniowe odwzorowanie symetryczne indukujące
nazywa się odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową .Dla odwzorowania dwuliniowego
rozważamy odwzorowanie
(0.1)
Odwzorowanie to jest oczywiście liniowe.
Od tego momentu zakładamy, że wszystkie rozważane w tym wykładzie przestrzenie są skończenie wymiarowe.
Niech
będzie bazą przestrzeni zaś będzie jej bazą dualną. Znajdźmy macierz odwzorowania przy tak wybranych baz. Skorzystajmy ze wzoru (5.4) z Wykładu IV.Otrzymujemy następujące równości
Oznacza to, że poszukiwana macierz jest równa
macierzy . Macierz tę nazywamy macierzą
odwzorowania dwuliniowego w bazie .
Jeżeli jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą
kwadratową , to macierz tę nazywa się macierzą formy
kwadratowej przy bazie . Macierz formy kwadratowej jest symetryczna. Rząd tej macierzy jest rzędem odwzorowania liniowego i nazywa się rzędem formy kwadratowej .
Mając bazę
przestrzeni i macierz formy kwadratowej możemy znaleźć wartość na dowolnym wektorze . Mianowicie, jeśli jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z , oraz , to
(0.2)
Zobaczmy jeszcze, jak zmienia się macierz odwzorowania
dwuliniowego, jeśli zmienimy bazę. Niech więc dane będą dwie bazy
przestrzeni wektorowej : , . Niech będzie macierzą przejścia od bazy do bazy , tzn.
dla (porównaj rozdział 4. Wykładu VI). Jeśli jest odwzorowaniem dwuliniowym, to
zachodzą następujące równości
A zatem przy zmianie bazy macierz odwzorowania dwuliniowego zmienia się według wzoru
(0.3)
gdzie jest macierzą przy bazie , zaś jest macierzą przy bazie .
Co prawda udowodniliśmy już, że rząd macierzy
nie zależy od wyboru bazy, ale warto zauważyć, że wynika to również z powyższego wzoru, bo jest macierzą nieosobliwą.Formy kwadratowe w przestrzeni nad ciałem
Celem tego rozdziału jest pokazanie, że w przestrzeni wektorowej nad ciałem
, każda forma kwadratowa ma macierz szczególnie prostej postaci.Rozważymy najpierw formy kwadratowe w przestrzeniach euklidesowych. Udowodnimy teraz twierdzenie Lagrange'a
Twierdzenie 1.1
Niech
będzie formą kwadratową na skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej . Istnieje baza ortonormalna przestrzeni , przy której macierz formy kwadratowej jest diagonalna i , gdzie są wyrazami głównej przekątnej macierzy .Dowód
Dowód twierdzenia jest indukcyjny ze względu na wymiar przestrzeni
.Dla
twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że jest prawdziwe dla .Niech
będzie formą kwadratową na -wymiarowej przestrzeni euklidesowej . W przestrzeni mamy naturalną topologię. Albo wprowadzimy ją przez normę (którą mamy, bo iloczyn skalarny definiuje normę), albo bierzemy dowolny izomorfizm liniowy i mówimy, że podzbiór przestrzeni jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarty w . Ponieważ każde odwzorowanie liniowe przestrzeni jest ciągłe, więc tak zdefiniowana topologia nie zależy od wyboru izomorfizmu . Tak czy inaczej, sfera jednostkowa
jest zbiorem zwartym a forma kwadratowa jest odwzorowaniem ciągłym na (porównaj wzór (0.2)).
A zatem istnieje wektor
, w którym funkcja osiąga swoje maksimum. Niech będzie dopełnieniem ortogonalnym do podprzestrzeni . Podprzestrzeń jest -wymiarowa.Na podstawie założenia indukcyjnego wiemy, że dla
istnieje baza ortonormalna przestrzeni , przy której macierz jest diagonalna i wyrazy na głównej przekątnej tworzą ciąg niemalejący. Twierdzimy, że jest bazą spełniającą żądane warunki.Po pierwsze
jest oczywiście bazą ortonormalną i dla każdego , bo wszystkie należą do . Wystarczy teraz pokazać, że dla każdego . W tym celu, dla ustalonego wskaźnika , rozważmy funkcję
Wektor należy do dla każdego . Ponieważ osiąga w maksimum, więc funkcja osiąga maksimum w . Zatem .
Mamy następujące równości
Łatwo stad wyliczyć, że

Udowodnimy teraz twierdzenie o bezwładności form kwadratowych, zwane także twierdzeniem Sylvestera.
Twierdzenie 1.2 [Sylvestera]
Niech
będzie -wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem . Dla każdej formy kwadratowej na istnieje baza , przy której macierz jest postaci blokowej
gdzie jest macierzą jednostkową o wymiarach na .
Liczby
i nie zależą od wyboru bazy .Dowód
Na przestrzeni wektorowej
wprowadzamy dowolny iloczyn skalarny (porównaj Przykład 1.4 z Wykładu X) Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że istnieje baza ortonormalna, przy której macierz formy jest taka, jak to opisano w poprzednim twierdzeniu. Uporządkujmy tę bazę tak, aby na głównej przekątnej najpierw (tzn. począwszy od lewego górnego rogu) pojawiły się wyrazy dodatnie, potem ujemne i na końcu wyrazy zerowe. Wystarczy teraz pomnożyć wektory bazy odpowiadające niezerowym wyrazom macierzy pomnożyć przez przez odpowiedni skalar. Jeśli , to zastępujemy wektoremUdowodnimy teraz druga część twierdzenia. Widać, że
jest rzędem formy kwadratowej , a zatem nie zależy od wyboru bazy. Załóżmy, że dla dwóch baz i spełniających tezę twierdzenia mamy pary liczb oraz odpowiednio. Wiemy, że . Wystarczy więc pokazać, że .Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że
. Niech będzie podprzestrzenią wektorową generowaną przez wektory , zaś - podprzestrzenią generowaną przez wektory . Mamy następujący ciąg równości i nierówności
Wobec tego . Istnieje więc wektor . Niech i
. Ponieważ , więc
Ponieważ , więc
Porównując te nierowności widzimy, że . Ponieważ , więc . Korzystając z tego, że , otrzymujemy, że , co jest sprzeczne z naszym założeniem. Dowód twierdzenia jest

Z twierdzenia Sylvestera wynika, że przy pewnej bazie
forma kwadratowa dana jest w postaci kanonicznej, tj. wyraża się wzorem
(1.4)
dla .
Definicja 1.3 [Sygnatura]
Parę liczb
nazywamy sygnaturą formy kwadratowej.Mówimy, że forma kwadratowa 1.4) są same plusy. Jeśli są same plusy i , to mówimy, że forma kwadratowa jest dodatnio określona. Podobnie definiuje się formy półokreślone ujemnie i określone ujemnie. Forma kwadratowa nazywa się formą określoną, jeśli jest określona dodatnio lub ujemnie.
jest półokreślona dodatnio, jeśli w powyższym przedstawieniu (Niech
będzie endomorfizmem. Mówimy, że odwzorowanie jest symetryczne, jeśli
dla każdych wektorów .
Niech
będzie odwzorowaniem dwuliniowym (symetrycznym) zdefiniowanym formułą
Odwzorowanie to jest odwzorowaniem skojarzonym pewnej formy kwadratowej. Ze wzoru (1.4) z Wykładu XI i z twierdzenia Lagrange'a wynika, że istnieje baza ortonormalna, przy której macierz odwzorowania jest diagonalna. Jest to bardzo szczególny przypadek endomorfizmu mającego bardzo prostą macierz
Jordana.